De Morgans lag är den vanligaste lagen inom mängdlära och boolesk algebra såväl som mängdlära. I den här artikeln kommer vi att lära oss om De Morgans lag, De Morgans lag i mängdteori och De Morgans lag i boolesk algebra tillsammans med dess bevis, sanningstabeller och logiska grinddiagram. Artikeln innehåller också det lösta De Morgans lagexempel och vanliga frågor om De Morgans lag. Låt oss lära oss om De Morgans lag.

Innehållsförteckning

• Vad är De Morgans lag
• De Morgans lag i mängdteorin
• Först De Morgans lag
• Andra De Morgans lag
• Bevis med algebra av uppsättningar
• De Morgans lag i boolesk algebra
• Från Morgans lagformel
• Lösta exempel på De Morgans lag
• Logiska tillämpningar av De Morgans lag

Vad är De Morgans lag

De Morgans lag är den lag som ger förhållandet mellan förening, skärningspunkt och komplement i mängdteorin. I boolesk algebra ger den relationen mellan AND, OR och komplement till variabeln, och i logik ger den relationen mellan AND, OR eller negation av påståendet. Med hjälp av De Morgans lag kan vi optimera olika booleska kretsar som involverar logiska grindar som hjälper oss att utföra samma operation men med väldigt få apparater.

De Morgans lag i mängdteorin

De Morgans lag i mängdteori definierar förhållandet mellan föreningen, skärningspunkten och komplementen av uppsättningarna, och ges för både komplement av sammanslutning och skärningspunkten mellan två uppsättningar. I mängdteorin finns det två De Morgans lagar som är:

• Först De Morgans lag
• Andra De Morgans lag

Låt oss förstå dessa lagar i detalj enligt nedan:

Först De Morgans lag

Först säger De Morgans lag det Komplementet av föreningen av två uppsättningar är lika med skärningspunkten mellan komplementen för varje uppsättning.

Låt A och B vara två mängder, då matematiskt ges först De Morgans lag som:

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Var

• I representerar unionens operation mellan uppsättningar,
• ∩ representerar skärningsoperation mellan uppsättningar, och
• ' representerar komplementoperation på en uppsättning.

Det kallas också De Morgans unionslag.

Detaljera beviset för De Morgans lag

Bevis med algebra av uppsättningar

Vi måste bevisa, (A ∪ B)' = A' ∩ B'

Låt X = (A ∪ B)' och Y = A' ∩ B'

Låt p vara valfritt element i X, sedan p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)'

⇒ p ∉ (A ∪ B)

⇒ p ∉ A eller p ∉ B

⇒ p ∈ A’ och p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∩ B’

⇒ p ∈ Y

∴X ⊂ Y. . . (Jo)

Återigen, låt q vara vilket element som helst av Y, sedan q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∩ B’

⇒ q ∈ A’ och q ∈ B’

⇒ q ∉ A eller q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∪ B)

⇒ q ∈ (A ∪ B)’

⇒ q ∈ X

wumpus värld

∴Y ⊂X. . . (ii)

Från (i) och (ii) X = Y

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Läs också - Bevis på De-Morgans lagar i boolesk algebra

Bevis med Venn Diagram

Venndiagram för (A ∪ B)'

Venndiagram för A' ∩ B'

Från båda diagrammen kan vi tydligt säga,

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Det är den första De Morgans lag.

Andra De Morgans lag

Andra De Morgans lag säger det Komplementet av skärningspunkten mellan två uppsättningar är lika med föreningen av komplementen för varje uppsättning.

Låt A och B vara två mängder, då matematiskt ges först De Morgans lag som:

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Var

• I representerar unionens operation mellan uppsättningar,
• ∩ representerar skärningsoperation mellan uppsättningar, och
• ' representerar komplementoperation på en uppsättning.

Det kallas också De Morgans lag om skärning .

Bevis med algebra av uppsättningar

Andra De Morgans lag: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Låt X = (A ∩ B)' och Y = A' ∪ B'

Låt p vara valfritt element i X, sedan p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)'

⇒ p ∉ (A ∩ B)

⇒ p ∉ A och p ∉ B

⇒ p ∈ A’ eller p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∪ B’

⇒ p ∈ Y

∴ X ⊂ Y ————–(i)

Återigen, låt q vara vilket element som helst av Y, sedan q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∪ B’

⇒ q ∈ A’ eller q ∈ B’

⇒ q ∉ A och q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∩ B)

⇒ q ∈ (A ∩ B)’

⇒ q ∈ X

∴ Y ⊂ X ————–(ii)

java ände för loop

Från (i) och (ii) X = Y

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Bevis med Venn-diagram

Venn-diagram för (A ∩ B)'

Venndiagram för A’ ∪ B’

Från båda diagrammen kan vi tydligt säga

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Det är den andra De Morgans lag.

De Morgans lag i boolesk algebra

De Morgans lag Boolean Algebra definierar relationen mellan ELLER, OCH och komplementen av variabler, och ges för både komplementet till OCH och ELLER av två värden. I boolesk algebra finns två De Morgans lagar som är:

• Först De Morgans lag
• Andra De Morgans lag

Låt oss förstå dessa lagar i detalj enligt nedan:

Första De Morgans lag i boolesk algebra

Först säger De Morgans lag det Komplementet av ELLER för två eller flera variabler är lika med OCH för komplementet för varje variabel.

Låt A och B vara två variabler, då matematiskt ges först De Morgans lag som:

(A + B)' = A' . B’

Var

• + representerar OR-operatorn mellan variabler,
• . representerar AND-operator mellan variabler, och
• ' representerar komplementoperation på variabel.

Först De Morgan's Law Logic Gates

I samband med logiska grindar och boolesk algebra, säger De Morgans lag att Båda de logiska grindkretsarna, dvs NOT-grinden läggs till utgången av OR-grinden, och NOT-grinden läggs till ingången till OCH-grinden, är ekvivalenta. Dessa två logiska grindkretsar ges enligt följande:

Första De Morgan's Law Truth Table

Sanningstabellen för första De Morgans lag ges enligt följande:

Andra De Morgans lag i boolesk algebra

Andra De Morgans lag säger det Komplementet av OCH för två eller flera variabler är lika med ELLER för komplementet för varje variabel.

Låt A och B vara två variabler, då matematiskt ges andra De Morgans lag som:

(A . B)' = A' + B'

Var

• + representerar OR-operatorn mellan variabler,
• . representerar AND-operator mellan variabler, och
• ' representerar komplementoperation på variabel.

Andra De Morgan's Law Logic Gates

I samband med logiska grindar och boolesk algebra, säger De Morgans lag att båda de logiska grindkretsarna, dvs NOT-grinden läggs till utgången av OCH-grinden, och NOT-grinden läggs till ingången till OR-grinden, är ekvivalenta. Dessa två logiska grindkretsar ges enligt följande:

Andra De Morgan's Law Truth Table

Sanningstabellen för den andra De Morgans lag ges enligt följande:

Från Morgan's Law Logic

I De Morgans lag för logik är nedanstående prepositioner tautologi:

∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b

∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Var,

• ∧ representerar konjunktionen av statemetns,
• ∨ representerar disjunktionen av uttalanden,
• ~ representerar negationen av uttalande, och
• ≡ representerar likvärdigheten av påståenden.

Från Morgans lagformel

Låt oss sammanställa alla formler för De Morgans lag, i följande lista.

För mängdlära:

• (A ∪ B)' = A' ∩ B'
• (A ∩ B)' = A' ∪ B'

För boolesk algebra:

• (A + B)' = A' . B’
• (A . B)' = A' + B'

För logik:

• ∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b
• ∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Lösta exempel på De Morgans lag

Problem 1: Givet att U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} och B = {2, 3, 9}. Bevisa De Morgans andra lag.

Lösning:

U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} och B = {2, 3, 9}

Att bevisa: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

(A ∩ B) = {2}

(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}

(A ∩ B)' = {3, 7, 8, 9}

A’ = U – A = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}

A' = {3, 8, 9}

char till sträng java

B’ = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}

B' = {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 7, 8, 9}

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Problem 2: Med tanke på att U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} och B = {4, 6, 9}. Bevisa De Morgans första lag.

Lösning:

U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} och B = {4, 6, 9}

För att bevisa: (A ∪ B)' = A' ∩ B'

(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)’ = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)' = {8}

A’ = U – A = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}

A' = {4, 6, 8}

B’ = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}

B' = {1, 8}

A’ ∩ B’ = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}

A’ ∩ B’ = {8}

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Därav bevisat

Problem 3: Förenkla det booleska uttrycket: Y = [(A + B).C]’

Lösning:

Y = [(A + B).C]'

Tillämpa De Morgans lag (A . B)' = A' + B'

Y = (A + B)' + C'

Tillämpa De Morgans lag (A + B)' = A'. B’

Y = A'. B' + C'

Problem 4: Förenkla det booleska uttrycket: X = [(A + B)' + C]'

Lösning:

X = [(A + B)' + C]'

Tillämpa De Morgans lag (A + B)' = A'. B’

X = [(A + B)’]’ . C'

X = (A + B). C'

Kolla denna källa för mer:

Visa exempel på De Morgans lag

Från Morgans lag Praktiska exempel

Exempel 1: Pizzapålägg

Föreställ dig att du är på en pizzafest och du får höra att du kan välja valfritt pålägg förutom både svamp och oliver tillsammans.

• Använder De Morgans lag : Detta betyder att om du inte vill ha både svamp och oliver (Inte (Svamp och Oliver)), kan du antingen inte ha svamp (Inte Svamp) eller inte ha oliver (Inte Oliver) på din pizza. Så du kan ha en pizza med bara svamp, bara oliver eller ingetdera!

Exempel 2: Biblioteksböcker

Din lärare säger att du inte kan ta med dig böcker om trollkarlar eller drakar i klassrummet.

• Använder De Morgans lag : Detta betyder att om du inte tillåts böcker om trollkarlar eller drakar (Inte (trollkarlar eller drakar)), kan du inte ta med böcker om trollkarlar (inte trollkarlar) och du kan inte ta med böcker om drakar (Inte drakar). Så, böcker om rymden eller djur är fortfarande okej!

Exempel 3: Spela utomhus

Din mamma säger att du inte kan leka ute om det regnar och är kallt samtidigt.

• Använder De Morgans lag : Det betyder att om du inte går ut för att det regnar och är kallt (Inte (Regnar och Kallt)), skulle du inte gå ut om det bara regnar (Inte Regnar) eller bara kallt (Inte Kallt). Men om det är soligt och varmt är du bra att gå!

Exempel 4: Att välja en film

Din vän säger att de inte vill se en film som är skrämmande eller tråkig.

• Använder De Morgans lag : Det betyder att om din vän inte vill ha en film som är läskig eller tråkig (Inte (Scary or Boring)), att de inte vill ha en läskig film (Not Scary) och att de inte vill ha en tråkig film (Not Boring) . Så en rolig eller spännande film skulle vara perfekt!

Logiska tillämpningar av De Morgans lag

Från Morgans lag – vanliga frågor

Ange De Morgans första lagförklaring i mängdteorin.

De Morgans första lag inom mängdteorin säger att komplementet av förening av två uppsättningar är lika med skärningspunkten mellan deras individuella komplement.

Ange De Morgans andra lagförklaring i boolesk algebra.

De Morgans andra lag i boolesk algebra säger att komplementet till AND av två eller flera variabler är lika med ELLER för komplementet till varje variabel.

Skriv formeln för De Morgans lag i mängdlära.

Formeln för De Morgans lag i mängdlära:

(i) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

(ii) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Skriv formeln för De Morgans lag i boolesk algebra.

Formeln för De Morgans lag i boolesk algebra:

ta bort npm-cache

(i) (A + B)' = A' . B’

(ii) (A . B)' = A' + B'

Skriv några tillämpningar av De Morgans lag.

Några av tillämpningarna av De Morgans lag är att minimera det komplexa booleska uttrycket och att enkelt göra det.

Hur bevisar man De Morgans lag?

De Morgans lag i mängdteorin kan bevisas med Venn-diagrammen och De Morgans lag i den booleska algebra kan bevisas med sanningstabeller.