Determinant är ett grundläggande begrepp i linjär algebra som används för att hitta ett enda skalärt värde för den givna matrisen. Den här artikeln kommer att förklara vad som är en 3 × 3-matris och hur man beräknar determinanten för en 3 × 3-matris steg för steg, såväl som dess tillämpningar. Oavsett om du är en student som lär dig linjär algebra eller en entusiast som söker en djupare förståelse för matrisoperationer, är det en värdefull färdighet att förstå determinanten för en 3 × 3 matris.

Vad är matrisens determinant?

Determinant av en matris är ett enda tal beräknat från en kvadratisk matris. Inom fältet linjär algebra hittas determinanter genom att använda värdena inom kvadratmatrisen. Detta nummer fungerar som en skalningsfaktor, som påverkar hur matrisen transformeras. Determinanter är värdefulla för att lösa linjära ekvationssystem, hitta inversen av en matris och olika kalkyloperationer.

Vad är 3 × 3 matris?

En 3 × 3 matris är en matris där antalet rader och kolumner båda är lika med 3. Eftersom antalet rader och kolumner är lika, så är 3 × 3 en kvadratisk matris av ordningen 3 × 3. En matris är som en tabell gjord av tal, organiserad i rader och kolumner. Det används för att lagra och arbeta med data inom matematik och andra områden. Medan en 3 × 3 matris är en specifik typ av matris som består av tre rader och tre kolumner. Det kan representeras som:

3 × 3 matris

Egenskaper för 3 × 3 Matrix

Liksom andra matriser har 3 × 3 matriser också några viktiga egenskaper.

• Fyrkantig matris : En 3 × 3 matris har tre rader och tre kolumner, vilket gör den till en kvadratisk matris.

• Determinant: En 3 × 3 matris har en determinant, ett numeriskt värde som är avgörande för att lösa ekvationer och hitta inverser.

• Matrismultiplikation: Du kan multiplicera en 3 × 3 matris med en annan matris om antalet kolumner i den första matrisen matchar antalet rader i den andra.

• Omvänd: En 3 × 3 matris kan ha en invers om dess determinant inte är noll. Den inversa matrisen, när den multipliceras med den ursprungliga matrisen, ger identitetsmatrisen.

Determinant för 3 × 3 matrisformel

Det finns olika metoder för att beräkna en matris determinant. Det vanligaste tillvägagångssättet är att bryta en given 3 × 3 matris i mindre 2 × 2 determinanter. Detta förenklar processen att hitta determinanten och används ofta i linjär algebra.

Låt oss ta en 3 × 3 kvadratisk matris som skrivs som,

För att beräkna determinanten för matris A, d.v.s. |A|.

Expandera matrisen längs elementen i första raden.

Därför,

Hur hittar du determinanten för en 3 × 3 matris?

Låt oss förstå beräkningen av en 3 × 3 matris med ett exempel. För den givna 3 × 3-matrisen nedan.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Steg 1: Välj en referensrad eller -kolumn

Välj en rad och kolumn för att börja, anta att vi i detta exempel tar det första elementet (2) som referens för att beräkna determinanten för 3 × 3 matris.

Så, expanderar längs rad R₁

Steg 2: Stryk över rad och kolumn

Ta bort den valda raden och kolumnen för att förenkla det i en 2 × 2 matris.

2×2 matris

c program

Steg 3: Hitta determinanten för 2 × 2-matrisen

Hitta determinanten för 2 × 2-matrisen med hjälp av formeln

Determinant = (a × d) – (b × c)

Cross Multiplicera

Här är a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

sätter dessa värden i ovanstående formel för determinant, får vi

Determinant = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinant = 0- (-1)

Determinant = 0+1

∴ Determinant för 2 × 2-matrisen = 1

Steg 4: Multiplicera med det valda elementet

Multiplicera determinanten för 2 × 2-matrisen med det valda elementet från referensraden (vilket är 2,1 och 3 i detta fall):

första elementet = 2 × 1 = 2

Steg 5: Upprepa denna process för det andra elementet i den valda referensraden

För andra elementet

Hitta determinanten för det andra elementet 1 genom att sätta värdena på 2×2-matrisen i formeln

Determinant = (a × d) – (b × c)

Här är a = 4, b= 1, c= 2, d= 2

Determinant = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinant = 8 – 2

Determinant = 6

Multiplicera nu determinanten för 2 × 2-matrisen med det valda elementet från referensraden (som är 1 i detta fall):

andra elementet = 1 × 6 = 6

Steg 6: Upprepa denna process för det tredje elementet i den valda referensraden

För tredje element

Hitta determinanten för det tredje elementet 3 genom att sätta värdena på 2×2-matrisen i formeln

Determinant = (a × d) – (b × c)

Här är a = 4, b= 0, c= 2, d= -1

Determinant = (4 × -1) – (0 × 2)

kylie jenner syskon

Determinant = -4 – 0

Determinant = -4

Multiplicera nu determinanten för 2×2-matrisen med det valda elementet från referensraden (vilket är 3 i detta fall):

andra elementet = 3 × (-4) = -12

Steg 7: Använd formel

Lägg ihop alla resultat från steg 4, 5 och 6

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 är determinanten för 3 × 3-matrisen.

Tillämpning av determinant av en 3 × 3 matris

Determinant av en matris kan användas för att hitta inversen och lösa det linjära ekvationssystemet. Därför lär vi oss att hitta inversen av 3 × 3 matris och även lösa linjära ekvationssystem med Cramers regel som involverar användningen av determinant av 3 × 3 matris.

Invers av 3 × 3 matris

Formeln för att hitta inversen av en kvadratisk matris A är:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Var,

• A-1 är invers av matris A .
• Det(A) representerar determinanten för matris A.
• adj(A) står för adjugatet av matris A

Enkelt uttryckt kan du följa dessa steg för att hitta inversen av en matris:

Steg 1. Beräkna determinanten för matris A.

Steg 2. Hitta adjugatet för matris A.

Steg 3. Multiplicera varje element i adjugatet med 1/det(A).

Den här formeln används för kvadratiska matriser (matriser med samma antal rader och kolumner) och antar att determinanten är icke-noll, vilket är ett nödvändigt villkor för att en matris ska ha en invers.

Cramers regel

Cramers regel ger en formel för att lösa ett system av linjära ekvationer med hjälp av determinanter. För ett system av linjära ekvationer med n variabler ges i form av

AX=B

Var,

är en speciell karaktär

• A = Koefficient för kvadratmatrisen
• X = Kolumnmatris med variabler
• B = Kolumnmatris med konstanter

Betrakta följande linjära ekvationssystem

a₁x + b₁y + c₁z + . . . = d₁

a₂x + b₂y + c₂z + . . . = d₂

. . .

a_nx + b_ny + c_nz + . . . = d_n

Variablerna x, y, z, …, bestäms med hjälp av följande formler:

• x = D_x/D
• y = D_och/D
• z = D_Med/D

Var:

• D är determinanten för koefficientmatrisen.
• D_xär determinanten för matrisen som erhålls genom att ersätta koefficienterna för x med konstanterna på höger sida.
• D_ochär determinanten för matrisen som erhålls genom att ersätta koefficienterna för y
• D_Medär determinanten för matrisen som erhålls genom att ersätta koefficienterna för z

Cramers regel är tillämplig när determinanten för koefficientmatrisen D är icke-noll. Om D = 0 kan regeln inte tillämpas som anger antingen ingen lösning eller oändligt många lösningar beroende på det specifika fallet.

Kolla också

• Typer av matriser
• System av linjära ekvationer med tre variabler
• Matrisoperationer

Determinant för 3 × 3 Matrix Lösta Exempel

Exempel 1: Hitta determinanten för matris A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinant av A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Determinant av A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinant av A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinant av A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinant för A =-44+11

∴ Determinant för A, dvs. |A| = (-33)

Exempel 2: Hitta determinant för matris B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Determinant av B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ Determinant av B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Determinant av B = 1(6) – 0 – 12

⇒ Determinant för B =6-12

⇒ Determinant av B = (-6)

∴ Determinant för B, dvs. |B| = 6

Exempel 3: Hitta determinant för matris C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Bestämningsfaktor för matris C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Determinant av C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Determinant av C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Determinant för C = 24 + 10 -8

⇒ Determinant för C = 26

∴ Determinant för C, dvs. |C| = 26

Exempel 4: Lös det givna ekvationssystemet med Cramers regel

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Lösning:

Steg 1: Hitta först determinanten D av koefficientmatris.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Om att lösa denna determinant D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

Steg 2: Hitta nu bestämningsfaktorerna för D_x, D_ochoch D_Med

För D_x, ersätter vi koefficienterna för x med konstanterna på höger sida:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

markdown med bilder

För D_och, ersätter vi koefficienterna för y med konstanterna:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

För D_Med, ersätter vi koefficienterna för z med konstanterna:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

Om att lösa determinanten D_x

D_x= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ D_x= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ D_x= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_x= -49 + 42 + 28

Alltså D_x= 21

Om att lösa determinanten D_och

D_och= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ D_och= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ D_och= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_och= -68 + 14 + 24

⇒ D_och= -30

Om att lösa determinanten D_Med

D_Med= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_Med= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒ D_Med= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_Med= 20 – 6 – 98

⇒ D_Med= -84

Steg 3: Nu sätter du värdena för D, D_x, D_ochoch D_Medi Carmers regelformel för att hitta värdena för x, y och z.

x = D_x/D = 21/(-19)

y = D_och/D = (-30)/(-19)

z = D_Med/D = (-84)/(-19)

Öva frågor om determinant av 3 × 3 matris

Q1. Beräkna determinanten för identitetsmatrisen:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Hitta matrisens determinant:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Bestäm matrisens determinant:

abstrakt klass

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Beräkna matrisens determinant:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

F5. Hitta matrisens determinant:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

F6. Bestäm matrisens determinant:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

Determinant för 3 × 3 Matrix – Vanliga frågor

1. Vad är en matris?

En matris är ett rektangulärt arrangemang av tal eller element organiserade i rader och kolumner. Det används inom olika områden för att representera och lösa matematiska, vetenskapliga och tekniska problem.

2. Vilken betydelse har determinanten för en 3 × 3-matris?

Determinanten för en 3 × 3 matris är signifikant eftersom den ger information om matrisens egenskaper. Det hjälper till att avgöra om ett system med linjära ekvationer har en unik lösning, bland andra applikationer.

3. Vad är definitionen av Determinant of Matrix?

Determinanten för en matris är ett skalärt värde som beräknas från matrisens element och ger information om dess egenskaper. Det används för att lösa linjära ekvationssystem, hitta inverser och mer.

4. Vad händer om determinanten för en 3 × 3-matris är noll?

Om determinanten för en 3 × 3-matris är noll betyder det att matrisen är singular, och den har inte en invers. I geometriska termer indikerar det att transformationen som representeras av matrisen kollapsar arean eller volymen till noll. determinanten är alltid noll. Detta är tillämpligt för matriser av alla storlekar.

5. Kan determinanten för en 3 × 3-matris vara negativ?

Ja, determinanten kan vara negativ. Determinantens tecken beror på arrangemanget av matriselementen och om de resulterar i ett positivt eller negativt värde enligt beräkningsmetoden.

6. Vilka är några praktiska tillämpningar för att hitta determinanten för en 3 × 3-matris?

Determinanter används inom olika områden, inklusive fysik, teknik, datorgrafik och ekonomi. De hjälper till att lösa system med linjära ekvationer, analysera geometriska transformationer och bestämma stabiliteten hos dynamiska system.