Matris är en rektangulär matris av siffror, symboler, punkter eller tecken som var och en tillhör en specifik rad och kolumn. En matris identifieras av sin ordning som ges i form av rader ⨯ och kolumner. Siffrorna, symbolerna, punkterna eller tecknen som finns inuti en matris kallas elementen i en matris. Platsen för varje element ges av raden och kolumnen det tillhör.

Matriser är viktiga för elever i klass 12 och har också stor betydelse i teknisk matematik också. I den här inledande artikeln om matriser kommer vi att lära oss om typerna av matriser, transponeringen av matriser, rangordningen av matriser, matrisernas adjoint och invers, matrisernas bestämningsfaktorer och många fler i detalj.

Innehållsförteckning

• Vad är matriser?
• Order of Matrix
• Exempel på matriser
• Operation på matriser
• Tillägg av matriser
• Skalär multiplikation av matriser
• Multiplikation av matriser
• Egenskaper för matrisaddition och multiplikation
• Transponering av matris
• Spår av Matrix
• Typer av matriser
• Determinant av en matris
• Invers av en matris
• Lösa linjära ekvationer med hjälp av matriser
• Rang av en matris
• Egenvärde och egenvektorer av matriser

Vad är matriser?

Matriser är rektangulära arrayer av siffror, symboler eller tecken där alla dessa element är ordnade i varje rad och kolumn. En array är en samling objekt som är arrangerade på olika platser.

Låt oss anta att punkter är ordnade i rymden som var och en tillhör en specifik plats, då bildas en uppsättning punkter. Denna matris av punkter kallas en matris. Objekten i en matris kallas Elements of the Matrix. Varje matris har ett ändligt antal rader och kolumner och varje element tillhör endast dessa rader och kolumner. Antalet rader och kolumner som finns i en matris bestämmer ordningen på matrisen. Låt oss säga att en matris har 3 rader och 2 kolumner, då ges ordningen på matrisen som 3⨯2.

Matriser Definition

En rektangulär matris av siffror, symboler eller tecken kallas en matris. Matriser identifieras genom sin ordning. Ordningen på matriserna ges i form av ett antal rader ⨯ antal kolumner. En matris representeras som [P]_m⨯ndär P är matrisen, m är antalet rader och n är antalet kolumner. Matriser i matematik är användbara för att lösa många problem med linjära ekvationer och många fler.

Order of Matrix

Ordning av en matris berättar om antalet rader och kolumner som finns i en matris. Ordningen för en matris representeras som antalet rader gånger antalet kolumner. Låt oss säga att om en matris har 4 rader och 5 kolumner så kommer ordningen på matrisen att vara 4⨯5. Kom alltid ihåg att den första siffran i ordningen anger antalet rader i matrisen och den andra siffran anger antalet kolumner i matrisen.

Exempel på matriser

Exempel på matriser nämns nedan:

Exempel: egin{bmatrix} 1 & 2 3 &4 end{bmatrix}_{2 imes 2},egin{bmatrix} 1 & -1 & 2 3 & 2 & 6 4 & -2& 5\end{bmatrix}_{3 imes3}

Operation på matriser

Matriser genomgår olika matematiska operationer som addition, subtraktion, skalär multiplikation och multiplikation. Dessa operationer utförs mellan elementen i två matriser för att ge en ekvivalent matris som innehåller de element som erhålls som ett resultat av operationen mellan element i två matriser. Låt oss lära oss drift av matriser .

Tillägg av matriser

I tillägg av matriser , läggs elementen i två matriser till för att ge en matris som innehåller element erhållna som summan av två matriser. Adderingen av matriser utförs mellan två matriser av samma ordning.

Exempel: Hitta summan av old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} och old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Lösning:

sortera en arraylist

Här har vi A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}och B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

A + B =egin{bmatrix} 1& 2 4& 5 end{bmatrix}+egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ A + B =egin{bmatrix} 1 + 2 & 2 + 3 4 + 6& 5 + 7 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 3 & 5 10& 12 end{bmatrix}

Subtraktion av matriser

Subtraktion av matriser är skillnaden mellan elementen i två matriser av samma ordning för att ge en ekvivalent matris av samma ordning vars element är lika med skillnaden mellan element i två matriser. Subtraktionen av två matriser kan representeras i termer av addition av två matriser. Låt oss säga att vi måste subtrahera matris B från matris A och sedan kan vi skriva A – B. Vi kan också skriva om den som A + (-B). Låt oss lösa ett exempel

Exempel: Subtrahera old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} från old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix} }.

Låt oss anta A =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}och B =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

A – B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}–egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

⇒ A – B =egin{bmatrix} 2 – 1 & 3 – 2 6 – 4 & 7 – 5 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 & 1 2 & 2 end{bmatrix}

Skalär multiplikation av matriser

Skalär multiplikation av matriser hänvisar till multiplikationen av varje term i en matris med en skalär term. Om en skalär let's 'k' multipliceras med en matris kommer den ekvivalenta matrisen att innehålla element lika med produkten av skalären och elementet i den ursprungliga matrisen. Låt oss se ett exempel:

Exempel: Multiplicera 3 med old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}}.

3[A] =egin{bmatrix} 3 imes1 & 3 imes 2 3 imes4& 3 imes5 end{bmatrix}

⇒ 3[A] =egin{bmatrix} 3 & 6 12& 15 end{bmatrix}

Multiplikation av matriser

I den multiplikation av matriser , multipliceras två matriser för att ge en enda ekvivalent matris. Multiplikationen utförs på det sättet att elementen i raden i den första matrisen multipliceras med elementen i kolumnerna i den andra matrisen och produkten av element adderas för att ge ett enda element av den ekvivalenta matrisen. Om en matris [A]_i⨯jmultipliceras med matris [B]_j⨯kdå ges produkten som [AB]_i⨯k.

Låt oss se ett exempel.

Exempel: Hitta produkten av old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} och old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Lösning:

Låt A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}och B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 imes2+2 imes6 & 1 imes3+2 imes7 4 imes2+5 imes6& 4 imes3+5 imes7 end{bmatrix}

⇒AB = egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

Egenskaper för matrisaddition och multiplikation

Egenskaper följt av multiplikation och addition av matriser listas nedan:

• A + B = B + A (Kommutativ)
• (A + B) + C = A + (B + C) (Associativ)
• AB ≠ BA (ej kommutativ)
• (AB) C = A (BC) (Associativ)
• A (B+C) = AB + AC (fördelning)

Transponering av matris

Transponering av matris är i grunden omarrangemang av radelement i kolumn- och kolumnelement i en rad för att ge en likvärdig matris. En matris där elementen i raden i den ursprungliga matrisen är ordnade i kolumner eller vice versa kallas Transpose Matrix. Transponeringsmatrisen representeras som A^T. om A = [a_{I j}]_mxn, då en^T= [b_{I j}]_nxmvar b_{I j}= a_från.

Låt oss se ett exempel:

Exempel: Hitta transponeringen av egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix} .

Lösning:

Låt A =egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

⇒ A^T=egin{bmatrix} 18 & 38 17& 47 end{bmatrix}

Egenskaper för transponeringen av en matris

Egenskaper för transponeringen av en matris nämns nedan:

tråd.förstör

• (A^T)^T= A
• (A+B)^T= A^T+ B^T
• (AB)^T= B^TA^T

Spår av Matrix

Spår av en matris är summan av de huvudsakliga diagonala elementen i en kvadratisk matris. Spår av en matris finns bara i fallet med en kvadratisk matris eftersom diagonala element endast finns i kvadratiska matriser. Låt oss se ett exempel.

Exempel: Hitta spåret av matrisen egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Lösning:

Låt oss anta A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Spår(A) = 1 + 5 + 9 = 15

Typer av matriser

Baserat på antalet närvarande rader och kolumner och de speciella egenskaper som visas, klassificeras matriser i olika typer.

• Radmatris : En matris där det bara finns en rad och ingen kolumn kallas radmatris.
• Kolumnmatris : En matris där det bara finns en kolumn och nu rad kallas en kolumnmatris.
• Horisontell matris: En matris där antalet rader är mindre än antalet kolumner kallas en horisontell matris.
• Vertikal matris: En matris där antalet kolumner är mindre än antalet rader kallas en vertikal matris.
• Rektangulär matris : En matris där antalet rader och kolumner är olika kallas en rektangulär matris.
• Fyrkantig matris : En matris där antalet rader och kolumner är detsamma kallas kvadratmatris.
• Diagonal matris : En kvadratisk matris där de icke-diagonala elementen är noll kallas en diagonal matris.
• Noll eller noll matris : En matris vars alla element är noll kallas nollmatris. En nollmatris kallas även nollmatris.
• Enhet eller identitetsmatris : En diagonalmatris vars alla diagonala element är 1 kallas enhetsmatris. En enhetsmatris kallas även en identitetsmatris. En identitetsmatris representeras av I.
• Symmetrisk matris : En kvadratisk matris sägs vara symmetrisk om transponeringen av den ursprungliga matrisen är lika med dess ursprungliga matris. dvs (A^T) = A.
• Skev-symmetrisk matris : En skevsymmetrisk (eller antisymmetrisk eller antimetrisk[1]) matris är en kvadratisk matris vars transponering är lika med dess negativa, dvs (A)^T) = -A.
• Ortogonal matris: En matris sägs vara ortogonal om AA^T= A^TA = jag
• Idempotent matris: En matris sägs vara idempotent om A²= A
• Involutory Matrix: En matris sägs vara ofrivillig om A²= jag.
• Övre triangulär matris : En kvadratisk matris där alla element under diagonalen är noll kallas den övre triangulära matrisen
• Nedre triangulär matris : En kvadratisk matris där alla element ovanför diagonalen är noll kallas den nedre triangulära matrisen
• Singular matris : En kvadratisk matris sägs vara en singularmatris om dess determinant är noll, dvs. |A|=0
• Nonsingular matris: En kvadratisk matris sägs vara en icke-singular matris om dess determinant är icke-noll.

Notera: Varje kvadratisk matris kan unikt uttryckas som summan av en symmetrisk matris och en skevsymmetrisk matris. A = 1/2 (A^T+ A) + 1/2 (A – A^T).

Lär dig mer, Typer av matriser

Determinant av en matris

Determinant för en matris är ett tal som är associerat med den kvadratiska matrisen. Determinanten för en matris kan endast beräknas för en kvadratisk matris. Den representeras av |A|. Determinanten för en matris beräknas genom att addera produkten av elementen i en matris med deras kofaktorer.

Determinant av en matris

Låt oss se hur man hittar determinanten för en kvadratisk matris.

Exempel 1: Hur hittar man determinanten för en 2⨯2 kvadratmatris?

Låt säga att vi har matris A =egin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}

Då är determinanten av A är |A| = annons – f.Kr

Exempel 2: Hur hittar man determinanten för en 3⨯3 kvadratmatris?

Låt oss säga att vi har en 3⨯3-matris A =egin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}

Sedan |A| = a(-1)¹⁺¹egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}+ b(-1)¹⁺²egin{vmatrix} d& f g & i end{vmatrix}+ c(-1)¹⁺³egin{vmatrix} d& e g & h end{vmatrix}

Minor av en matris

Minor av en matris för ett element ges av determinanten för en matris som erhålls efter radering av raden och kolumnen som det specifika elementet tillhör. Minor of Matrix representeras av Mij. Låt oss se ett exempel.

Exempel: Hitta moll i matrisenegin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}för elementet 'a'.

Minor av element 'a' ges som M₁₂=egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}

Kofaktor för Matrix

Kofaktor för en matris hittas genom att multiplicera minor av matrisen för ett givet element med (-1)i+j. Kofaktor för en matris representeras som Cij. Därför ges relationen mellan moll och kofaktor för en matris som Mij = (-1)^i+jMij. Om vi ​​ordnar all kofaktor som erhålls för ett element får vi en kofaktormatris som ges som C =egin{bmatrix} c_{11} & c_{12}& c_{13} c_{21} & c_{22} & c_{23} c_{31} & c_{32} &c_{33} end{bmatrix}

Läs mer , Minderåriga och kofaktorer

Adjoint till en matris

Adjoint beräknas för en kvadratisk matris. Adjoint till en matris är transponeringen av matrisens kofaktor. Adjointen av en matris uttrycks alltså som adj(A) = C_Tdär C är kofaktormatrisen.

Låt oss säga att vi till exempel har matris
A = egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}
sedan
mathrm{adj(A)} = egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}^T Rightarrow mathrm{adj(A)} =egin{bmatrix} A_1 & A_2 & A_3 B_1 & B_2 & B_3 C_1 & C_2 & C_3 end{bmatrix}
var,
egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}är cofaktor för Matrix A.

Egenskaper för Adjoint of Matrix

Egenskaper för adjoint av en matris nämns nedan:

• A(Adj A) = (Adj A) A = |A| jag_n
• Adj(AB) = (Adj B) . (Adj A)
• |Adj A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1Adj(A)
• |adj(adj(A))| =|A| ^ (n-1) ^ 2
• adj(adj(A)) = |A|^(n-2)× A
• Om A = [L,M,N] så adj(A) = [MN, LN, LM]
• adj(I) = I {där jag är identitetsmatris}

Där n = antal rader = antal kolumner

Invers av en matris

En matris sägs vara en invers av matris 'A' om matrisen höjs till effekt -1, dvs A-1. Inversen beräknas endast för en kvadratisk matris vars determinant är icke-noll. Formeln för inversen av en matris ges som:

A^-1= adj(A)/det(A) = (1/|A|)(Adj A), där |A| bör inte vara lika med noll, vilket betyder att matris A bör vara icke-singular.

Egenskaper Invers av matris

• (A^-1)^-1= A
• (AB)^-1= B^-1A^-1
• endast en icke-singular kvadratisk matris kan ha en invers.

Elementär operation på matriser

Elementära operationer på matriser utförs för att lösa den linjära ekvationen och för att hitta inversen av en matris. Elementära operationer är mellan rader och mellan kolumner. Det finns tre typer av elementära operationer som utförs för rader och kolumner. Dessa operationer nämns nedan:

Elementära operationer på rader inkluderar:

• Byter två rader
• Multiplicera en rad med ett tal som inte är noll
• Lägger till två rader

Elementära operationer på kolumner inkluderar:

• Byter två kolumner
• Multiplicera en kolumn med ett tal som inte är noll
• Lägger till två kolumner

Förstärkt matris

En matris som bildas genom att kombinera kolumner av två matriser kallas Förstärkt matris . En förstärkt matris används för att utföra elementära radoperationer, lösa en linjär ekvation och hitta inversen av en matris. Låt oss förstå genom ett exempel.

java multithreading

Låt oss säga att vi har en matris A =egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}, X =egin{bmatrix} x y z end{bmatrix}och B =egin{bmatrix} p_{1} p_{2} p_{3} end{bmatrix}då bildas förstärkt matris mellan A och B. Den förstärkta matrisen för A och B ges som

[A|B] =left[egin{array}lll a_1 & b_1 & c_1&p_1 a_2 & b_2 & c_2&p_2 a_3 & b_3 & c_3 &p_3end{array} ight]

Lösa linjära ekvationer med hjälp av matriser

Matriser används för att lösa linjära ekvationer. För att lösa linjära ekvationer behöver vi göra tre matriser. Den första matrisen är av koefficienter, den andra matrisen är av variabler och den tredje matrisen är av konstanter. Låt oss förstå det genom ett exempel.

Låt oss säga att vi har två ekvationer givna som a₁x + b₁y = c₁och a₂x + b₂y = c₂. I det här fallet kommer vi att bilda den första matrisen av koefficient, låt oss säga A =egin{bmatrix}a_{1} & b_{1}a_{2} & b_{2}end{bmatrix}, den andra matrisen består av variabler, låt oss säga X =egin{bmatrix}xyend{bmatrix}och den tredje matrisen har koefficienten B =egin{bmatrix}c_{1}c_{2}end{bmatrix}då ges matrisekvationen som

AX = B

⇒ X = A ^-1 B

var,

• A är koefficientmatris
• X är variabel matris
• B är Constant Matrix

Därför kan vi se att värdet på variabel X kan beräknas genom att multiplicera inversen av matris A med B och sedan utjämna den ekvivalenta produkten av två matriser med matris X.

Rang av en matris

Rang av matris ges av det maximala antalet linjärt oberoende rader eller kolumner i en matris. Rangen för en matris är alltid mindre än eller lika med det totala antalet rader eller kolumner som finns i en matris. En kvadratisk matris har linjärt oberoende rader eller kolumner om matrisen är icke-singular, dvs. determinanten är inte lika med noll. Eftersom en nollmatris inte har några linjärt oberoende rader eller kolumner är dess rangordning noll.

Rangen för en matris kan beräknas genom att konvertera matrisen till Row-Echelon Form. I rad echelon form försöker vi konvertera alla element som hör till en rad till noll med hjälp av Elementary Operation on Row. Efter operationen är det totala antalet rader som har minst ett element som inte är noll rankningen av matrisen. Rangen för matrisen A representeras av ρ(A).

Egenvärde och egenvektorer av matriser

Egenvärden är uppsättningen skalärer associerade med den linjära ekvationen i matrisform. Egenvärden kallas också för karakteristiska rötter till matriserna. Vektorerna som bildas genom att använda egenvärdet för att berätta riktningen vid de punkterna kallas egenvektorer. Egenvärden ändrar storleken på egenvektorer. Som vilken vektor som helst förändras inte Eigenvector med linjär transformation.

För en kvadratisk matris A av ordningen ’n’ bildas en annan kvadratisk matris A – λI av samma ordning, där I är identitetsmatrisen och λ är egenvärdet. Egenvärdet λ uppfyller en ekvation Av = λv där v är en vektor som inte är noll.

Lära sig mer om Egenvärden och egenvektorer på vår hemsida.

Matrisformler

Grundformeln för matriserna har diskuterats nedan:

• A^-1= adj(A)/|A|
• A(adj A) = (adj A)A = I, där I är en identitetsmatris
• |adj A| = |A|n-1 där n är ordningen för matris A
• adj(adj A) = |A|n-2A där n är ordningen på matrisen
• |adj(adj A)| = |A|^{(n-1)^2}
• adj(AB) = (adj B)(adj A)
• adj(A^sid) = (adj A)^sid
• adj(kA) = kn-1(adj A) där k är vilket reellt tal som helst
• adj(I) = I
• adj 0 = 0
• Om A är symmetrisk är adj(A) också symmetrisk
• Om A är en diagonal matris så är adj(A) också en diagonal matris
• Om A är en triangulär matris så är adj(A) också en triangulär matris
• Om A är en singularis matris så |adj A| = 0
• (AB)^-1= B^-1A^-1

Läs mer,

• Mängdteori
• Kalkyl
• Trigonometri

Matriser JEE Nätfrågor

Q1. Antalet kvadratmatriser av ordning 5 med poster från mängden {0, 1}, så att summan av alla element i varje rad är 1 och summan av alla element i varje kolumn också är 1, är

Q2. Låt A vara en 3 × 3 matris så att |adj(adj(adj A))| = 12 ⁴ . Sedan |A ^-1 adj A| är lika med,

Q3. Låt α och β vara det reella talet. Betrakta en 3 × 3 matris A så att A ² = 3A + al. Om en ⁴ = 21A + βI, hitta sedan värdet på α och β.

Q4. Låt A = [a]ij, aij ϵ Z ∩ [0, 4], 1 ≤ i, j ≤ 2. Antalet matris A så att summan av alla poster är ett primtal p ϵ (2, 13) är

F5. Låt A vara en n × n matris så att |A| = 2. Om determinanten för matrisen Adj (2. Adj(2A ^-1 )) är 2 ⁸⁴ då är n lika med,

Matriser – Vanliga frågor

Vad är matris i matematik?

Matriser i matematik är rektangulära arrayarrangemang av tal eller variabler som finns i specifika rader och kolumner och genomgår olika operationer.

Hur löser man matriser?

Vi löser matriser för olika operationer som addition, subtraktion, multiplikation, transponering etc. Dessa metoder diskuteras under rubriken Operationer på matriser.

Vilka är de olika typerna av matriser?

De olika typerna av matriser är, radmatris, kolumnmatris, horisontell matris, vertikal matris, kvadratisk matris, diagonalmatris, nollmatris, identitetsmatris, triangulära matriser, symmetriska och skevsymmetriska matriser, hermitiska och snedställda hermitiska matriser etc. Dessa typer har diskuterats under rubriken 'Typer av matriser'

Vad är Rank of a Matrix?

Rangen för en matris är antalet linjärt oberoende rader eller kolumner som finns i en matris.

Vad är transponeringen av en matris?

Transponering av en matris är omarrangemang av element i rader till kolumner och vice versa.

Vad är formeln för att hitta inversen av en matris?

Inversen av matrisen kan ta reda på med formeln A^-1= (1/|A|)(adj A)

Vad är villkoret för att multiplicera två matriser?

Två matriser kan bara multipliceras om antalet kolumner i den första matrisen är lika med antalet rader i den andra matrisen.

Hur hittar man determinant för 2⨯2-matrisen?

Determinanten för en 2⨯2-matris kan hittas genom att subtrahera produkten av diagonala element i matrisen.

Vilken är huvuddiagonalen för en matris?

Diagonalen för en kvadratisk matris som går från de övre vänstra enheterna till de nedre högra enheterna är huvuddiagonalen för en matris.