Transponera en matris är en mycket vanlig metod som används för matristransformation i linjär algebra. Transponering av en matris erhålls genom att byta ut rader och kolumner i den givna matrisen eller vice versa. Transponering av en matris kan användas för att erhålla adjoint och invers av matriserna.

Innan vi lär oss om detaljerna i transponeringen av en matris, låt oss först lära oss om Vad är en matris?. En matris är inget annat än representationen av datauppsättningen i det rektangulära matrisformatet. I en matris är data ordnade i specifika rader och kolumner. Olika typer av matriser finns i matematik och presenteras i ordningen av rader × kolumner. Låt oss ta ett exempel på matrisen av ordningen 3 × 2 (säg A).

A =egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}

I den här artikeln kommer vi att lära oss om transponeringen av en matris, dess typer, egenskaper, symboler och ordning, hur man hittar transponeringen av en matris och exempel på det.

Innehållsförteckning

• Vad är en matris?
• Typer av matriser
• Vad är Transponering av en matris?
• Symbol för Transpose Matrix | Transponera notation
• Order of Transpose Matrix
• Hur hittar man transponeringen av en matris?
• Transponering av rad- och kolumnmatris
• Transponera horisontella och vertikala matriser
• Transponera en symmetrisk matris
• Transponera en diagonal matris
• Transponera en transponerad matris
• Transponera en kvadratisk matris
• Transponera en 3 × 3 matris
• Determinant för transponering av en matris
• Transponera av en matrisegenskaper

Vad är en matris?

En rektangulär matris med siffror, symboler eller tecken som tilldelas en viss rad och kolumn kallas en matris. Siffrorna, symbolerna eller tecknen som finns i matrisen kallas element i matrisen. Antalet rader och kolumner som finns i en matris bestämmer ordningen på matrisen. Till exempel om en matris 'A' innehåller 'i'-rader och 'j'-kolumner så representeras matrisen av [A]i⨯j. Här bestämmer i⨯j matrisens ordning. Låt oss se ett exempel på en matris.

egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}_{3 imes2}

I exemplet ovan finns det tre rader och två kolumner, därför är ordningen på matrisen 3⨯2.

Typer av matriser

Det finns olika typer av matriser baserat på antalet rader och kolumner de har och även på grund av de specifika egenskaper som visas av dem. Låt oss se några av dem

• Radmatris: En matris där det bara finns en rad och ingen kolumn kallas en radmatris.
• Kolumnmatris: En matris där det bara finns en kolumn och nu rad kallas en kolumnmatris.
• Horisontell matris: En matris där antalet rader är mindre än antalet kolumner kallas en horisontell matris.
• Vertikal matris: En matris där antalet kolumner är mindre än antalet rader kallas en vertikal matris.
• Rektangulär matris: En matris där antalet rader och kolumner är olika kallas en rektangulär matris.
• Square Matrix: En matris där antalet rader och kolumner är detsamma kallas kvadratmatris.
• Diagonal matris: En kvadratisk matris där de icke-diagonala elementen är noll kallas en diagonal matris.
• Nollmatris: En matris vars alla element är noll kallas nollmatris.
• Enhetsmatris: En diagonalmatris vars alla diagonala element är 1 kallas enhetsmatris.
• Symmetrisk matris: En kvadratisk matris sägs vara symmetrisk om transponeringen av den ursprungliga matrisen är lika med dess ursprungliga matris. dvs (A^T) = A.
• Skevsymmetrisk: En skev-symmetrisk (eller antisymmetrisk eller antimetrisk[1]) matris är en kvadratisk matris vars transponering är lika med dess negativa, dvs. (A^T) = -A.

Läs också , Typer av matriser

Vad är Transponering av en matris?

Transponering av en matris är en matris som erhålls genom att byta rader och kolumner i den givna matrisen eller vice versa, d.v.s. för den givna matrisen byts elementen i rader ut mot elementen i kolumner. För varje given matris A betecknas dess transponering som A^t, eller A^T.

Transponera en matrisdefinition

Transponeringen av en matris är en matematisk operation som innebär att vända raderna och kolumnerna i den ursprungliga matrisen.

Representation av Transpose of Matrix

A = [a _{(I j)} ] _{m × n}
A ^t = [a _(från) ] _{n × m}

här presenterar i, j positionen för ett matriselement, rad- respektive kolumnvis, så att 1 ≤ i ≤ m och 1 ≤ j ≤ n.

Exempel: För en given matris A av ordning 2 × 3 är dess transponering?

A = egin{bmatrix} 2 & 5 & 3 4 & 7 & 0 end{bmatrix}

Lösning:

Transponering av A

A^t=egin{bmatrix} 2 & 4 5 & 7 3 & 0 end{bmatrix}

Orden av A^tär 3×2

Symbol för Transpose Matrix | Transponera notation

Transponering av en matris är operationen som vänder matrisen över dess huvuddiagonal och byter ut dess rader med kolumner. Transponering av en matris A betecknas med notationen A’ eller A^Teller A^t.

Order of Transpose Matrix

Ordningen på en matris berättar det totala antalet element som en matris innehåller. Det representerar också antalet rader och kolumner i en matris. Horisontella värden representerar matrisens rader och vertikala värden representerar matrisens kolumner. För vilken matris A som helst_m×n, ordningen är m×n, dvs den har m rader och n kolumner. Därför är transponeringen av matris A A^toch dess ordning är n×m, dvs den har n rader och m kolumner.

Hur hittar man transponeringen av en matris?

Transponering av valfri matris kan lätt hittas genom att ändra värdena i raderna med värdena i kolumnerna. Låt oss ta ett exempel för att förstå detta i detalj.

För vilken matris A som helst₂₃, ordningen är 2×3 vilket betyder att den har 2 rader och 3 kolumner.

A = egin{bmatrix} a & b & c x & y & z end{bmatrix}

Transponeringen av matris A är A^tav ordningen 3×2 med 3 rader och 2 kolumner. I transponeringsmatrisen ändras elementen i den första raden i den givna matrisen med den första kolumnen i transponeringsmatrisen. På liknande sätt byts elementen i den andra raden i den givna matrisen A med den andra kolumnen i den nya matrisen A^toch så vidare tills hela matrisen har bytts ut.

sträng java indexof

A^t=egin{bmatrix} a & x b & y c & z end{bmatrix}

Transponering av rad- och kolumnmatris

En matris som har en enda rad kallas en radmatris, medan en matris som har en enda kolumn är känd som en kolumnmatris. Transponeringen av en radmatris är en kolumnmatris och vice versa. Till exempel, om P är en kolumnmatris av ordningen 4 × 1, är dess transponering en radmatris av ordningen 1 × 4. Om Q är en radmatris av ordningen 1 × 3, är dess transponering en kolumnmatris av ordningen 3 × 1.

P = left[egin{array}{cccc} a & b & c & dend{array} ight]⇒ P^{t} = left[egin{array}{c} a b c d end{array} ight]

Q = left[egin{array}{c} p q r end{array} ight]⇒ Q^{t} = left[egin{array}{ccc} p & q & rend{array} ight]

Transponera horisontella och vertikala matriser

Om antalet rader i en matris är mindre än antalet kolumner är matrisen känd som en horisontell matris, och om antalet kolumner i en matris är mindre än antalet rader är matrisen känd som en vertikal matris. Transponeringen av en horisontell matris är en vertikal matris och vice versa. Till exempel, om M är en horisontell matris av ordningen 2 × 3, är dess transponering en vertikal matris av ordningen 3 × 2.

M = left[egin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 0 & 3 & 4 end{array} ight]_{2 imes3}⇒ M^{t} = left[egin{array}{cc} 2 & 0 0 & 3 -1 & 4 end{array} ight]_{3 imes2}

N = left[egin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 4 & 6 & 8 6 & 9 & 12 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{4 imes3}⇒ N^{t} = left[egin{array}{cccc} 2 & 4 & 6 & 8 3 & 6 & 9 & 12 4 & 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{3 imes4}

Transponera en symmetrisk matris

En symmetrisk matris är som en speciell sorts mönster där siffrorna är ordnade på ett sätt som speglar varandra över den diagonala linjen från övre vänster till nedre högra. Transponeringen av en matris innebär att vända matrisen över denna diagonala linje.

Till exempel,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Siffrorna på vardera sidan av den diagonala linjen är desamma: 2 är mittemot 2, 3 är mittemot 3, och så vidare. Om vi ​​nu tar transponeringen av denna matris vänder vi den helt enkelt över den diagonala linjen. Så, siffrorna som ursprungligen fanns i rader blir kolumner och vice versa.

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Här är den ursprungliga matrisen och dess transponering exakt samma. Det beror på att när du transponerar en symmetrisk matris får du tillbaka samma matris! Detta är en speciell egenskap hos symmetriska matriser.

Transponera en diagonal matris

En diagonal matris är som ett mönster där siffrorna bara visas längs den diagonala linjen från övre vänster till nedre högra, medan alla andra poster är nollor. Transponeringen av en matris innebär att vända matrisen över denna diagonala linje.

Till exempel,

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Här visas siffrorna 2, 3 och 5 längs diagonalen, medan alla andra poster är nollor. Eftersom en diagonal matris redan är symmetrisk över sin diagonal, är transponeringen av en diagonal matris helt enkelt sig själv:

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Transponera en transponerad matris

När du transponerar en matris vänder du den över dess diagonala linje. Så att transponera en matris som redan har transponerats innebär att den vänds tillbaka till sin ursprungliga orientering.

Till exempel,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix}

Om vi ​​nu tar transponeringen av denna transponerade matris:

left( egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix} ight)^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix}

Transponera en kvadratisk matris

Kvadratiska matriser är matriser som har lika många rader och kolumner. för vilken kvadratisk matris A som helst_n×n, dess transponering har samma ordning, dvs transponeringen av A, A^thar ordning n × n. Raderna och kolumnerna är utbytta i transponeringen av en kvadratisk matris.

jsp javatpoint

Transponera en 2 × 2 matris

För valfri 2 × 2 matris A,

A =egin{bmatrix} a & x b & y end{bmatrix}

dess transponering är A^t,

A^t= egin{bmatrix} a & b x & y end{bmatrix}

Exempel: Hitta transponeringen av matrisen A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}

Lösning:

Transponera matrisen A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix} är

A^t=egin{bmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{bmatrix}

Transponera en 3 × 3 matris

För valfri 3 × 3 matris A,

A =egin{bmatrix} a & x & p b & y & q c & z & r end{bmatrix}

dess transponering är A^t,

A^t= egin{bmatrix} a & b & c x & y & z p & q & r end{bmatrix}

Exempel: Hitta transponeringen av matrisen A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Lösning:

Transponera matrisen A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} är

A^t=egin{bmatrix} 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 end{bmatrix}

Determinant för transponering av en matris

Determinanten för transponeringen av en matris A är lika med determinanten för A själv, d.v.s. för vilken kvadratisk matris A som helst

|A| = |A ^T |

Transponera en matrisegenskaper

Låt oss lära oss om de viktiga egenskaperna hos transponeringen av en matris:

• En kvadratisk matris A av ordningen n × n sägs vara en ortogonal matris, om AA^T= A^TA = I, där I är en identitetsmatris av ordningen n × n.
• En kvadratisk matris A av ordningen n × n sägs vara en symmetrisk matris om dess transponering är densamma som den ursprungliga matrisen, dvs.^T= A.
• En kvadratisk matris A av ordningen n × n sägs vara en snedsymmetrisk matris om dess transponering är lika med negativet på den ursprungliga matrisen, dvs.^T= –A.
• Dubbeltransponering av en matris: Transponering av transponeringsmatrisen är själva originalmatrisen.

(A ^t ) ^t = A

• Transponering av produkt av matriser: Den här egenskapen säger det

(AB) ^t = B ^t A ^t

Bevis:

Om matriserna A och B är av ordningen m × n respektive n × p.

och

A^toch B^tär transponeringen av matriserna A och B av order n × m respektive p × n (från produktregeln för matriser).

Det innebär att om A = [a(ij)], och A^t= [c(av)]

Sedan, [c(ji)] = [a(ij)]

och,

Om B = [b(jk)], och B^t= [d(kj)]

Sedan, [d(kj)] = [b(jk)]

Nu, från produktregeln för matriser, kan vi skriva,

AB är m × p matris och (AB)^tär p × m matris.

Även B^tär en p × n matris, och A^tär en n × m matris.

Detta betyder att,

(B^t)(A^t) är en p × m matris.

Därför,

(AB)^toch (B^t)(A^t) är båda p × m-matriser.

Nu kan vi skriva,

(k, i)^thelement av (AB)^t= (i, k)^thinslag av AB

sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} sum_{j=1}^{n} c_{ji} d_{kj}

sum_{j=1}^{n} d_{kj} c_{ji}

(k, i)th element av (B ^t )(A ^t )

Därför,

elementen i (AB) ^t och (B ^t )(A ^t ) är jämlika.

Därför,

(AB) ^t = (B ^t )(A ^t )

• Multiplikation med konstant: Om en matris multipliceras med ett skalärt värde och dess transponering tas, så kommer den resulterande matrisen att vara lika med transponeringen av den ursprungliga matrisen multiplicerat med det skalära värdet, dvs (kA)^t= kA^t, där k är ett skalärt värde.

Bevis:

Låt oss betrakta en matris A = [a_{I j}]_{m × n}och en skalär k.

Ordningen för den givna matrisen A är m × n.

Om matris A multipliceras med det skalära värdet k, så multipliceras alla element i matrisen med denna skalära konstant k, men ordningen på matrisen kA förblir densamma, dvs. m × n.

Nu, ordningen för transponeringen av matrisen kA, dvs (kA)^tkommer att vara n × m.

Eftersom ordningen för matrisen A är m × n, ordningen för dess transponeringsmatris, dvs.^tkommer att vara n × m.

Om matris A^tmultipliceras med det skalära värdet k, sedan ordningen på matrisen kA^tkommer också att vara n × m.

Så, ordningen på matriserna (kA)^toch kA^tär densamma, dvs n × m.

Låt oss nu bevisa att motsvarande element i (kA)^toch kA^tär jämlika.

Det (i, j):e elementet i (kA)^tkommer att vara lika med (j, i):e elementet i kA.

(I j)^thelement av (kA)^t= (j, i)^thelement av kA

⇒ (i, j)^thelement av (kA)^t= (i, j)^thelement av kA^t

Så vi säger att motsvarande element i (kA)^toch kA^tär jämlika.

Som ordningen och motsvarande element i (kA)^toch kA^tär jämlika,

Därför kan vi dra slutsatsen att (kA) ^t = kA ^t .

linux kommandon

• Transponering av tillägg av matriser: Den här egenskapen säger det.

(A + B) ^t = A ^t + B ^t

Bevis:

Här är A och B två ordningsmatriser m × n

Låta, A = [a(ij)] och B = [b(ij)] av ordning m × n .

Så, (A + B) är också av ordning m × n matris

Också, A ^t och B ^t är av ordning n × m matriser.

Alltså Transponering av matris (A + B) eller (A + B) ^t är en n × m matris.

Nu kan vi säga, A ^t + B ^t är också en n × m matris.

Nu, från införlivningsregeln,
(j, i):e element av (A + B) ^t = (i, j)th element av (A + B)

= (i, j)th element av A + (i, j)th element av B
= (j, i):e element av A ^t + (j, i):e element av B ^t
= (j, i):e element av (A ^t + B ^t )

Därför,

(A + B) ^t = A ^t + B ^t

• Om A är en kvadratisk matris av valfri ordning och är inverterbar, är inversen av dess transponering lika med transponeringen av inversen av den ursprungliga matrisen, dvs (A)^t)^-1= (A^-1)^t.

Bevis:

För att bevisa att (A^t)^-1= (A^-1)^t, låt oss betrakta en icke-singular kvadratisk matris A.

RHS = (A^-1)^t

Multiplicera nu (A^-1)^tav A^t

= (A^-1)^t× A^t

Vi vet att (AB)^t= B^tA^t

Så, (A^-1)^tA^t= (AA^-1)^t

Vi vet att AA^-1= I, där I är en identitetsmatris.

Så, (A^-1)^tA^t= jag^t

⇒ (A^-1)^tA^t= Jag (Sedan jag^t= jag)

⇒ (A^-1)^t= (A^t)^-1= LHS

Därmed bevisat.

Därför, (A ^t ) ^-1 = (A ^-1 ) ^t

Folk läser också:

• Adjoint till en matris
• Determinant av en matris
• Invers av en matris

Lösta exempel på transponering av en matris

Exempel 1: Hitta transponeringen av matrisen A = egin{bmatrix} a & b & c p & q & r end{bmatrix}

Lösning:

Transponeringen av matris A är A^t

A^t=egin{bmatrix} a & p b & q c & r end{bmatrix}

Exempel 2: För matriser, A = egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} och B = egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

Bevisa att för dessa matriser innehar egenskapen, (AB) ^t = (B ^t )(A ^t )

Lösning:

Här är A och B 23 och 3×2 matriser. Så genom produktregeln för en matris kan vi hitta deras produkt och de slutliga matriserna skulle vara av 2×2 matris.

L.H.S

Nu,

ta bort npm-cache

AB= egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

AB =egin{bmatrix} (-2)×2+1×(-3)+3×4 & (-2)×1+1×0+3×(-5) 0×2+4×(-3)+(-1)×4 & 0×1+4×0+(-1)×(-5) end{bmatrix}

AB= egin{bmatrix} 5 & -17 -16 & 5 end{bmatrix}

Så, Transponering av matris AB är,

(AB)^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

R.H.S

A^{t} = egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix}

och

B^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix}

Så,

B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2×(-2)+(-3)×1+4×3 & 2×0+(-3)×4+4×(-1) 1×(-2)+0×1+(-5)×3 & 1×0+0×4+(-5)×(-1) end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

Därför,

(AB) ^t = B ^t A ^t

Exempel 3: Kontrollera om (f ^T ) ^T = Q eller inte.

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Lösning:

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Q^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]^{T}

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight] = Q

Därför verifierad.

Exempel 4: Kontrollera om matrisen nedan är symmetrisk eller inte.

P = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]

Lösning:

Vi vet att en kvadratisk matris P av ordningen n × n sägs vara en symmetrisk matris om dess transponering är densamma som den ursprungliga matrisen, dvs.^T= P.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]^{T}

Nu, P^Terhålls genom att byta ut dess rader till kolumner.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight] = P

Som P^T= P, den givna kvadratiska matrisen är symmetrisk.

Exempel 5: För matriser A= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} och B= egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix}

Bevisa att dessa matriser har denna egenskap, (A + B) ^t = A ^t + B ^t

Lösning:

python os listdir

L.H.S

(A+B)= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 5+(-2) 3+5 & 2+4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 6 end{bmatrix}

Så,

(A+B)^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

R.H.S

A^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix}

och,

B^{t} = egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix}

Nu,

A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 3+5 5+(-2) & 2+4 end{bmatrix} A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

Därför,

(A + B) ^t = A ^t + B ^t

Vanliga frågor om Transpose of a Matrix

Vad är transponeringen av en matris?

Transponering av en matris är en matris som erhålls genom att byta ut rader och kolumner i matrisen. Transponeringen av matris A betecknas som A^t. För en given matris av ordningen m×n är transponering av matris av ordningen n×m.

Vilken är ordningen för transponeringen av en kvadratisk matris?

För en kvadratisk matris ändras inte ordningen på matrisen vid transpoe, därför för en matris av ordningen n×n är ordningen för dess transponering också n×n.

Vad är additionsegenskapen för transponeringsmatrisen?

Additionsegenskapen för transponering av matris anger att summan av två transponeringsmatriser alltid är lika med summan av transponeringen av individuella matriser, dvs.

(A+B)′ = A′+B′

Vad är multiplikationsegenskapen för transponeringsmatrisen?

Multiplikationsegenskapen för transponering av matris anger att produkten av transponeringen av två matriser alltid är lika med produkten av transponeringen av individuella matriser i omvänd ordning, dvs.

(A×B)′ = B′ × A′

Hur beräknar man transponeringen av en matris?

Transponering av valfri matris kan lätt hittas genom att ändra värdena i raderna med värdena i kolumnerna.