Kunskaper om matriser är nödvändiga för olika grenar av matematiken. Matriser är ett av de mest kraftfulla verktygen inom matematik. Från matriser kommer det Determinanter, Nu ser vi en av egenskaperna hos Determinanten i den här artikeln.
I den här artikeln ser vi hur du hittar Adjoint till en matris. Att veta om Adjoint till en matris vi måste veta om Kofaktor av en matris.
Innehållsförteckning
- Adjoint till en matrisdefinition
- Minor av en matris
- Kofaktor för en matris
- Transponering av matris
- Hur hittar man adjoint till en matris?
- Egenskaper för Adjoint av en matris
- Hitta invers med hjälp av adjoint av en matris
Adjoint till en matrisdefinition
Adjointen till en matris är transponeringsmatrisen för kofaktorn för den givna matrisen. För att någon kvadratisk matris A ska beräkna dess adj. matris måste vi först beräkna kofaktormatrisen för den givna matrisen och sedan hitta dess determinant. Följ följande steg för att beräkna Ajoint för en matris:
Steg 1 : Beräkna minor av alla element i den givna matrisen A.
Steg 2: Hitta kofaktormatrisen C med hjälp av bielementen.
Steg 3: Hitta Adjoint-matrisen för A genom att ta transponeringen av kofaktormatrisen C.
För valfri 2×2 matris A visas bilden av dess adjoint nedan,
Låt oss nu lära oss om minor, kofaktor och transponering av matrisen.
Minor av en matris
Matrisens moll är matrisen eller elementet som beräknas genom att dölja raden och kolumnen i matrisen för det element för vilket biträdet beräknas. För 2×2-matrisen är minor det element som visas genom att dölja raden och kolumnen för elementet för vilket minor beräknas.
Lära sig mer om, Minderåriga och kofaktorer
Kofaktor för en matris
Kofaktorn är siffran vi får när vi tar bort kolumnen och raden för ett angivet element i en matris. Det betyder att ta ett element från en matris och ta bort hela raden och kolumnen för det elementet från matrisen, sedan vilka element som finns i den matrisen, det vill säga kofaktor.
Hur man hittar kofaktor för en matris
För att hitta kofaktorn för ett element i en matris kan vi använda följande steg:
Steg 1: Ta bort hela raden och kolumnen som innehåller element som övervägs.
Steg 2: Ta de återstående elementen som de är i matrisen efter steg 1.
Steg 3: Hitta determinanten för matrisen som bildas i steg 2 som kallas mindre av elementet.
Steg 4: Använd nu formeln för kofaktorn för element aI jdvs (-1)i+jMI jdär Mij är moll av elementet i i:etthrad och jthkolumn som redan beräknas i steg 3.
Steg 5: Resultatet av steg 4 är kofaktorn för det element som övervägs, och på samma sätt kan vi beräkna kofaktorn för varje element i matrisen för att hitta kofaktormatrisen för den givna matrisen.
Exempel: Hitta kofaktormatris för
Lösning:
Given matris är
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} Låt oss hitta kofaktorn för element i första radens tredje kolumn, dvs 3.
Steg 1: Ta bort hela raden och kolumnen som innehåller element som övervägs.
dvs.
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} Steg 2: Ta de återstående elementen som de är i matrisen efter steg 1.
dvs.
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} Steg 3: Hitta determinanten för matrisen som bildas i steg 2 som kallas minor för elementet.
Mindre på 3 tum
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 Steg 4: Använd nu formeln för kofaktorn för element aI jdvs (-1)i+jMI j
Kofaktor för element 3 = (-1)1+3(32) = 32
Steg 5: Fortsätt proceduren för alla element för att hitta kofaktormatrisen för A,
dvs. kofaktormatris av A =
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
Transponering av matris
Transponering av en matris är den matris som bildas genom att raderna och kolumnerna i matrisen ändras med varandra. Transponeringen av matrisen A betecknas som ATeller A'. Om ordningen för matrisen A är m×n, så är ordningen för transponeringsmatrisen n×m.
Lära sig mer om, Transponera en matris
Hur hittar man adjoint till en matris?
För att hitta adjointen till en matris måste vi först hitta kofaktorn för varje element och sedan hitta ytterligare två steg. se stegen nedan,
Steg 1: Hitta kofaktorn för varje element som finns i matrisen.
Steg 2: Skapa en annan matris med kofaktorerna som dess element.
Steg 3: Hitta nu transponeringen av matrisen som kommer från efter steg 2.
Hur man hittar adjoint av en 2×2-matris
Låt oss överväga ett exempel för att förstå metoden för att hitta anslutningen till 2×2-matrisen.
Exempel: Hitta Adjoint av
Lösning:
Given matris är
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} Steg 1: Hitta kofaktorn för varje element.
Kofaktor för element vid A[1,1]: 5
Kofaktor för element vid A[1,2]: -4
Kofaktor för element vid A[2,1]: -3
Kofaktor för element vid A[2,2]: 2
Steg 2: Skapa matris från Cofactors
dvs.
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} Steg 3: Transponering av kofaktormatris,
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
Hur man hittar adjoint av en 3×3-matris
Låt oss ta ett exempel på en 3×3-matris för att förstå hur man beräknar Adjoint för den matrisen.
Exempel: Hitta Adjoint av
Lösning:
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} Steg 1: Hitta kofaktorn för varje element.
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 Steg 2: Skapa matris från Cofactors
hur uppfann skolan
C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} Steg 3: Transponera matris C till adjoint till given matris.
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} Som är angränsande till given matris A.
Egenskaper för Adjoint av en matris
Adjoint till en matris har olika egenskaper, några av dessa egenskaper är följande:
- A(Adj A) = (Adj A)A = |A| jagn
- Adj(BA) = (Adj B) (Adj A)
- |Adj A| = |A|n-1
- Adj(kA) = kn-1(Adj A)
Hitta invers med hjälp av adjoint av en matris
Att hitta inversen är en av de viktiga tillämpningarna av matrisens adjoint. För att hitta inversen av en matris med Adjoint kan vi använda följande steg:
Steg 1: Hitta matrisens determinant .
Steg 2: Om determinanten är noll är matrisen inte inverterbar och det finns ingen invers.
Steg 3: Om determinanten inte är noll, hitta matrisens adjoint.
Steg 4: Dela matrisens adjoint med determinanten för en matris.
Steg 5: Resultatet av steg 4 är inversen av den givna matrisen.
Exempel: Hitta inversen av
Lösning:
Given matris
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)
⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)
⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0
Det omvända till A existerar alltså inte.
Lära sig mer om, Invers av en matris
Lösta exempel på adjoint av en matris
Exempel 1: Hitta adjointen för den givna matrisen
Lösning:
Steg 1: För att hitta kofaktorn för varje element
För att hitta kofaktorn för varje element måste vi ta bort raden och kolumnen för varje element en efter en och ta de nuvarande elementen efter borttagning.
Kofaktor för element vid A[0,0] = 1 :
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4Kofaktor för element vid A[0,1] = 2 :
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33Kofaktor för element vid A[0,2] = 3 :
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32Kofaktor för element vid A[2,0] = 7 :
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6Kofaktor för element vid A[2,1] = 4 :
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9Kofaktor för element vid A[2,2] = 5 :
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4Kofaktor för element vid A[3,0] = 6 :
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2Kofaktor för element vid A[3,1] = 8 :
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16Kofaktor för element vid A[3,2] = 9 :
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10Matrisen ser ut som med kofaktorerna:
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} Den slutliga kofaktormatrisen:
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} Steg 2: Hitta transponeringen av matrisen som erhölls i steg 1
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} Det här är Adjoint av matrisen.
Exempel 2: Hitta adjointen för den givna matrisen
Lösning:
Steg 1: För att hitta kofaktorn för varje element
För att hitta kofaktorn för varje element måste vi ta bort raden och kolumnen för varje element en efter en och ta de nuvarande elementen efter borttagning.
Kofaktor för element vid A[0,0] = -1 :
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3Kofaktor för element vid A[0,1] = -2 :
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6Kofaktor för element vid A[0,2] = -2 :
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6Kofaktor för element vid A[2,0] = 2 :
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6Kofaktor för element vid A[2,1] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3Kofaktor för element vid A[2,2] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Kofaktor för element vid A[3,0] = 2 :
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6Kofaktor för element vid A[3,1] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Kofaktor för element vid A[3,2] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3Den slutliga kofaktormatrisen:
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} Steg 2: Hitta transponeringen av matrisen som erhölls i steg 1
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} Det här är Adjoint av matrisen.
Vanliga frågor om Adjoint of a Matrix
Vad är Adjoint av en matris?
Adjointen till en kvadratisk matris är transponeringen av matrisen av kofaktorer för den ursprungliga matrisen. Det är också känt som adjugatmatrisen.
Hur beräknas adjoint av en matris?
För att beräkna adjointen för en matris måste du hitta kofaktormatrisen för den givna matrisen och sedan transponera den.
Vad är användningen av adjoint av en matris?
Nyckelapplikationen eller användningen av adjoint till en matris är att hitta inversen av inverterbara matriser.
Vad är förhållandet mellan invers av en matris och dess adjoint?
Inversen av en matris erhålls genom att dividera dess adjoint med dess determinant. Det vill säga, om A är en kvadratisk matris och det(A) är icke-noll, då
A -1 = adj(A)/det(A)
Vad är Adjugate Matrix?
Den adjoint matrisen kallas även Adjugate Matrix. Det är transponeringen av kofaktorn för den givna matrisen.
Vad är skillnaden mellan adjoint och transponering av en matris?
Adjointen av en matris är transponeringen av matrisen av kofaktorer, medan transponeringen av en matris erhålls genom att byta ut dess rader och kolumner.
Är en kvadratisk matris alltid inverterbar?
Nej, kvadratisk matris är inte alltid inverterbar. En kvadratisk matris är endast inverterbar om den har en determinant som inte är noll.
Kan Adjoint av en icke-kvadratmatris beräknas?
Nej, adjointen av en matris kan bara beräknas för en kvadratisk matris på grund av definitionen av den.