Determinant för 4×4-matrisen: Determinant av en matris är ett grundläggande koncept i linjär algebra, viktigt för att härleda ett enda skalärt värde från matrisen. 4×4 är en kvadratisk matris med 4 rader och 4 kolumner vars determinant kan hittas av en formel som vi kommer att diskutera.
java string.format
Denna artikel kommer att utforska definitionen av en 4 × 4-matris och vägleda dig genom steg-för-steg-processen för att beräkna determinanten för 4×4-matrisen. Dessutom utforskar den de praktiska tillämpningarna av denna matematiska operation.
Innehållsförteckning
- Vad är determinanten för en matris?
- Determinant av 4×4 Matrix
- Determinant för 4 × 4 matrisformel
- Determinant för 4×4-matrisexempel
- Determinant för 4×4-matrisövningsfrågor
Vad är determinanten för en matris?
De determinant för en matris är ett skalärt värde som kan beräknas från elementen i a kvadratisk matris . Den ger viktig information om matrisen, till exempel om den är inverterbar och skalfaktorn för linjära transformationer som representeras av matrisen.
Olika metoder, som t.ex kofaktor expansion eller radminskning, kan användas för att hitta determinanten för en matris, beroende på matrisens storlek och struktur. När den väl har beräknats, betecknas determinanten av det-symbolen eller vertikala streck som omger matrisen.
Determinant av 4×4 Matrix
En 4×4-matris är en rektangulär matris med siffror arrangerade i fyra rader och fyra kolumner. Varje element i matrisen identifieras av dess rad- och kolumnposition. Den allmänna formen av en 4×4-matris ser ut så här:
egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}
Där enI jrepresenterar elementet i ithrad och jthkolumn i matrisen.
4×4-matriser förekommer ofta inom olika områden som datorgrafik, fysik, teknik och matematik. De används för att representera transformationer, lösa system av linjära ekvationer och utföra operationer i linjär algebra.
Egenskaper för 4×4 Matrix
Här är några egenskaper hos en 4×4-matris förklarade i förenklade termer:
- Square Matrix: En 4×4-matris har lika många rader och kolumner, vilket gör den till en kvadratisk matris.
- Determinant: Determinanten för en 4×4-matris kan beräknas med metoder som kofaktorexpansion eller radreduktion. Den ger information om matrisens inverterbarhet och skalningsfaktor för linjära transformationer.
- Omvänd: En 4×4-matris är inverterbar om dess determinant inte är noll. Inversen av en 4×4-matris tillåter att lösa system av linjära ekvationer och ångra transformationer som representeras av matrisen.
- Transponera: Transponeringen av en 4×4-matris erhålls genom att byta ut dess rader och kolumner. Det kan vara användbart i vissa beräkningar och transformationer.
- Egenvärden och egenvektorer: 4×4-matriser kan analyseras för att hitta deras egenvärden och egenvektorer , som representerar egenskaper hos matrisen under linjära transformationer.
- Symmetri: Beroende på den specifika matrisen kan den uppvisa symmetriegenskaper som att vara symmetrisk, skevsymmetrisk eller ingetdera.
- Matrisoperationer: Olika operationer som addition, subtraktion, multiplikation och skalär multiplikation kan utföras på 4×4-matriser enligt specifika regler och egenskaper.
Läs i detalj: Determinanters egenskaper
Determinant för 4 × 4 matrisformel
Determinant för valfri 4 × 4 matris, dvs.
det(A) = a elva · det(A elva ) – a 12 · det(A 12 ) + a 13 · det(A 13 ) – a 14 · det(A 14 )
Där enI jbetecknar submatrisen genom att ta bort ithrad och jthkolumn.
Hur hittar du determinanten för en 4 × 4-matris?
För att hitta bestämningsfaktorn för en 4×4-matris kan du använda olika metoder som expansion med minor, radminskning eller att tillämpa specifika egenskaper.
En vanlig metod är att använda expansion med minderåriga, där du expanderar längs en rad eller kolumn genom att multiplicera varje element med dess kofaktor och summera resultaten. Denna process fortsätter rekursivt tills du når en 2×2 submatris, för vilken du direkt kan beräkna determinanten. För att förstå hur man hittar determinanten för en 4×4-matris, överväg ett exempel.
egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}
Steg 1: Expandera längs den första raden:
det(A) = 2 · det(A elva ) – 1 · det(A 12 ) + 3 · det(A 13 ) – 4 · det(A 14 )
Där enI jbetecknar submatrisen som erhålls genom att radera den i:te raden och den j:te kolumnen.
Steg 2: Beräkna determinanten för varje 3×3 submatris.
För enelva
⇒ |Aelva| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]
⇒ |Aelva| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]
⇒ |Aelva| = 10 – 2(-13) + 4
⇒ |Aelva| = 10 + 26 + 4= 40
För en12
⇒ |A12| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]
⇒ |A12| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]
⇒ |A12| = 0 – 2(8) + 6
⇒ |A12| = 0 – 16+ 6= 10
För en13
⇒ |A13| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
få anslutning
⇒ |A13| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A13| = 0 – (-1)(8) + 2(11)
⇒ |A13| = 8 + 22= 30
För en14
⇒ |A14| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A14| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A14| = 0 – (-1)(6) + 2(11)
⇒ |A14| = 6 + 22 = 28
Steg 3: Ersätt determinanterna för 3×3-submatriserna i expansionsformeln:
(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28
Steg 4: Beräkna den slutliga determinanten:
det(A) = 80 – 10 + 90 – 112
det(A) = 48
Så determinanten för den givna 4×4-matrisen är 48.
Kolla också
- Determinant av 2×2 Matrix
- Determinant av 3×3 Matrix
Determinant för 4×4-matrisexempel
Exempel 1: A =
Lösning:
Expandera först längs första raden:
ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14}) Beräkna nu determinanten för varje 3×3 submatris.
För en elva ):
A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) = (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))
= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))
= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)
= -13 – 12
= -25
För en 12 ):
A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight) = (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2) -(1)(1))
= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))
= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)
= -14 – 0 – 21
= -35
För en 13 ):
A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix} skriv json till filen python
ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0) ) )-(2)(1))
= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))
= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)
= 12 + 14 – 6
= 20
För en 14 ):
A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}
ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))
= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))
= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)
= -8 – 5 + 0
= -13
Ersätt nu determinanterna för 3×3-submatriserna i expansionsformeln:
det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)
= -50 + 35 + 0 + 39
= -50 + 35 + 39
= 24
Så determinanten för matris (A) är 24.
Exempel 2: Beräkna matrisens determinant
Lösning:
För att hitta determinanten för matrisen ( A ), använder vi metoden expansion med minor längs den första raden:
byt ut strängen i java
ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} Låt oss nu beräkna determinanterna för 3×3-submatriserna:
ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2))) = 2 · (0 – 4 + 30) = 52
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4)) = -1 · (1 – 6 + 45) = 60
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (6 – 0 – 50) = 44
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (8 – 0 + 0) = -8
Byt nu tillbaka dessa bestämningsfaktorer i expansionsformeln:
det(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120
Så, determinanten för matris (A) är det(A) = -120.
Exempel 3: Hitta determinanten för matrisen B =
Lösning:
För att hitta determinanten för matrisen ( B ), använder vi metoden expansion med minor längs den första raden:
ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix} Låt oss nu beräkna determinanterna för 3×3-submatriserna:
ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2)) = -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))
strängformat= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3)) = 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))
= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3) = -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)
= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3
= 24 + 6 + 6
= 36
Byt nu tillbaka dessa bestämningsfaktorer i expansionsformeln:
det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ någonting
= 8 + 9 – 36 + 0
= -19
Så, determinanten för matris (B) är det(B) = -19
Determinant för 4×4-matrisövningsfrågor
Q1: Beräkna determinanten för följande 4×4-matris:
Q2: Hitta matrisens determinant:
Q3: Beräkna determinanten för följande 4×4-matris:
F4: Bestäm matrisens determinant:
F5: Hitta matrisens determinant:
Vanliga frågor om Determinant of 4×4 Matrix
Hur hittar man determinanten för en 4×4-matris?
För att hitta determinanten för en 4×4-matris kan du använda olika metoder som kofaktorexpansion eller radreduktionstekniker.
Vad är determinanten för en 4×4 identitetsmatris?
Determinanten för en 4×4 identitetsmatris är 1, eftersom det är ett specialfall där alla diagonala element är 1 och resten är 0.
Hur hittar man determinanten för en 4×4-matris med hjälp av kofaktorexpansion?
Att bestämma determinanten för en 4×4-matris med hjälp av kofaktorexpansion innebär att bryta ner den i mindre 3×3-matriser, tillämpa kofaktorformeln och summera produkterna.
Vad är formeln för determinanten?
Formeln för determinanten innebär att man summerar produkterna av element och deras kofaktorer i varje rad eller kolumn, med hänsyn till deras tecken.
Kan en determinant vara negativ?
Ja, determinanter kan vara negativa, positiva eller noll, beroende på den specifika matrisen och dess egenskaper.
Kan en 4×4-matris ha en invers?
En 4×4-matris kan ha en invers om dess determinant är icke-noll; annars är det singular och saknar en invers.
Hur visar man att en 4×4-matris är inverterbar?
För att visa att en 4×4-matris är inverterbar, bekräfta att dess determinant inte är noll, vilket indikerar förekomsten av en invers, och använd ytterligare kriterier som radminskning för att verifiera inverterbarhet.