Differentiering av trigonometriska funktioner är derivatan av trigonometriska funktioner som sin, cos, tan, cot, sec och cosec. Differentiering är en viktig del av kalkylen. Det definieras som förändringshastigheten för en kvantitet i förhållande till en annan kvantitet. Differentieringen av de trigonometriska funktionerna används i verkligheten inom olika områden som datorer, elektronik och matematik.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om differentieringen av trigonometriska funktioner tillsammans med formlerna, deras relaterade bevis och deras tillämpningar. Vi kommer också att lösa några exempel och få svar på några vanliga frågor om differentiering av trigonometriska funktioner. Låt oss börja lära oss om ämnet differentiering av trigonometriska funktioner.

Vad är differentiering?

Differentieringen av en funktion är ändringshastigheten för en funktion med avseende på vilken variabel som helst. De derivat av f(x) betecknas som f'(x) eller (d/dx)[f(x)].

Förfarandet för att differentiera trigonometriska funktioner kallas differentiering av trigonometriska funktioner. Med andra ord, att hitta förändringshastigheten för trigonometriska funktioner med avseende på vinklarna kallas trigonometrisk funktionsdifferentiering.

De sex grundläggande trigonometriska funktionerna är sin, cos, tan, cosec, sec och cot. Vi kommer att hitta derivatorna av alla trigonometriska funktioner med deras formler och bevis.

Differentieringsregel för trigonometriska funktioner

Differentieringen av sex grundläggande trigonometriska funktioner är som följer:

Du kan kontrollera beviset för derivatan av dessa sex trigonometriska funktioner i länkarna nedan:

Bevis på differentiering av trigonometriska funktioner formel

Som diskuterats ovan, formlerna för alla trigonometriska funktioner, kommer vi nu att bevisa ovanstående formler för differentieringen av de trigonometriska funktionerna med hjälp av den första principen för derivata, kvotregel och kedjeregel med hjälp av gränser.

Differentiering av synd(x)

För att bevisa derivatan av sin x kommer vi att använda den första principen för differentieringen och några grundläggande trigonometriska identiteter och gränser. Formeln för trigonometriska identiteter och gränser som används i beviset ges nedan:

1. sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Låt oss börja beviset för differentieringen av den trigonometriska funktionen sin x

Genom den första principen om differentiering

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sin h/h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Genom att använda 2 och 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Därför är differentieringen av sin x cos x.

Differentiering av cos(x)

För att bevisa derivatan av cos x kommer vi att använda den första principen för differentieringen och några grundläggande trigonometriska identiteter och gränser. Formeln för trigonometriska identiteter och gränser som används i beviset ges nedan:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Låt oss börja beviset för differentieringen av den trigonometriska funktionen cos x

Genom den första principen om differentiering

(d/dx) cos x = lim_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_h→0[(utan h/h) utan x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Genom att använda 2 och 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

java typ konvertering och gjutning

Därför är differentiering av cos x -sin x.

Differentiering av tan(x)

För att bevisa derivatan av tan x kommer vi att använda kvotregeln och några grundläggande trigonometriska identiteter och gränser. Formeln för trigonometriska identiteter och gränser som används i beviset ges nedan:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. cos²x + sin²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Låt oss börja beviset för differentieringen av den trigonometriska funktionen tan x

Sedan, av (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Genom att använda kvotregel

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [av 4 och 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + sin²x] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [av 3]

⇒ (d/dx) tan x = sek ² x [av 2]

Därför är differentiering av tan x sek ² x.

Differentiering av cosec(x)

För att bevisa derivatan av cosec x kommer vi att använda kedjeregeln och några grundläggande trigonometriska identiteter och gränser. Formeln för trigonometriska identiteter och gränser som används i beviset ges nedan:

1. barnsäng x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. (d/dx) sin x = cos x

Låt oss börja beviset för differentieringen av den trigonometriska funktionen cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [By 2]

Använder kedjeregel

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) sin x

gimp ta bort vattenstämpel

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [By 1 och 2]

Därför är differentieringen av cosec x - cosec x cot x.

Differentiering av sek(x)

För att bevisa derivatan av sek x kommer vi att använda kvotregeln och några grundläggande trigonometriska identiteter och gränser formel . Formeln för trigonometriska identiteter och gränser som används i beviset ges nedan:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Låt oss börja beviset för differentieringen av den trigonometriska funktionen sec x

(d/dx) sek x = (d/dx) [1 / cos x] [By 2]

Använder kedjeregel

(d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (-utan x)

⇒ (d/dx) sek x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sek x = sek x tan x [Av 1 och 2]

Därför är differentieringen av sek x sek x tan x.

Differentiering av spjälsäng(x)

För att bevisa derivatan av cot x kommer vi att använda kvotregeln och några grundläggande trigonometriska identiteter och gränser. Formeln för trigonometriska identiteter och gränser som används i beviset ges nedan:

1. barnsäng x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. cos²x + sin²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Låt oss börja beviset för differentieringen av den trigonometriska funktionen cot x

Sedan, av (1)

barnsäng x = cos x / sin x

(d/dx) spjälsäng x = (d/dx)[cosx / sin x]

Genom att använda kvotregel

(d/dx) barnsäng x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²x

⇒ (d/dx) barnsäng x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [av 4 och 5]

⇒ (d/dx) spjälsäng x = [ -sin²x – cos²x] / synd²x

⇒ (d/dx) barnsäng x = -[ sin²x + cos²x] / synd²x

⇒ (d/dx) spjälsäng x = -1 / sin²x [av 3]

⇒ (d/dx) barnsäng x = -cosec ² x [av 2]

Därför är differentieringen av cot x -cosec ² x.

Några andra trigfunktionsderivat

Differentieringen av de trigonometriska funktionerna kan enkelt göras med hjälp av kedjeregel. De komplexa trigonometriska funktionerna och sammansatta trigonometriska funktionerna kan lösas genom att tillämpa kedjeregel av differentiering. I följande rubriker kommer vi att studera differentieringen av kedjeregeln och sammansatta trigfunktioner i detalj.

• Differentiering med hjälp av Chain Rule
• Differentiering av Composite Trig Funktion

Låt oss diskutera dessa ämnen i detalj.

Kedjeregel och trigonometrisk funktion

Kedjeregeln säger att om p(q(x)) är en funktion så ges derivatan av denna funktion av produkten av derivatan av p(q(x)) och derivatan av q(x). Kedjeregeln används för att skilja sammansatta funktioner . Kedjeregeln används mest för att enkelt differentiera de sammansatta triggfunktionerna.

Exempel: Hitta derivatan av f(x) = tan 4x

Lösning:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

Genom att tillämpa kedjeregel

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sek²4x)(4)

Differentiering av Composite Trig Funktion

För att utvärdera differentieringen av de sammansatta trigfunktionerna använder vi kedjedifferentieringsregeln. De sammansatta trigfunktionerna är de funktioner där vinkeln för den trigonometriska funktionen i sig är en funktion. Differentieringen av sammansatta trigonometriska funktioner kan enkelt utvärderas genom att tillämpa kedjeregeln och differentieringsformlerna för trigfunktioner.

Exempel: Hitta derivatan av f(x) = cos(x ² +4)

Lösning:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Genom att tillämpa kedjeregel

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Vad är omvända trigonometriska funktioner?

De inversa trigonometriska funktioner är de inversa funktionerna av de trigonometriska funktionerna. Det finns sex omvända trigonometriska funktioner: sin^-1, för^-1, alltså^-1, cosec^-1, sek^-1, spjälsäng^-1. De inversa trigonometriska funktionerna kallas också bågfunktioner.

Differentiering av inversa trigonometriska funktioner

Derivaterna av sex inversa trigonometriska funktioner är följande:

Exempel: Hitta derivatan av f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 x

Lösning:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1x]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x]+ 4(d/dx) [cos^-1x]

vad är linux-filsystemet

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Tillämpningar om differentiering av trigonometriska funktioner

Det finns många olika tillämpningar av differentieringen av trigonometriska funktioner i det verkliga livet. Följande är tillämpningarna av differentieringen av de trigonometriska funktionerna.

• Tangensens lutning och normallinjen till den trigonometriska kurvan kan bestämmas med hjälp av differentieringen av de trigonometriska funktionerna.
• Den kan också användas för att bestämma maxima och minima för funktionen.
• Det används också inom området datorer och elektronik.

Kolla också

• Omvänd trigderivat
• Antiderivat
• Differentieringsformler

Exempel på problem med differentiering av trigfunktioner

Uppgift 1: Hitta derivatan av f(x) = tan 2x.

Lösning:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Genom att tillämpa kedjeregel

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sek²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2sek²2x

Uppgift 2: Hitta derivatan av y = cos x / (4x ² )

Lösning:

y = cos x / (4x²)

Tillämpar kvotregel

y' = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y' = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Uppgift 3: Utvärdera derivatan f(x) = cosec x + x tan x

Lösning:

f(x) = cosec x + x tan x

Genom att tillämpa formel och produktregel

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²x

Uppgift 4: Hitta derivatan av funktionen f(x) = 6x ⁴ för x

Lösning:

f(x) = 6x⁴för x

Genom att tillämpa produktregeln

f'(x) = (d/dx) [6x⁴för x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-utan x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³för x – x⁴utan x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

Uppgift 5: Utvärdera derivatan: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

js-ersättning

Lösning:

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Genom att tillämpa produktregeln

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – sin x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + sin²x – 2 sinx – x cosx – cos²x

Öva problem om differentiering av trigonometriska funktioner

Problem 1: Hitta derivatan av y = sin(x) + cos(x).

Problem 2: Beräkna derivatan av y = 2sin(x) – 3cos(x).

Problem 3: Hitta derivatan av y = 2sin(3x).

Problem 4: Bestäm derivatan av y = tan(5x).

Problem 5: Hitta derivatan av y = sin(x) cos(x).

Problem 6: Beräkna derivatan av y = cos²(x).

Problem 7: Bestäm derivatan av y = tan²(x).

Problem 8: Bestäm derivatan av y = tan(x) sek(x).

Vanliga frågor om differentiering av trigonometriska funktioner

Vad är differentiering?

Differentiering är en matematisk operation som beräknar hastigheten med vilken en funktion ändras med avseende på dess oberoende variabel.

Vad är trigonometrisk funktion?

Trigonometriska funktioner är matematiska funktioner som relaterar vinklarna för en rätvinklig triangel till förhållandet mellan dess sidor.

Vilka är vanliga trigonometriska funktioner?

Vanliga trigonometriska funktioner inkluderar sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecant (cosec), secant (sek) och cotangens (cot).

Definiera differentieringen av trigonometriska funktioner.

Metoden för att differentiera de trigonometriska funktionerna kallas differentiering av trigonometriska funktioner.

Hur differentierar du sinusfunktionen, dvs sin (x)?

Derivatan av sin (x) är cos (x). I matematisk notation är d/dx(sin(x)) = cos(x).

Vad får vi efter differentiering av cosinusfunktionen, dvs cos (x)?

Derivatan av cos (x) är -sin (x). I matematisk notation, d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Hur differentierar du Tangent-funktionen, dvs tan (x)?

Derivatan av tan(x) är sek²(x), där sek(x) är sekantfunktionen. I matematisk notation är d/dx(tan(x)) = sek²(x).

Vilka är formlerna för differentiering av trigonometriska funktioner?

Formeln för differentiering av trigonometriska funktioner är:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²x
• (d/dx) cosec x = -cosec x cosec x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) barnsäng x = -cosec²x

Ge ett exempel på att differentiera en trigonometrisk funktion.

Låt oss betrakta en funktion f(x) = 2sin(3x).

Med hjälp av kedjeregeln,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Vilka metoder används för att härleda differentieringen av trigonometriska funktioner?

De olika sätten på vilka differentieringen av trigonometriska funktioners formel kan härledas är:

• Genom att använda den första principen för derivaten
• Genom att använda Quotientregel
• Genom att använda Kedjeregeln

Vad är antidifferentiering av trigonometriska funktioner?

Antidifferentieringen av de trigonometriska funktionerna innebär att hitta integrationen av de trigonometriska funktionerna.