Quotient Rule är en metod för att hitta derivatan av en funktion som är kvoten av två andra funktioner. Det är en metod som används för att differentiera problem där en funktion delas med en annan. Vi använder kvotregeln när vi ska hitta derivatan av en funktion av formen: f(x)/g(x).

Låt oss lära oss om kvotregeln i kalkyl, dess formel och härledning, med hjälp av lösta exempel.

Definition av kvotregel

Quotientregeln är regeln om differentiering av de funktioner som ges i form av fraktioner , där båda täljare och nämnare är individuella funktioner. Quotientregeln är en grundläggande teknik i kalkyl för att hitta derivatan av en funktion som är kvoten (kvoten) av två differentierbara funktioner . Det tillhandahåller en metod för att differentiera uttryck där en funktion delas med en annan.

Antag att vi får en funktion f(x) = g(x)/h(x) sedan differentiering av f(x), f'(x) hittas som,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Quotientregelformel

Kvotregelformeln är formeln som används för att hitta differentieringen av funktionen som uttrycks som kvotfunktionen. Nedan är formeln för kvotregeln är,

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Var,

• u(x) är den första funktionen som är en differentierbar funktion,
• u'(x) är derivatan av funktionen u(x),
• v(x) är den andra funktionen som är en differentierbar funktion, och
• v'(x) är derivatan av funktionen v(x).

Quotient Regelbevis

Vi kan härleda kvotregeln med följande metoder:

• Använder kedjeregel
• Använda implicit differentiering
• Använda derivat- och gränsegenskaper

Låt oss nu lära oss om dem i detalj.

Härledning av kvotregel med hjälp av kedjeregel

Att bevisa: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Given: H(x) = f(x)/g(x)

Bevis:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Med hjälp av produktregeln,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Att tillämpa maktregeln,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)]/g ² (x)

Därmed är kvotregeln bevisad.

Läs mer:

• Kedjeregel

Härledning av kvotregel med implicit differentiering

Låt oss ta en differentierbar funktion f(x), så att f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

använder produktregeln,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Löser nu för f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Ersätter värdet av f(x) som, f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

mergesort java

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (x)

Därmed är kvotregeln bevisad.

Läs mer

• Implicit differentiering

Regel för härledning av kvot med hjälp av derivat- och gränsegenskaper

Låt oss ta en differentierbar funktion f(x) så att f(x) = u(x)/v(x),

Vi vet det,

f'(x) = lim_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

Ersätter värdet av f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lim_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] /h

f'(x) = lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Fördelning av gränsen,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)]/h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)]/h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/tum²(x)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)]/h}.{ 1/tum²(x)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (x)

Vilket är den obligatoriska kvotregeln.

Läs mer

• Egenskaper för gränser
• Regler för derivat

Hur använder man kvotregeln i differentiering?

För att tillämpa kvotregeln följer vi följande steg,

Steg 1: Skriv de enskilda funktionerna som u(x) och v(x).

Steg 2: Hitta derivatan av den individuella funktionen u(x) och v(x), dvs hitta u'(x) och v'(x). Använd nu kvotregelformeln,

slå samman sorteringsalgoritm

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Steg 3: Förenkla ekvationen ovan och den ger differentieringen av f(x).

Vi kan förstå detta koncept med hjälp av ett exempel.

Exempel: Hitta f'(x) om f(x) = 2x ³ /(x+2)

Given,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Jämför vi med f(x) = u(x)/v(x) får vi

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Nu differentierar du u(x) och v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Med hjälp av Quotient-regeln,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​​​)/(x + 1)²

Produkt- och kvotregel

Produktdifferentieringsregeln används för att hitta differentieringen av en funktion när funktionen ges som produkt av två funktioner.

Produktens regel om differentiering anger att , om P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Medan den kvotregel för differentiering används för att differentiera en funktion som representeras som division av två funktioner, dvs f(x) = p(x)/q(x).

Därefter härledningen av f(x) med hjälp av kvotregel beräknas som,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (x)

Måste läsas

• Produktregel i kalkyl
• Kedjeregel
• Differentierings- och integrationsformel
• Logaritmisk differentiering
• Grunderna i kalkyl
• Tillämpning av derivat

Exempel på kvotregel

Låt oss lösa några exempelfrågor om kvotregeln.

Exempel 1: Differentiera old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Lösning:

Både täljare och nämnarfunktioner är differentierbara.

Tillämpa kvotregel,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Exempel 2: Differentiera, f(x) = tan x.

Lösning:

tan x skrivs som sinx/cosx, dvs.

tan x = (sin x) / (cos x)

Både täljare och nämnarfunktioner är differentierbara.

mittknappen css

Tillämpa kvotregel,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Exempel 3: Differentiera, f(x)= e ^x /x ²

Lösning:

Både täljare och nämnarfunktioner är differentierbara.

Tillämpning av kvotregel,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Exempel 4: Differentiera, y=frac{cosx}{x^2}

Lösning:

Både täljare och nämnarfunktioner är differentierbara.

Tillämpa kvotregel,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Exempel 5: Differentiera, f(p) = p+5/p+7

Lösning:

base64 avkoda i js

Både täljare och nämnarfunktioner är differentierbara.

Tillämpa kvotregel,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Övningsproblem

Här är några övningsproblem på Quotient Regeln som du kan lösa.

P1. Hitta derivatan av f(x) = (x ² + 3)/(utan x)

P2. Hitta derivatan av f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Hitta derivatan av f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Hitta derivatan av f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Quotient Rule of Derivative – Vanliga frågor

Vad är kvoteringsregeln för differentiering?

Quotientregel för differentiering är den regel som används för att hitta differentieringen av funktionen som ges i kvotformen, det vill säga en funktion som ges som divisionen av två funktioner.

Vad är kvotregelformel?

Quotientregelformel är,

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Denna formel ger differentieringen av funktionen som representeras som f(x)/g(x).

Hur härleder man formeln för kvotregeln?

Quotientregel kan härledas med hjälp av tre metoder,

• Efter derivat- och gränsegenskaper
• Genom implicit differentiering
• Enligt kedjeregel

Hur använder man kvotregeln?

Quotientregel används för att hitta differentieringen av funktionen uttryckt som divisionen av två funktioner som inkluderar alla funktioner av formen f(x) och g(x) så att individuell differentiering av f(x) och g(x) existerar och g(x) kan aldrig vara noll.

Hur hittar du derivatan av en divisionsfunktion?

Derivata av divisionsfunktionen är lätt att hitta med hjälp av kvotregelformeln, d.v.s. om vi måste hitta differentieringen av H(x) så att H(x) uttrycks som H(x) = f(x)/g(x) då uttrycks dess derivata som,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Vad är kvotgränsen?

Quotient Regel för limits säger att gränsen för en kvotfunktion är lika med kvoten för gränsen för varje funktion.