Trigonometriska identiteter är olika identiteter som används för att förenkla olika komplexa ekvationer som involverar trigonometriska funktioner. Trigonometri är en gren av matematiken som handlar om förhållandet mellan sidorna och vinklarna i en triangel. Dessa samband definieras i form av sex förhållanden som kallas trigonometriska förhållanden – sin, cos, tan, cot, sec och cosec.

På ett utökat sätt är studien också av de vinklar som bildar elementen i en triangel. Logiskt sett en diskussion om egenskaperna hos en triangel; att lösa en triangel och fysiska problem inom området höjder och avstånd med hjälp av en triangels egenskaper – allt är en del av studien. Det tillhandahåller också en metod för lösning av trigonometriska ekvationer.

Innehållsförteckning

• Vad är trigonometriska identiteter?
• Lista över trigonometriska identiteter
• Ömsesidiga trigonometriska identiteter
• Pythagoras trigonometriska identiteter
• Trigonometriska kvotidentiteter
• Trigonometriska identiteter av motsatta vinklar
• Komplementära vinklar identiteter
• Kompletterande vinklar identiteter
• Trigonometrisk funktions periodicitet
• Summa och skillnadsidentiteter
• Dubbelvinkelidentiteter
• Halvvinkelformler
• Några fler Half Angle Identities
• Produkt-summa identiteter
• Produktidentiteter
• Trippelvinkelformler
• Bevis på de trigonometriska identiteterna
• Förhållandet mellan vinklar och sidor av triangeln
• Vanliga frågor om trigonometriska identiteter

Vad är trigonometriska identiteter?

En ekvation som involverar trigonometriska förhållanden för en vinkel kallas trigonometrisk identitet om den är sann för alla värden på vinkeln. Dessa är användbara när trigonometriska funktioner är involverade i ett uttryck eller en ekvation. De sex grundläggande trigonometriska förhållandena är sinus, cosinus, tangent, cosecant, sekant och cotangens . Alla dessa trigonometriska förhållanden definieras med hjälp av sidorna av den räta triangeln, såsom en intilliggande sida, motsatt sida och hypotenusa sida.

Trigonometriska identiteter

Lista över trigonometriska identiteter

Det finns många identiteter i studiet av trigonometri, som involverar alla trigonometriska förhållanden. Dessa identiteter används för att lösa olika problem i hela det akademiska landskapet såväl som i det verkliga livet. Låt oss lära oss alla grundläggande och avancerade trigonometriska identiteter.

Ömsesidiga trigonometriska identiteter

I alla trigonometriska förhållanden finns det ett ömsesidigt förhållande mellan ett par förhållanden, vilket ges enligt följande:

• sin θ = 1/cosec θ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cos θ = 1/sek θ
• sek θ = 1/cos θ
  
• tan θ = 1/barnsäng θ
• barnsäng θ = 1/tan θ

Pythagoras trigonometriska identiteter

Pythagoras trigonometriska identiteter är baserade på högertriangelsatsen eller Pythagoras sats , och är följande:

• utan²θ + cos²θ = 1
• 1 + så²θ = sek²i
• cosec²θ = 1 + barnsäng²i

Läs mer om Pythagoras trigonometriska identiteter .

Trigonometriska kvotidentiteter

Som tan och cot definieras som förhållandet mellan sin och cos, vilket ges av följande identiteter:

• tan θ = sin θ/cos θ
• cot θ = cos θ/sin θ

Trigonometriska identiteter av motsatta vinklar

I trigonometri mäts vinkeln mätt i medurs riktning i negativ paritet och alla trigonometriska förhållanden som definieras för negativ vinkelparitet definieras enligt följande:

• sin (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• tan (-θ) = -tan θ
• cot (-θ) = -cot θ
• sek (-θ) = sek θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Komplementära vinklar identiteter

Komplementära vinklar är paret av vinklar vars mått summerar till 90°. Nu är de trigonometriska identiteterna för komplementära vinklar som följer:

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• brun (90° – θ) = barnsäng θ
• spjälsäng (90° – θ) = tan θ
• sek (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = sek θ

Kompletterande vinklar identiteter

Kompletterande vinklar är paret av vinklar vars mått summerar till 180°. Nu är de trigonometriska identiteterna för kompletterande vinklar:

• sin (180°- θ) = sinθ
• cos (180°- θ) = -cos θ
• cosec (180°- 0) = cosec 6
• sek (180°- 6)= -sek 6
• tan (180°- 0) = -tan 9
• spjälsäng (180°- θ) = -säng θ

Trigonometrisk funktions periodicitet

Trigonometriska funktioner såsom sin, cos, tan, cot, sec och cosec är alla periodiska till sin natur och har olika periodicitet. Följande identiteter för det trigonometriska förhållandet förklarar deras periodicitet.

• sin (n × 360° + θ) = sin θ
• sin (2nπ + θ) = sin θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• tan (n × 180° + θ) = tan θ
• tan (nπ + θ) = tan θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• sek (n × 360° + θ) = sek θ
• sek (2nπ + θ) = sek θ
  
• barnsäng (n × 180° + θ) = barnsäng θ
• cot (nπ + θ) = cot θ

Där, n ∈ MED, (Z = mängd av alla heltal)

Notera: sin, cos, cosec och sec har en period på 360° eller 2π radianer, och för tan och cot är perioden 180° eller π radianer.

Summa och skillnadsidentiteter

Trigonometriska identiteter för summa och skillnad av vinkel inkluderar formler som sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B), etc.

• sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
• cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
• tan (A-B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Notera: Identiteter för sin (A+B), sin (A-B), cos (A+B) och cos (A-B) kallas Ptolemaios identiteter .

Dubbelvinkelidentiteter

Med hjälp av de trigonometriska identiteterna för vinklarna kan vi hitta en ny identitet som kallas Double angle Identity. För att hitta dessa identiteter kan vi sätta A = B i summan av vinkelidentiteter. Till exempel,

a vi vet, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Ersätt A = B = θ på båda sidor här, och vi får:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ

Liknande,

• cos 2θ = cos ² θ – synd ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – sin ² i
• tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan ² i)

Läs mer om Dubbelvinkelidentiteter .

Halvvinkelformler

Med hjälp av dubbelvinkelformler kan halvvinkelformler beräknas. För att beräkna halvvinkelformler, ersätt θ med θ/2,

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Läs mer om Halvvinkelidentiteter .

Några fler Half Angle Identities

Förutom de ovan nämnda identiteterna finns det några fler halvvinkelidentiteter som är följande:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Produkt-summa identiteter

Följande identiteter anger förhållandet mellan summan av två trigonometriska förhållanden med produkten av två trigonometriska förhållanden.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Produktidentiteter

Produktidentiteter bildas när vi adderar två av summan och skillnaden av vinkelidentiteter och är som följer:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Trippelvinkelformler

Andra än dubbel- och halvvinkelformler finns det identiteter för trigonometriska förhållanden som definieras för trippelvinkel. Dessa identiteter är följande:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Läs mer om Trippelvinkelidentiteter .

Bevis på de trigonometriska identiteterna

För varje spetsig vinkel θ, bevisa det

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ. cotθ = 1
4. utan ² θ + cos ² θ = 1
5. 1 + så ² θ = sek ² i
6. 1 + barnsäng ² θ = cosec ² i

Bevis:

Betrakta en rätvinklig △ABC där ∠B = 90°

Låt AB = x enheter, BC = y enheter och AC = r enheter.

Sedan,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ. cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ. cotθ = 1

Sedan, enligt Pythagoras sats, har vi

x²+ och²= r².

Nu,

(4) utan²θ + cos²θ = (y/r)²+ (x/r)²= (och²/r²+ x²/r²)

= (x²+ och²)/r²= r²/r²= 1 [x²+ och²= r²]

utan ² θ + cos ² θ = 1

(5) 1 + så²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/x²= (och²+ x²)/x²= r²/x²[x²+ och²= r²]

(r/x)²= sek²i

∴ 1 + brun ² θ = sek ² i.

(6) 1 + barnsäng²θ = 1 + (x/y)²= 1 + x²/och²= (x²+ och²)/och²= r²/och²[x²+ och²= r²]

(r²/och²) = cosec²i

∴ 1 + barnsäng ² θ = cosec ² i

Förhållandet mellan vinklar och sidor av triangeln

Tre regler som relaterar trianglarnas sidor till trianglarnas inre vinklar är,

• Hans regel
• Cosinusregel
• Tangent regel

Om en triangel ABC med sidorna a, b och c som är motsatta sidor till ∠A, ∠B respektive ∠C, så

Hans regel

Hans regler anger förhållandet mellan sidor och vinklar i triangeln som är förhållandet mellan sida och sinus av vinkeln motsatt sidan förblir alltid densamma för alla vinklar och sidor i triangeln och ges enligt följande:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Cosinusregel

Cosinusregel involverar alla sidor, och en inre vinkel av triangeln ges enligt följande:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

ELLER

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

ELLER

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Tangent regel

• Tangentregeln anger också förhållandet mellan sidorna och den inre vinkeln i en triangel, med hjälp av det tan trigonometriska förhållandet, som är som följer:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Läs också

• Trigonometri Höjd och Avstånd
• Trigonometrisk tabell

Löst exempel på trigonometriska identiteter

Exempel 1: Bevisa att (1 – synd ² θ) sek ² θ = 1

Lösning:

Vi har:

LHS = (1 – synd²θ) sek²i

= cos²θ . sek²i

= cos²θ . (1/cos²i)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Därav bevisat]

Exempel 2: Bevisa att (1 + tan ² θ) cos ² θ = 1

Lösning:

Vi har:

LHS = (1 + brun²θ) cos²i

⇒ LHS = sek²θ . cos²i

⇒ LHS = (1/cos²θ). cos²i

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Därav bevisat]

Exempel 3: Bevisa att (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

Lösning:

Vi har:

LHS = (cosec²θ – 1) tan²i

⇒ LHS = (1 + barnsäng²θ – 1) så²i

⇒ LHS = spjälsäng²θ. så²i

⇒ LHS = (1/tan²θ). så²i

vad är en speciell karaktär

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Därav bevisat]

Exempel 4: Bevisa att (sek ⁴ θ – sek ² θ) = (tan ² θ + tan ⁴ i)

Lösning:

Vi har:

LHS = (sek⁴θ – sek²i)

⇒ LHS = sek²θ(sek²jag – 1)

⇒ LHS = (1 + brun²θ) (1 + tan²jag – 1)

⇒ LHS = (1 + brun²θ) så²i

⇒ LHS = (tan²θ + tan⁴6) = RHS

∴ LHS = RHS. [Därav bevisat]

Exempel 5: Bevisa att √(sek ² θ + cosec ² θ) = (tanθ + cotθ)

Lösning:

Vi har:

LHS = √(sek²θ + cosec²θ ) = √((1 + tan²i) + (1 + barnsäng²i))

⇒ LHS = √(tan²θ + spjälsäng²i + 2)

⇒ LHS = √(tan²θ + spjälsäng²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [Därav bevisat]

Övningsfrågor om trigonometriska identiteter

Q1: Förenkla uttrycketfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Q2: Bevisa identiteten tan (x) . barnsäng(x) = 1.

Q3: Visa detfrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

F4: Förenklasin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

F5: Bevisa identitetencos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

F6: Förenklafrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

F7: Bevisa identitetensec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Vanliga frågor om trigonometriska identiteter

Vad är trigonometrisk identitet?

Trigonometrisk identitet är en ekvation som relaterar olika trigonometriska funktioner som sin, cos, tan, cot, sec och cosec.

Hur bevisar man trigonometriska identiteter?

Det finns olika metoder för att bevisa trigonometriska identiteter, en av dessa metoder är att använda de 6 huvudsakliga trigonometriska kända identiteterna för att skriva om ett uttryck i en annan form. Som alla andra bevis arbetar vi med ena sidan för att komma till ett uttryck som är identiskt med den andra sidan av ekvationen.

Hur många trigonometriska identiteter finns det?

Det finns många trigonometriska identiteter, eftersom vilken identitet som helst kan vara med viss variation är fortfarande identitet också. Därför kan vi inte säga exakt hur många identiteter det finns.

Hur kommer man ihåg alla trigonometriska identiteter?

Det enklaste sättet att komma ihåg alla identiteter är att öva på problem relaterade till identiteten. Varje gång du löser ett problem med hjälp av någon identitet reviderar du den identiteten och så småningom kommer den att bli en annan natur för dig.

Skriv de tre huvudsakliga trigonometriska funktionerna.

Tre huvudfunktioner som används i trigonometri är sinus, cosinus och tangens.
sin θ = Perpendicular/ Hypotenusa
cos θ = Bas/Hypotenus
tan θ = vinkelrät/bas

Vad är Pythagoras sats?

Pythagoras sats anger i en rätvinklig triangel med sidorna som Hypotenusa(H), Perpendicular(P) och Base(B) förhållandet mellan dem ges av,

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Skriv hur trigonometriska identiteter används.

Trigonometriska identiteter används för att lösa olika problem som involverar komplexa trigonometriska funktioner. De används för att beräkna vågekvationer, ekvation av harmonisk oscillator, lösa geometriska frågor och andra problem.

Skriv åtta grundläggande trigonometriska identiteter.

Åtta grundläggande identiteter inom trigonometri är:

• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sek θ
• tan θ = 1/barnsäng θ
• utan²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ/cos θ
• 1+ alltså²θ = sek²i
• cot θ = cosθ/sinθ
• 1+ spjälsäng²θ = cosec²i