Halvvinkelformler används för att hitta olika värden på trigonometriska vinklar som för 15°, 75° och andra, de används också för att lösa olika trigonometriska problem.

Flera trigonometriska förhållanden och identiteter hjälper till att lösa problem med trigonometri. Värdena för trigonometriska vinklar 0°, 30°, 45°, 60°, 90° och 180° för sin, cos, tan, cosec, sec och cot bestäms med hjälp av en trigonometritabell. Halvvinkelformler används ofta i matematik, låt oss lära oss om dem i detalj i den här artikeln.

Innehållsförteckning

• Halvvinkelformler
• Halvvinkelidentiteter
• Halvvinkelformler härledning med hjälp av dubbelvinkelformler
• Halvvinkelformel för Cos-derivation
• Halvvinkelformel för syndavledning
• Halvvinkelformel för Tan-derivation
• Lösta exempel på halvvinkelformler

Halvvinkelformler

För att hitta värden på vinklar förutom de välkända värdena på 0°, 30°, 45°, 60°, 90° och 180°. Halva vinklar härleds från formler med dubbla vinkel och listas nedan för sin, cos och tan:

• sin (x/2) = ± [(1 – cos x)/ 2]^1/2
• cos (x/2) = ± [(1 + cos x)/ 2]^1/2
• tan (x/ 2) = (1 – cos x)/ sin x

Trigonometriska identiteter av dubbelvinkelformler är användbara för härledning av halvvinkelformler.

Halvvinkelformler

Halvvinkelidentiteter

Halvvinkla identiteter för några populära trigonometriska funktioner är,

• Halvvinkelformeln för synd,

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

• Halvvinkelformel för Cos,

cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]

• Half Angle Formula of Tan,

tan A/2 = ±√[1 – cos A] / [1 + cos A]

tan A/2 = sin A / (1 + cos A)

tan A/2 = (1 – cos A) / sin A

Halvvinkelformler härledning med hjälp av dubbelvinkelformler

Halvvinkelformler härleds med hjälp av dubbelvinkelformler. Innan vi lär oss om halvvinkelformler måste vi lära oss om Dubbelvinkel i Trigonometri , vanligast använda dubbelvinkelformler inom trigonometri är:

• sin 2x = 2 sin x cos x
• cos 2x = cos²x – synd²x
  = 1 – 2 utan²x
  = 2 cos²x – 1
• tan 2x = 2 tan x / (1 – tan²x)

Nu ersätter vi x med x/2 på båda sidor i formlerna ovan får vi

• sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)
• cos x = cos²(x/2) – utan²(x/2)
  = 1 – 2 utan²(x/2)
  = 2 cos²(x/2) – 1
• tan A = 2 tan (x/2) / [1 – tan²(x/2)]

Halvvinkelformel för Cos-derivation

Vi använder cos2x = 2cos²x – 1 för att hitta Half-Angle Formel för Cos

Sätt x = 2y i formeln ovan

cos (2)(y/2) = 2cos²(y/2) – 1

cos y = 2cos²(y/2) – 1

1 + cos y = 2cos²(och/2)

2cos²(y/2) = 1 + mysigt

cos²(y/2) = (1+ mysigt)/2

cos(y/2) = ± √{(1+ mysigt)/2}

Halvvinkelformel för syndavledning

Vi använder cos 2x = 1 – 2sin²x för att hitta halvvinkelformeln för Sin

Sätt x = 2y i formeln ovan

cos (2)(y/2) = 1 – 2sin²(och/2)

cos y = 1 – 2sin²(och/2)

2sin²(y/2) = 1 – mysigt

utan²(y/2) = (1 – mysigt)/2

sin(y/2) = ± √{(1 – mysigt)/2}

Halvvinkelformel för Tan-derivation

Vi vet att tan x = sin x / cos x så att,

tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)

Att sätta värdena för halv vinkel för sin och cos. Vi får,

sql välj som

tan(x/2) = ± [(√(1 – mysigt)/2 ) / (√(1+ mysigt)/2 )]

tan(x/2) = ± [√(1 – mysig)/(1+ mysig) ]

Rationalisera nämnaren

tan(x/2) = ± (√(1 – mysigt)(1 – mysigt)/(1+ mysigt)(1 – mysigt))

tan(x/2) = ± (√(1 – mysigt)²/(1 – cos²och))

tan(x/2) = ± [√{(1 – mysigt)²/( utan²och)}]

tan(x/2) = (1 – mysigt)/( hink)

Kolla också

• Verkliga tillämpningar av trigonometri
• Utan Cos Formler

Lösta exempel på halvvinkelformler

Exempel 1: Bestäm värdet på sin 15°

Lösning:

Vi vet att formeln för halv sinusvinkel ges av:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

Värdet på sinus 15° kan hittas genom att ersätta x med 30° i formeln ovan

sin 30°/2 = ± ((1 – cos 30°)/ 2)^1/2

sin 15° = ± ((1 – 0,866)/ 2)^1/2

sin 15° = ± (0,134/ 2)^1/2

sin 15° = ± (0,067)^1/2

sin 15° = ± 0,2588

Exempel 2: Bestäm värdet på sin 22.5 °

Lösning:

Vi vet att formeln för halv sinusvinkel ges av:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

Värdet på sinus 15° kan hittas genom att ersätta x med 45° i formeln ovan

sin 45°/2 = ± ((1 – cos 45°)/ 2)^1/2

sin 22,5° = ± ((1 – 0,707)/ 2)^1/2

sin 22,5° = ± (0,293/2)^1/2

sin 22,5° = ± (0,146)^1/2

sin 22,5° = ± 0,382

Exempel 3: Bestäm värdet för tan 15°

Lösning:

Vi vet att formeln för halv sinusvinkel ges av:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Värdet på tan 15° kan hittas genom att ersätta x med 30° i formeln ovan

brun 30°/2 = ± (1 – cos 30°)/ sin 30°

brun 15° = ± (1 – 0,866)/ sin 30

brun 15° = ± (0,134)/0,5

brun 15° = ± 0,268

Exempel 4: Bestäm värdet för tan 22,5°

Lösning:

Vi vet att formeln för halv sinusvinkel ges av:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Värdet på tan 22,5° kan hittas genom att ersätta x med 45° i formeln ovan

brun 30°/2 = ± (1 – cos 45°)/ sin 45°

brun 22,5° = ± (1 – 0,707)/ sin 45°

brun 22,5° = ± (0,293)/0,707

brun 22,5° = ± 0,414

Exempel 5: Bestäm värdet på cos 15°

Lösning:

Vi vet att formeln för halv sinusvinkel ges av:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

Värdet på sinus 15° kan hittas genom att ersätta x som 30° i formeln ovan

cos 30°/2 = ± ((1 + cos 30°)/ 2)^1/2

cos 15° = ± ((1 + 0,866)/ 2)^1/2

cos 15° = ± (1,866/ 2)^1/2

cos 15° = ± (0,933)^1/2

cos 15° = ± 0,965

Exempel 6: Bestäm värdet på cos 22,5°

Lösning:

Vi vet att formeln för halv sinusvinkel ges av:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

Värdet på sinus 15° kan hittas genom att ersätta x med 45° i formeln ovan

cos 45°/2 = ± ((1 + cos 45°)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± ((1 + 0,707)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± (1,707/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± (0,853)^1/2

cos 22,5° = ± 0,923

Vanliga frågor om Half-Angle Formula

Vad är användningen av halvvinkelformler?

Halvvinkelformler används för att hitta trigonometriska förhållanden för hälften av standardvinklarna som 15°, 22,5° och andra. De används också för att lösa komplexa trigonometriska ekvationer och krävs för att lösa integraler och differentialekvationer.

Vad är Half Angle Formula for Sin?

Halvvinkelformel för synd är

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

Dessutom, för alla triangel med sidorna a, b och c och semiperimeter vara s, då

sin A/2 = √[(s – b) (s – c) / bc]

Vad är Half Angle Formula för Cosinus?

Halvvinkelformel för cos är

cos A/2 = ±√[(1 + cos A)/2]

Dessutom, för alla triangel med sidorna a, b och c och semiperimeter vara s, då

cos (A/2) = √[ s (s – a)/bc]

Vad är formeln för cos i ?

För varje rätvinklig triangel, med en vinkel θ är formeln som används för att beräkna cosinus för vinkeln (θ)

Cos(θ) = intilliggande / hypotenusa