Lagen om total sannolikhet är viktig för att hitta sannolikheten för att en händelse ska inträffa. Om sannolikheten för att en händelse ska inträffa är känd för att vara 1, så är den för en omöjlig händelse sannolikt 0. En grundläggande regel i sannolikhetsteorin som är sammankopplad med marginell sannolikhet och betingad sannolikhet kallas lagen om total sannolikhet, eller den totala sannolikhetssatsen.
Efter flera händelser är det känt att sannolikheten för alla möjligheter bör vara känd. De sats om total sannolikhet är grunden för Bayes teorem. I den här artikeln har vi diskuterat viktiga begrepp relaterade till total sannolikhet, inklusive lag om total sannolikhet , påståenden, bevis och några exempel.
Lagen om total sannolikhet
Givet n ömsesidigt uteslutande händelser A1, A2, …Ak så att deras sannolikhetssumma är enhet och deras förening är händelseutrymmet E, då Ai ∩ Aj= NULL, för allt I inte lika med j, och
A1 U A2 U ... U Ak = E>
Sedan Total sannolikhetssats, eller lag om total sannolikhet, är: 
där B är en godtycklig händelse och P(B/Ai) är den villkorade sannolikheten för B förutsatt att A redan har inträffat.
Total sannolikhetssats Bevis
Låt A1, A2, …, Ak vara disjunkta händelser som bildar en partition av sampelutrymmet och antag att P(Ai)> 0, för i = 1, 2, 3….k, så att:
A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>
Sedan, för varje händelse B, har vi,
B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>
Eftersom korsning och union är distribuerande. Därför,
B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>
Eftersom alla dessa partitioner är osammanhängande. Så vi har,
P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>
Det är additionssatsen för sannolikheter för en förening av osammanhängande händelser. Använder villkorlig sannolikhet
P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>
Eller med multiplikationsregeln,
P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>
Här sägs händelser A och B vara oberoende händelser om P(B|A) = P(B), där P(A) inte är lika med Noll(0),
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>
där P(B|A) är den villkorade sannolikheten som ger sannolikheten för att händelse B ska inträffa när händelse A redan har inträffat. Därav,
sträng understräng
P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>
Genom att tillämpa denna regel ovan får vi,
Det här är lag om total sannolikhet . Lagen om total sannolikhet kallas också den totala sannolikhetssatsen eller alternativlagen.
Notera:
Lagen om total sannolikhet används när du inte vet sannolikheten för en händelse, men du vet att den inträffar under flera osammanhängande scenarier och sannolikheten för varje scenario.
Tillämpning av sats om total sannolikhet
Den används för att utvärdera nämnaren i Bayes teorem . Bayes sats för n uppsättning händelser definieras som,
Låt E1, OCH2,…, OCHnvara en uppsättning händelser associerade med sampelutrymmet S, där alla händelser E1, OCH2,…, OCHnhar en sannolikhet som inte är noll att inträffa. Alla händelser E1, OCH2,…, E bildar en partition av S. Låt A vara en händelse från rymden S för vilken vi måste hitta sannolikhet, då enligt Bayes sats,
P(E i |A) = P(E i )P(A|E i ) / ∑ P(E k )P(A|E k )
för k = 1, 2, 3, …, n
Exempel
1. Vi drar två kort från en kortlek med blandade kort med ersättningar. Hitta sannolikheten att få det andra kortet en kung.
Förklaring:- Låt, A – representera händelsen att få det första kortet en kung. B – representerar händelsen att det första kortet inte är en kung. E – representerar händelsen att det andra kortet är en kung. Då kommer sannolikheten att det andra kortet blir en kung eller inte att representeras av lagen om total sannolikhet som:
understryka med css
P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>
Där P(E) är sannolikheten att det andra kortet är en kung, P(A) är sannolikheten att det första kortet är en kung, P(E|A) är sannolikheten att det andra kortet är en kung med tanke på att första kortet är en kung, P(B) är sannolikheten att det första kortet inte är en kung, P(E|B) är sannolikheten att det andra kortet är en kung men det första kortet som dras är inte en kung. Enligt frågan:
P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>
Därför,
P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>
Vanliga frågor om lagen om total sannolikhet
F.1: Vad är användningen av total sannolikhet?
Svar:
Lagen om total sannolikhet används för att beräkna sannolikheten för en händelse givet valfritt antal relaterade händelser. Att använda Bayes sats för att uppdatera sannolikheten för en hypotes med nya bevis.
F.2: Är den totala sannolikheten alltid 1?
Svar:
Summan av sannolikheterna för alla händelser är alltid 1.
F.3: Kan den totala sannolikheten vara större än 1?
Svar:
Nej, den totala sannolikheten kan inte vara större än 1.