Kvadratroten av ett numeriskt värde är ett värde som vid självmultiplikation resulterar i det ursprungliga talet. '√' är den radikala symbolen som används för att avbilda roten till ett tal. Med kvadratrot menar vi en potens 1/2 av det talet. Låt oss till exempel anta att x är kvadratroten ur ett heltal y, detta innebär att x=√y. När vi multiplicerar ekv. får vi också x²= y.

Kvadratroten ur kvadraten av ett positivt tal ger det ursprungliga talet.

För att förstå konceptet vet vi att kvadraten av 4 är 16, och kvadratroten av 16, √16 = 4. Nu, som vi kan se, är 16 en perfekt kvadratisk figur. Detta gör det enkelt att beräkna kvadratroten av sådana tal. Men att beräkna kvadratroten ur en imperfekt kvadrat som 3, 5, 7, etc, är att beräkna roten en svår process.

En kvadratrotsfunktion är en en-till-en funktion som använder ett positivt tal som indata och returnerar kvadratroten av det givna inmatade talet.

f(x) = √x

Egenskaper av kvadratrötter

Några av de viktiga egenskaperna hos kvadratroten är följande:

• För ett perfekt kvadrattal finns en perfekt kvadratrot.
• För ett tal som slutar med ett jämnt antal nollor finns en kvadratrot.
• Kvadratroten av negativa tal är inte definierad.
• För ett tal som slutar med siffrorna 2, 3, 7 eller 8, så finns inte den perfekta kvadratroten.
• För ett tal som slutar med siffrorna 1, 4, 5, 6 eller 9, kommer talet att ha en kvadratrot.

Hur räknar man ut en kvadratrot?

Perfekta kvadrattal är heltal som är positiva till sin natur och som lätt kan uttryckas i form av multiplikationen av ett tal med sig självt. Perfekta kvadrattal visas som värdet av potens 2 av ett heltal. Beräkning av kvadratroten ur perfekta kvadrattal är relativt enklare. Det finns i första hand fyra metoder som används för att hitta kvadratroten ur tal:

• Upprepad subtraktionsmetod av kvadratrot
• Kvadratrot genom Prime Factorization Method
• Kvadratrot efter skattningsmetod
• Kvadratrot genom Long Division Method

Ovanstående tre metoder kan användas vid beräkningen av kvadratroten ur perfekta kvadrattal. Den sista metoden kan dock användas för båda typerna av siffror.

Upprepad subtraktionsmetod av kvadratrötter

Metoden bygger på följande sekvens av steg:

Steg 1: Subtrahera på varandra följande udda tal från talet som vi hittar kvadratroten för.

Steg 2: Upprepa steg 1 tills värdet 0 har uppnåtts.

Steg 3: Antalet gånger steg 1 upprepas är den nödvändiga kvadratroten av det givna talet.

Notera: Denna metod kan endast användas för perfekta rutor.

Till exempel, för siffran 16, fungerar metoden enligt följande:

16 – 1 = 15

15 – 3 =12

12 – 5 = 7

7-7 = 0

Processen upprepas 4 gånger. Alltså √16 = 4.

Kvadratrot genom Prime Factorization Method

Primfaktorisering av vilket tal som helst är representationen av det talet i form av en produkt av primtal. Metoden bygger på följande sekvens av steg:

Steg 1: Dela det angivna talet i dess primtalsfaktorer.

Steg 2: Ett par liknande faktorer bildas på ett sätt så att båda faktorerna i vart och ett av de bildade paren är lika.

kasta undantagshantering i java

Steg 3: Ta en faktor från vart och ett av paren.

Steg 4: Produkten av faktorerna erhålls genom att ta en faktor från varje par.

Steg 5: Denna erhållna produkt är kvadratroten av det givna talet.

Notera: Denna metod kan endast användas för perfekta rutor.

Till exempel, för siffran 64, fungerar metoden enligt följande:

ordboksinitierare c#

egin{array}l llap{2~~~~} 64 hline llap{2~~~~} 32 hline llap{2~~~~} 16 hline llap{2~~~~} 8 hline llap{2~~~~} 4 hline llap{2~~~~} 2 hline 1 end{array}

64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}

64 = 2²×2²×2²

64 = (2 × 2 × 2)²

64 = (8)²

√64 = 8

Kvadratrot efter skattningsmetod

Uppskattningsmetoden används för att approximera kvadratroten ur ett givet tal. Den approximerar kvadratroten av ett tal till en rimlig gissning av det faktiska värdet. Beräkningar är lättare i denna metod. Det är dock en väldigt lång och tidskrävande process.

Steg 1: Hitta närmaste perfekta kvadrat som förekommer både före och efter det givna talet.

Steg 2: Hitta närmast närmaste heltal och runda av dem varje gång för att komma till det närmaste svaret.

Till exempel, för siffran 15, fungerar metoden enligt följande:

9 och 16 är de perfekta kvadrattalen före och efter närmast 15. Nu vet vi,

√16 = 4 och √9 = 3. Detta innebär att kvadratroten av talet 15 förekommer mellan 3 och 4. Nu involverar processen en utvärdering av om kvadratroten av talet 15 är närmare 3 eller 4.

Det första fallet tar 3,5 och 4. Kvadrat på 3,5 = 12,25 och kvadratroten av 4 = 16. Därför ligger kvadratroten av heltal 15 mellan 3,5 och 4 och är närmare 4.

Vidare hittar vi kvadraterna 3,8 och 3,9, som motsvarar 3,8²= 14,44 och 3,9²= 15,21 respektive. Detta innebär att √15 ligger mellan 3,8 och 3,9. Vid ytterligare utvärdering får vi att √15 = 3,872.

Kvadratrot genom Long Division Method

Den långa divisionsmetoden för beräkning av kvadratroten ur tal innebär att stora tal delas upp i steg eller delar, och på så sätt bryter problemet upp i en sekvens av enklare steg.

Till exempel, för siffran 180, fungerar metoden enligt följande:

Steg 1: En stapel placeras över varje par av siffror i numret som börjar med enhetens plats.

Steg 2: Talet längst till vänster divideras sedan med det största talet så att kvadraten är mindre än eller lika med talet i paret längst till vänster.

Steg 3: Nu sänks numret under nästa stapel till höger om resten. Den sista siffran i den erhållna kvoten läggs till divisorn. Nu är nästa steg att hitta ett tal till höger om den erhållna summan, så att den tillsammans med resultatet av summan bildar en ny divisor för den nya utdelningen.

Steg 4: Det erhållna talet i kvoten är ekvivalent med talet som valts i divisorn.

Steg 5: Samma process upprepas med en decimalkomma och adderar nollor i par till resten.

Steg 6: Kvoten bildar kvadratroten av talet.

Exempel på frågor

Fråga 1. Beräkna kvadratroten ur 144 med Prime Factorization Method?

Lösning:

egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array}

javac känns inte igen

144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}

144 = 2²×2²×3²

144 = (2 × 2 × 3)²

144 = (12)²

√144 = 12

Fråga 2. Hur kan man förenkla kvadratroten?

Lösning:

Primfaktoriseringen av det givna talet kan beräknas. Om faktorn inte kan grupperas, används en kvadratrotsymbol för att gruppera dem. Följande regel används för att förenkla:

√xy = √(x × y), där x och y är positiva heltal.

Till exempel, √12 =sqrt{2 × 2 × 3}= 23

När det gäller bråk används följande regel:frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}}

Till exempel:frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10}= √5

Fråga 3. Lös: √(x + 2) = 4

Lösning:

Vi vet,

√(x + 2) = 4

När vi kvadrerar båda sidorna får vi;

x + 2 = √4

x + 2 = ±4

x = ±4 – 2

Därför har vi,

x = 2 eller x = -6

medelvärde vs genomsnitt

Fråga 4. Kan kvadratroten ur ett negativt tal vara ett heltal? Förklara.

Lösning:

Vi vet att de negativa talen inte kan ha en kvadratrot. Anledningen till detta är att om två negativa tal multipliceras med varandra, blir resultatet alltid ett positivt tal. Därför kommer kvadratroten ur ett negativt tal att vara i form av ett komplext tal.

Fråga 5. Beräkna kvadratroten ur 25 med metoden med upprepad subtraktion?

Lösning:

Genom att följa de ovan angivna stegen har vi,

25 – 1 = 24

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16 – 7 = 9

9 – 9 = 0

Eftersom processen upprepas 5 gånger har vi därför √25 = 5.

Fråga 6. Beräkna kvadratroten ur 484 med lång divisionsmetod?

Lösning:

Genom den långa divisionsmetoden har vi,

Nu,

Resten är 0, därför är 484 ett perfekt kvadrattal, så att

√484 = 22