A Hyperbel är en jämn kurva i ett plan med två grenar som speglar varandra, som liknar två oändliga bågar. Det är en konisk sektion bildad genom att skära en rät cirkulär kon med ett plan i en vinkel så att båda halvorna av könen skärs.

Låt oss lära oss mer om Hyperbola i detalj, inklusive dess ekvation, formler, egenskaper, grafer och härledning.

Hyperbel

Innehållsförteckning

• Vad är hyperbola?
• Hyperbel definition
• Hyperbolekvation
• Delar av Hyperbola
• Hyperbelexcentricitet
• Standardekvation för hyperbel
• Höger sida av Hyperbola
• Härledning av hyperbelekvationen
• Hyperbelformel
• Graf över hyperbeln
• Konjugerad hyperbel
• Hyperbolas egenskaper
• Hjälpcirklar av hyperbel
• Rektangulär hyperbel
• Parametrisk representation av hyperbel
• Hyperbola klass 11
• Lösta exempel på Hyperbola
• Öva problem på hyperbel

Vad är hyperbola?

En hyperbel är platsen för punkter vars skillnad i avstånden från två brännpunkter är ett fast värde. Denna skillnad erhålls genom att subtrahera avståndet för det närmare fokuset från avståndet för det längre fokuset.

Om P (x, y) är en punkt på hyperbeln och F, F’ är två brännpunkter, så är hyperbelns plats

PF – PF' = 2a

Notera: Se diagram som lagts till i avledning för bild.

Hyperbel definition

I analytisk geometri är en hyperbel en typ av konisk sektion som skapas när ett plan skär genom båda halvorna av en dubbel rät cirkulär kon i en vinkel. Denna skärningspunkt resulterar i två separata, obegränsade kurvor som är spegelbilder av varandra och bildar en hyperbel.

Hyperbolekvation

Ekvationen för en hyperbel i dess standardform beror på dess orientering och om den är centrerad vid origo eller en annan punkt. Här är de två primära formerna för hyperboler centrerade vid origo, den ena öppnas horisontellt och den andra öppnas vertikalt:

x ² /a ² - och ² /b ² = 1

Denna ekvation representerar en hyperbel som öppnar sig till vänster och höger. Punkterna (±a,0) är hyperbelns hörn, belägna på x-axeln.

Delar av Hyperbola

En hyperbel är en konisk sektion som utvecklas när ett plan skär en dubbel rät cirkulär kon i en vinkel så att båda halvorna av könen är sammanfogade. Det kan beskrivas med begrepp som foci, directrix, latus rectum och excentricitet.

Hyperbelexcentricitet

Excentriciteten hos en hyperbel är förhållandet mellan en punkts avstånd från fokus till dess vinkelräta avstånd från riktlinjen. Det betecknas med bokstaven ' Det är '.

• Excentriciteten för en hyperbel är alltid större än 1, dvs e>1.
• Vi kan lätt hitta hyperbelns excentricitet med formeln:

e = √[1 + (b ² /a ² )]

var,

• a är Längden på halvstor axel
• b är Längden på halvmollaxeln

Läs mer: Excentricitet

Standardekvation för hyperbel

Standardekvationerna för en hyperbel är:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

ELLER

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

En hyperbel har två standardekvationer. Dessa ekvationer av en hyperbel är baserade på dess tväraxel och konjugerade axel.

vad är autowired i java

• Standardekvationen för hyperbeln är [(x²/a²) - (och²/b²)] = 1, där X-axeln är den tvärgående axeln och Y-axeln är den konjugerade axeln.
• Dessutom är en annan standardekvation för hyperbeln [(y²/a²)- (x²/b²)] = 1, där Y-axeln är den tvärgående axeln och X-axeln är den konjugerade axeln.
• Standardekvationen för hyperbeln med centrum (h, k) och X-axeln som tväraxeln och Y-axeln som den konjugerade axeln,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Dessutom är en annan standardekvation för hyperbeln med centrum (h, k) och Y-axeln som tväraxeln och X-axeln som konjugerad axel.

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Höger sida av Hyperbola

Latus rectum hos en hyperbel är en linje som går genom någon av en hyperbels härdar och vinkelrätt mot hyperbelns tväraxel. Slutpunkterna för en latus rektum ligger på hyperbeln och dess längd är 2b²/a.

Härledning av hyperbelekvationen

Låt oss betrakta en punkt P på hyperbeln vars koordinater är (x, y). Från definitionen av hyperbeln vet vi att skillnaden mellan avståndet för punkt P från de två brännpunkterna F och F’ är 2a, dvs PF’-PF = 2a.

Låt koordinaterna för brännpunkterna vara F (c, o) och F '(-c, 0).

Nu, genom att använda koordinatavståndsformeln, kan vi hitta avståndet för punkt P (x, y) till brännpunkterna F (c, 0) och F '(-c, 0).

√[(x + c)²+ (och – 0)²] – √[(x – c)²+ (och – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ och²] = 2a + √[(x – c)²+ och²]

Nu, genom att kvadrera båda sidor, får vi

(x + c)²+ och²= 4a²+ (x – c)²+ och²+ 4a√[(x – c)²+ och²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ och²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ och²]

Nu, genom att kvadrera på båda sidor och förenkla, får vi

[(x²/a²) - (och²/(c²– a²))] = 1

Vi har, c²= a²+ b², så genom att ersätta detta i ovanstående ekvation får vi

x²/a²- och²/b²= 1

Därför härleds standardekvationen för hyperbeln.

På liknande sätt kan vi härleda standardekvationerna för den andra hyperbeln, dvs [y]²/a²– x²/b²] = 1

Hyperbelformel

Följande hyperbelformler används i stor utsträckning för att hitta de olika parametrarna för hyperbeln som inkluderar ekvationen för hyperbel, huvud- och biaxeln, excentricitet, asymptoter, vertex, foci och semi-latus rektum.

Var,

• (x₀, och₀) är mittpunkten
• a är halvstoraxeln
• b är halvmollaxeln.

Graf över hyperbeln

Hyperbola är en kurva som har två obegränsade kurvor som är spegelbilder av varandra. Grafen över hyperbeln visar den kurvan i 2D-planet. Vi kan observera de olika delarna av en hyperbel i hyperbelgraferna för standardekvationer som ges nedan:

Hyperbolens ekvation	Graf över hyperbeln	Parametrar för hyperbel
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Koordinater för centrum: (0, 0) Koordinater för vertex: (a, 0) och (-a, 0) Koordinater för brännpunkter: (c, 0) och (-c, 0) Tväraxelns längd = 2a Längden på den konjugerade axeln = 2b Längden på latus rectum = 2b2/a Asymptotekvationer: y = (b/a) x och y = -(b/a) x Excentricitet (e) = √[1 + (b2/a2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Koordinater för centrum: (0, 0) Koordinater för vertex: (0, a) och (0, -a) Koordinater för brännpunkter: (0, c) och (0, -c) Tväraxelns längd = 2b Längden på den konjugerade axeln = 2a Längden på latus rectum = 2b2/a Asymptotekvationer: y = (a/b) x och y = -(a/b) x Excentricitet (e) = √[1 + (b2/a2)]

Konjugerad hyperbel

Konjugerade hyperboler är 2 hyperboler så att de tvärgående och konjugerade axlarna för en hyperbel är den konjugata respektive den tvärgående axeln för den andra hyperbeln.

Konjugerad hyperbel av (x²/ a²) - (och²/b²) = 1 är,

(x ² / a ² ) - (och ² /b ² ) = 1

Var,

• a är halvstor axel
• b är halvmollaxel
• Det är är Excentricitet av Parabola
• a ² = b ² (Det är ² − 1)

Hyperbolas egenskaper

• Om excentriciteterna hos hyperbeln och dess konjugat är t.ex₁och e₂sedan,

(1 och ₁ ² ) + (1/e ₂ ² ) = 1

• Foci av en hyperbel och dess konjugat är koncykliska och bildar hörn av en kvadrat.
• Hyperboler är lika om de har samma latus rectum.

Hjälpcirklar av hyperbel

Hjälpcirkel är en cirkel som är ritad med centrum C och diameter som en tvärgående axel för hyperbeln. Hjälpcirkeln för hyperbolekvationen är,

x ² + och ² = a ²

Rektangulär hyperbel

En hyperbel med en tväraxel på 2a enheter och en konjugerad axel på 2b enheter av lika längd kallas den rektangulära hyperbeln . dvs i rektangulär hyperbel,

2a = 2b

⇒ a = b

Ekvationen för en rektangulär hyperbel ges enligt följande:

x ² - och ² = a ²

Notera: Excentriciteten för rektangulär hyperbel är √2.

Parametrisk representation av hyperbel

Parametrisk representation av hjälpcirklar av hyperbeln är:

x = a sek θ, y = b tan θ

Människor läser också

• Konisk sektion
• Parabel
• Cirkel
• Ellips

Hyperbola klass 11

I klass 11 matematik utgör studiet av hyperboler en del av koniska sektioner i analytisk geometri. Att förstå hyperboler på denna nivå innebär att utforska deras definition, standardekvationer, egenskaper och olika element som är associerade med dem.

Klass 11 läroplan inkluderar vanligtvis att härleda dessa ekvationer och egenskaper, skissa hyperboler baserade på givna ekvationer och lösa problem relaterade till hyperbelns element och positioner. Behärskning av dessa begrepp ger en stark grund i analytisk geometri , förbereda eleverna för fortsatta studier i matematik och närliggande områden.

Sammanfattning – Hyperbel

En hyperbel är en typ av konisk sektion som bildas när ett plan skär en kon i en vinkel så att två separata kurvor produceras. Kännetecknad av sin spegelsymmetri består en hyperbel av två frånkopplade grenar, som var och en böjer sig bort från den andra. Det kan definieras matematiskt i ett koordinatplan med hjälp av en standardekvation, som varierar baserat på dess orientering – antingen horisontell eller vertikal – och om dess centrum är i origo eller en annan punkt.

Standardformulären är x ² /a ² - och ² /b ² = 1 för en hyperbel som öppnar sig horisontellt och och ² /a ² – x ² /b ² = 1 för en öppning vertikalt, med variationer för att tillgodose ett centrum flyttat till (h,k). Viktiga egenskaper hos hyperboler inkluderar hörn, de närmaste punkterna på varje gren till mitten; foci, punkter från vilka avstånd till någon punkt på hyperbeln har en konstant skillnad; och asymptoter, linjer som grenarna närmar sig men aldrig berör.

Hyperbolernas egenskaper gör dem betydelsefulla inom olika områden, inklusive astronomi, fysik och teknik, för modellering och analys av hyperboliska banor och beteenden.

Lösta exempel på Hyperbola

Fråga 1: Bestäm excentriciteten för hyperbeln x ² /64 – och ² /36 = 1.

Lösning:

Ekvationen för hyperbel är x²/64 – och²/36 = 0

Genom att jämföra given ekvation med standardekvationen för hyperbeln x²/a²- och²/b²= 1, vi får

a²= 64, b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Vi har,

Excentricitet för en hyperbel (e) = √(1 + b²/a²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Excentriciteten för given hyperbel är därför 1,25.

Fråga 2: Om ekvationen för hyperbeln är [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, hitta längderna på storaxeln, småaxeln och latus rektum.

Lösning:

Ekvationen för hyperbel är [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Genom att jämföra given ekvation med standardekvationen för hyperbeln, (x – h)²/a²– (och – k)²/b²= 1

Här är x = 4 huvudaxeln och y = 3 är mindreaxeln.

a²= 25 a = 5

b²= 9 b = 3

Huvudaxelns längd = 2a = 2 × (5) = 10 enheter

Längd på mindre axel = 2b = 2 × (3) = 6 enheter

Längd på latus rectum = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 enheter

Fråga 3: Hitta vertex, asymptot, huvudaxel, mindre axel och riktning om hyperbelekvationen är [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Lösning:

Ekvationen för hyperbel är [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Genom att jämföra given ekvation med standardekvationen för hyperbel, (x – h)²/a²– (och – k)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Hörnet av en hyperbel: (h + a, k) och (h – a, k) = (13, 2) och (-1, 2)

Hyperbolens huvudaxel är x = h x = 6

Hyperbolens mindre axel är y = k y = 2

Ekvationer av asymptoter av hyperbel är

y = k − (b/a)x + (b/a)h och y = k+ (b/a)x – (b/a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 och y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 och y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x och y = -1,43 + 0,57x

Ekvationen för riktningen för en hyperbel är x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Fråga 4: Hitta excentriciteten hos hyperbeln vars latus rektum är hälften av dess konjugerade axel.

int sträng

Lösning:

Längden på latus rectum är hälften av dess konjugerade axel

Låt ekvationen för hyperbel vara [(x²/ a²) - (och²/b²)] = 1

Konjugerad axel = 2b

Längd på Latus rektum = (2b²/ a)

Från givna data, (2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = a

Vi har,

Excentricitet för hyperbel (e) = √[1 + (b²/a²)]

Ersätt nu a = 2b i formeln för excentricitet

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

Därför är excentriciteten som krävs √5/2.

Öva problem på hyperbel

P1. Hitta standardformsekvationen för hyperbeln med hörn vid (-3, 2) och (1, 2), och en brännvidd på 5.

P2. Bestäm hyperbelns centrum, hörn och härdar med ekvationen 9x ² – 4 år ² = 36.

P3. Givet hyperbeln med ekvationen (x – 2) ² /16 – (och + 1) ² /9 = 1, hitta koordinaterna för dess centrum, hörn och brännpunkter.

P4. Skriv ekvationen för hyperbeln med en horisontell huvudaxel, centrerad vid (0, 0), en vertex vid (5, 0) och ett fokus vid (3, 0).

Hyperbola – Vanliga frågor

Vad är hyperbel i matematik?

Platsen för en punkt i ett plan så att förhållandet mellan dess avstånd från en fast punkt till det från en fast linje är en konstant större än 1 kallas Hyperbola.

Vad är standardekvationen för hyperbel?

Standardekvationen för hyperbel är

(x ² /a ² ) - (och ² /b ² ) = 1

Vad är excentricitet av hyperbel?

Excentriciteten för en hyperbel är förhållandet mellan avståndet mellan en punkt från fokus och dess vinkelräta avstånd från riktlinjen. För Hyperbola är excentriciteten alltid större än 1.

Vad är formeln för excentricitet för hyperbel?

Formel för excentricitet av hyperbel är e = √(1 + (b ² /a ² ))

Vad är Foci av Hyperbola?

En hyperbel har två foci. För hyperbeln (x²/a²) - (och²/b²) = 1, brännpunkterna ges av (ae, 0) och (-ae, 0)

Vad är Transversal Axis of Hyperbola?

För hyperbel (x²/a²) - (och²/b²) = 1, tväraxeln är längs x-axeln. Dess längd ges av 2a. Linje som går genom hyperbels centrum och brännpunkter kallas en hyperbels tväraxel.

Vad är asymptoter av hyperbola?

Linjer parallella med hyperbel som möter hyperbel i oändlighet kallas hyperbels asymptoter.

Hur många asymptoter har hyperbeln?

En hyperbel har 2 asymptoter. Asymptoter är en linje som tangerar hyperbeln som möter hyperbeln i oändligheten.

Vad används Hyperbola för?

Hyperboler hittar tillämpningar inom olika områden som astronomi, fysik, teknik och ekonomi. De används bland annat i satellitbanor, radiosändningsmönster, artillerimål, finansiell modellering och himlamekanik.

Vad är skillnaden mellan parabel och hyperbel i standardform?

I standardform innefattar ekvationen för en parabel termer upphöjda till potensen 1 och 2, medan ekvationen för en hyperbel involverar termer upphöjda till potensen 2 och -2. Dessutom kännetecknas parabeln av en enda fokuspunkt, medan hyperbeln har två.

Vad är den grundläggande ekvationen för hyperbelgraf?

Grundekvationen för en hyperbelgraf är:

(x – h)²/ a²– (och – k)²/b²= 1

Eller

(och – k)²/b²– (x -h)²/ a²= 1

Vilka är typerna av hyperbola?

Hyperboler kan klassificeras i tre typer baserat på deras orientering: horisontella, vertikala och sneda hyperboler.

Hur identifierar man en hyperbolekvation?

En hyperbelekvation involverar vanligtvis termer med båda x och och variabler, med en skillnad mellan kvadraterna på x och och koefficienter, och koefficienterna för dessa termer är positiva respektive negativa.

Vad är formeln för B i hyperbel?

I standardformen av en hyperbolekvation, B representerar längden på den konjugerade axeln, och dess formel är B = 2 b , var b är avståndet från centrum till hörn längs den konjugerade axeln.

Hur man ritar en hyperbel?

För att rita en hyperbel börjar du vanligtvis med att plotta mittpunkten och markerar sedan hörn, foci, asymptoter och andra nyckelpunkter baserat på den givna ekvationen eller egenskaperna. Slutligen, skissa hyperbelns kurvor med dessa punkter som guider.