OMVÄNDA TRIGONOMETRISKA IDENTITETER | DOMÄN, RÄCKVIDD OCH EGENSKAPER

Omvända trigonometriska identiteter: Inom matematik är inversa trigonometriska funktioner också kända som arcus-funktioner eller anti-trigonometriska funktioner. De inversa trigonometriska funktionerna är de inversa funktionerna av grundläggande trigonometriska funktioner, dvs sinus, cosinus, tangent, cosecant, sekant och cotangens. Den används för att hitta vinklarna med valfritt trigonometriskt förhållande. Inversa trigonometriska funktioner används vanligtvis inom områden som geometri, teknik, etc. Representationen av inversa trigonometriska funktioner är:

Om a = f(b), så är den inversa funktionen

b = f^-1(a)
namngivning av javakonventioner

Exempel på inversa inversa trigonometriska funktioner är sin^-1x, för^-1x, alltså^-1x osv.

Innehållsförteckning

Domän och intervall av omvända trigonometriska identiteter
Egenskaper för inversa trigonometriska funktioner
Identiteter för omvänd trigonometrisk funktion
Exempel på problem med omvänd trigonometriska identiteter
Öva problem på omvända trigonometriska identiteter

Domän och intervall av omvända trigonometriska identiteter

Följande tabell visar några trigonometriska funktioner med deras domän och intervall.

Fungera	Domän	Räckvidd
y = utan^-1x	[-elva]	[-p/2, p/2]
y = cos^-1x	[-elva]	[0, p]
y = cosec^-1x	R – (-1,1)	[-π/2,π/2] – {0}
y = sek^-1x	R - (-elva)	[0, π] – {π/2}
y = så^-1x	R	(-p/2, p/2)
y = spjälsäng^-1x	R	(0, p)

Egenskaper för inversa trigonometriska funktioner

Följande är egenskaperna hos inversa trigonometriska funktioner:

Egendom 1:

utan^-1(1/x) = cosec^-1x, för x ≥ 1 eller x ≤ -1
cos^-1(1/x) = sek^-1x, för x ≥ 1 eller x ≤ -1
så^-1(1/x) = spjälsäng^-1x, för x> 0

Egendom 2:

utan^-1(-x) = -sin^-1x, för x ∈ [-1 , 1]
så^-1(-x) = -tan^-1x, för x ∈ R
cosec^-1(-x) = -cosec^-1x, för |x| ≥ 1

Fastighet 3

cos^-1(-x) = π – cos^-1x, för x ∈ [-1 , 1]
sek^-1(-x) = π – sek^-1x, för |x| ≥ 1
spjälsäng^-1(-x) = π – spjälsäng^-1x, för x ∈ R

Fastighet 4

utan^-1x + cos^-1x = π/2, för x ∈ [-1,1]
så^-1x + spjälsäng^-1x = π/2, för x ∈ R
cosec^-1x + sek^-1x = π/2, för |x| ≥ 1

Fastighet 5

så^-1x + så^-1y = så^-1( x + y )/(1 – xy), för xy <1
så^-1x – alltså^-1y = så^-1(x – y)/(1 + xy), för xy> -1
så^-1x + så^-1y = π + tan^-1(x + y)/(1 – xy), för xy>1; x, y>0

Fastighet 6

2tan^-1x = synd^-1(2x)/(1 + x²), för |x| ≤ 1
2tan^-1x = cos^-1(1 – x²)/(1 + x²), för x ≥ 0
2tan^-1x = så^-1(2x)/(1 – x²), för -1

Identiteter för omvänd trigonometrisk funktion

Följande är identiteterna för inversa trigonometriska funktioner:

utan^-1(sin x) = x förutsatt -π/2 ≤ x ≤ π/2
cos^-1(cos x) = x förutsatt 0 ≤ x ≤ π
så^-1(tan x) = x förutsatt -π/2
utan^-1x) = x förutsatt -1 ≤ x ≤ 1
cos(cos^-1x) = x förutsatt -1 ≤ x ≤ 1
så så^-1x) = x förutsatt x ∈ R
cosec(cosec^-1x) = x förutsatt -1 ≤ x ≤ ∞ eller -∞
sek(sek^-1x) = x förutsatt 1 ≤ x ≤ ∞ eller -∞
spjälsäng (säng^-1x) = x förutsatt -∞
sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
2cos^-1x = cos^-1(2x²- 1)
2sin^-1x = synd^-12x√(1 – x²)
3sin^-1x = synd^-1(3x – 4x³)
3cos^-1x = cos^-1(4x³– 3x)
3tan^-1x = så^-1((3x – x³/1 – 3x²))
utan^-1x + sin^-1y = utan^-1{ x√(1 – y²) + y√(1 – x²)}
utan^-1x – synd^-1y = utan^-1{ x√(1 – y²) – y√(1 – x²)}
cos^-1x + cos^-1y = cos^-1[xy – √{(1 – x²)(1 – och²)}]
cos^-1x – cos^-1y = cos^-1[xy + √{(1 – x²)(1 – och²)}
så^-1x + så^-1y = så^-1(x + y/1 – xy)
så^-1x – alltså^-1y = så^-1(x – y/1 + xy)
så^-1x + så^-1och +tan^-1z = så^-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Människor ser också:

Trigonometri i matematik | Tabell, formler, identiteter
Lista över alla trigonometriska identiteter
Omvända trigonometriska funktioner
Grafer över inversa trigonometriska funktioner

Exempel på problem med omvänd trigonometriska identiteter

Fråga 1: Försök utan ^-1 x = sek ^-1 1/√(1-x ² )

Lösning:

Låt utan^-1x = y

⇒ sin y = x , (eftersom sin y = vinkelrät/hypotenus ⇒ cos y = √(1- vinkelrät²)/hypotenus )

⇒ cos y = √(1 – x²), här hypotenusa = 1

⇒ sek y = 1/cos y

⇒ sek y = 1/√(1 – x²)

⇒ y = sek^-11/√(1 – x²)

⇒ utan^-1x = sek^-11/√(1 – x²)

Alltså bevisat.

Fråga 2: Försök det ^-1 x = cosec ^-1 √(1 + x ² )/x

Lösning:

Låt så^-1x = y

⇒ tan y = x, vinkelrät = x och bas = 1

⇒ sin y = x/√(x²+ 1), (eftersom hypotenusa = √(vinkelrät²+ bas²) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x²+ 1)/x

⇒ y = cosec^-1√(x²+ 1)/x

⇒ alltså^-1x = cosec^-1√(x²+ 1)/x

Alltså bevisat.

Fråga 3: Utvärdera dig själv som ^-1 x)

Lösning:

Låt cos^-1x = y

⇒ cos y = x , bas = x och hypotenusa = 1 därför sin y = √(1 – x²)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x²)/x

⇒ y = så^-1√(1 – x²)/x

⇒ för^-1x = så^-1√(1 – x²)/x

Därför, tan(cos^-1x) = tan(tan^-1√(1 – x²)/x ) = √(1 – x²)/x.

Fråga 4: så ^-1 √(sin x) + spjälsäng ^-1 √(sin x) = y. Hitta cos och.

Lösning:

Vi vet den där solbrännan^-1x + spjälsäng^-1x = /2, därför att jämföra denna identitet med ekvationen i frågan får vi y = π/2

Således är cos y = cos π/2 = 0.

Fråga 5: så ^-1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)brun ^-1 x, x> 0. Lös för x.

Lösning:

så^-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)brun^-1x

⇒ 2tan^-1(1 – x)/(1 + x) = brun^-1x …(1)

Det vet vi, 2tan^-1x = så^-12x/(1 – x²).

Därför kan LHS i ekvation (1) skrivas som

så^-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]²}]

= så^-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)²– (1 – x)²}]

= så^-1[ 2(1 – x²)/(4x)]

= så^-1(1 – x²)/(2x)

Eftersom LHS = RHS därför

så^-1(1 – x²)/(2x) = brun^-1x

⇒ (1 – x²)/2x = x

⇒ 1 – x²= 2x²

⇒ 3x²= 1

⇒ x = ± 1/√3

Eftersom x måste vara större än 0 är x = 1/√3 det acceptabla svaret.

Fråga 6: Försök det ^-1 √x = (1/2)cos ^-1 (1 – x)/(1 + x)

Lösning:

Låt så^-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ alltså²y = x

Därför,

RHS = (1/2)cos^-1(1- alltså²y)/(1 + brun²och)

= (1/2)cos^-1(cos²och utan²y)/(cos²och + utan²och)

= (1/2)cos^-1(cos²och utan²och)

= (1/2)cos^-1(cos 2y)

= (1/2)(2år)

= och

= så^-1√x

= LHS

Alltså bevisat.

Fråga 7: så ^-1 (2x)/(1 – x ² ) + spjälsäng ^-1 (1 – x ² )/(2x) = π/2, -1

Lösningar:

så^-1(2x)/(1 – x²) + spjälsäng^-1(1 – x²)/(2x) = π/2

⇒ alltså^-1(2x)/(1 – x²) + så^-1(2x)/(1 – x²) = π/2

⇒ 2tan^-1(2x)/(1 – x²) = ¸/2

⇒ alltså^-1(2x)/(1 – x²) = ¸/4

⇒ (2x)/(1 – x²) = brun ¸/4

⇒ (2x)/(1 – x²) = 1

⇒ 2x = 1 – x²

⇒ x²+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(2²– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 eller x = -1 – √2

Men enligt frågan x ∈ (-1, 1) är därför lösningsmängden för den givna ekvationen x ∈ ∅.

Fråga 8: så ^-1 1/(1 + 1,2) + brun ^-1 1/(1 + 2,3) + … + så ^-1 1/(1 + n(n + 1)) = brun ^-1 x. Lös för x.

Lösning:

så^-11/(1 + 1,2) + brun^-11/(1 + 2,3) + … + brun^-11/(1 + n(n + 1)) = brun^-1x

⇒ alltså^-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + brun^-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + så^-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = brun^-1x

⇒ (så^-12 - alltså^-11) + (så^-13 - alltså^-12) + … + (så^-1(n + 1) – alltså^-1n) = så^-1x

⇒ alltså^-1(n + 1) – alltså^-11 = alltså^-1x

⇒ alltså^-1n/(1 + (n + 1).1) = brun^-1x

⇒ alltså^-1n/(n + 2) = brun^-1x

⇒ x = n/(n + 2)

Fråga 9: Om 2tan ^-1 (utan x) = så ^-1 (2sek x) lös sedan för x.

Lösning:

2tan^-1(utan x) = så^-1(2 sek x)

⇒ alltså^-1(2sin x)/(1 – sin²x) = så^-1(2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – sin²x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos²x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos²x

⇒ sin x cos x – cos²x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 eller sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 eller tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 eller x = π/4

Men vid x = π/2 existerar inte den givna ekvationen, därför är x = π/4 den enda lösningen.

Fråga 10: Bevisa den där spjälsängen ^-1 [ {√(1 + sin x) + √(1 – sin x)}/{√(1 + sin x) – √(1 – sin x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Lösning:

Låt därför x = 2y

LHS = spjälsäng^-1[{√(1+sin 2y) + √(1-sin 2y)}/{√(1+sin 2y) – √(1-sin 2y)}]

= spjälsäng^-1[{√(cos²och + utan²y + 2sin y cos y) + √(cos²och + utan²y – 2sin y cos y)}/{√(cos²och + utan²y + 2sin y cos y) – √(cos²och + utan²y – 2sin och cos y)} ]

= spjälsäng^-1[{√(cos y + sin y)²+ √(cos y – sin y)²} / {√(cos y + sin y)²– √(cos och – sin och)²}]

= spjälsäng^-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= spjälsäng^-1(2cos y)/(2sin y)

= spjälsäng^-1(säng och)

= och

= x/2.

Öva problem på omvända trigonometriska identiteter
Uppgift 1: Lös för x i ekvationen sin ^-1 (x) + cos ^-1 (x) = π/2

Problem 2: Bevisa den solbrännan ^-1 (1) + så ^-1 (2) + så ^-1 (3) = sid

Uppgift 3: Utvärdera cos⁡(utan ^-1 (0,5))

Problem 4: Om solbränna ^-1 (x) + brun ^-1 (2x) = π/4, hitta sedan x

Vanliga frågor om inversa trigonometriska identiteter
Vad är inversa trigonometriska funktioner?

Inversa trigonometriska funktioner är de inversa funktionerna av de grundläggande trigonometriska funktionerna (sinus, cosinus, tangent, cosecant, sekant och cotangens). De används för att hitta de vinklar som motsvarar givna trigonometriska förhållanden.

Varför är inversa trigonometriska funktioner viktiga?

Omvända trigonometriska funktioner är viktiga inom olika områden som geometri, teknik och fysik eftersom de hjälper till att bestämma vinklar från trigonometriska förhållanden, vilket är avgörande för att lösa många praktiska problem.

Vilka är domänerna och områdena för inversa trigonometriska funktioner?

Varje invers trigonometrisk funktion har specifika domäner och intervall:

s i ^-1 (x) : Domän [-1, 1] och intervall [- π/2, π/2]

cos ^-1 (x) : Domän [-1, 1] och intervall [ 0, π]

så⁡ ^-1 (x) : Domän R och intervall (- π/2, π/2)

Kan inversa trigonometriska funktioner användas i kalkyl?

Ja, inversa trigonometriska funktioner används ofta i kalkyl för integration och differentiering. De är särskilt användbara för att integrera funktioner som involverar trigonometriska uttryck.