Tröghetsmoment är egenskapen hos en kropp i roterande rörelse. Tröghetsmoment är egenskapen hos de roterande kropparna som tenderar att motverka förändringen i kroppens rotationsrörelse. Det liknar trögheten hos vilken kropp som helst i translationsrörelse. Matematiskt ges tröghetsmomentet som summan av produkten av massan av varje partikel och kvadraten på avståndet från rotationsaxeln. Det mäts i enheten för kgm ² .

Låt oss lära oss mer om tröghetsmomentet i detalj i artikeln nedan.

Innehållsförteckning

• Tröghetsmoment Definition
• Formel för tröghetsmoment
• Faktorer som påverkar tröghetsmomentet
• Hur beräknar man tröghetsmoment?
• Formel för tröghetsmoment för olika former
• Gyrationsradie
• Tröghetsmomentsatsningar
• Tröghetsmoment för olika objekt

Tröghetsmoment Definition

Tröghetsmoment är tendensen hos en kropp i roterande rörelse som motverkar förändringen i dess roterande rörelse på grund av yttre krafter. Tröghetsmomentet beter sig som vinkelmassa och kallas rotationströghet. Tröghetsmoment är analogt med det mekaniska Tröghet av kroppen.

MOI definieras som kvantiteten uttryckt av summan av produkten av massa av varje partikel med kvadraten på dess avstånd från rotationsaxeln för varje partikel som utför rotationsrörelsen.

Enhet för tröghetsmoment

Tröghetsmoment är en skalär storhet och SI-enheten för tröghetsmomentet är kgm ² .

Tröghetsmoment Dimensional Formula

Eftersom tröghetsmomentet ges som produkten av massan och kvadraten på avståndet. Dess dimensionsformel ges av produkten av dimensionsformeln för massa och kvadraten av dimensionsformeln för längd. Den dimensionella formeln för tröghetsmomentet är, ML ²

Vad är tröghet?

Tröghet är egenskapen hos en materia på grund av vilken den tenderar att motstå förändringen i dess rörelsetillstånd. Detta betyder att en kropp i vila försöker förbli i vila och motstå alla krafter som försöker få den i rörelse, och en kropp i rörelse försöker fortsätta i rörelse och motstå alla krafter som försöker få den att ändra storleken på sin rörelse. När det gäller kvantitet är det lika med den maximala kraften som försöker ändra sitt tillstånd rörelse .

Lära sig mer om Tröghet .

Formel för tröghetsmoment

Tröghetsmomentet är ett skalär kvantitet . Matematiskt kallas produkten av kvadraten av en partikels massa och avståndet från rotationsaxeln för partikelns tröghetsmoment kring rotationsaxeln.

Den allmänna formeln för att hitta tröghetsmomentet för ett objekt är,

Jag = mr ²

var,
m är föremålets massa'
r är avståndet från rotationsaxeln

För en kropp bestående av kontinuerliga oändligt små partiklar, används Integralformen av tröghetsmomentet för att beräkna tröghetsmomentet.

I = ∫dI

jag = int_{0}^{M} r^2 dm

Tröghetsmoment för ett system av partiklar

Tröghetsmoment för ett system av partiklar ges av formeln,

I = ∑m _i r _i ²

var,
r _i är det vinkelräta avståndet för i^thpartikel från axeln
m _i är massan av i^thpartikel

Ovanstående tröghetsmomentekvation säger att tröghetsmomentet för ett system av partiklar är lika med summan av produkten av massan av var och en och kvadraten på avståndet från varje partikels rotationsaxel.

För figuren nedan,

Tröghetsmoment för första partikel = m₁×r₁²

Tröghetsmoment för andra partikel = m₂×r₂²

Tredje partikelns tröghetsmoment = m₃×r₃²

Liknande,

Tröghetsmoment för n^thpartikel = m_n×r_n²

Nu är tröghetsmomentet för hela kroppen kring rotationsaxeln AB kommer att vara lika med summan av tröghetsmomentet för alla partiklar, alltså

I = m₁×r₁²+ m₂×r₂²+ m₃×r₃²+……+m_n×r_n²

intellij idé vs eclipse

I = Σm _i ×r _i ²

var,
jag representerar kroppens tröghetsmoment kring rotationsaxeln
m _i är massan av i^thpartikel,
r _i är radien för i^thpartikel
S representerar summan.

Från ekvationen kan vi säga att tröghetsmomentet för en kropp kring en fixerad axel är lika med summan av produkten av massan av varje partikel i den kroppen och kvadraten på dess vinkelräta avstånd från den fixerade axeln.

Faktorer som påverkar tröghetsmomentet

Tröghetsmoment för ett objekt beror på följande värden:

• Objektets form och storlek
• Densitet av föremålets material
• Rotationsaxel

Hur beräknar man tröghetsmoment?

Flera sätt är vana vid beräkna tröghetsmomentet av något roterande föremål.

• För enhetliga föremål beräknas tröghetsmomentet genom att ta produkten av dess massa med kvadraten på dess avstånd från rotationsaxeln (r)²).
• För olikformiga föremål beräknar vi tröghetsmomentet genom att ta summan av produkten av individuella punktmassor vid varje olika radie för detta är den använda formeln

I = ∑m _i r _i ²

Formel för tröghetsmoment för olika former

Den här tabellen diskuterar uttryck för tröghetsmomentet för vissa symmetriska objekt tillsammans med deras rotationsaxel:

Gyrationsradie

De Gyrationsradie av en kropp definieras som det vinkelräta avståndet från rotationsaxeln till massan vars massa är lika med massan av hela kroppen och tröghetsmomentet är lika med det faktiska tröghetsmomentet för föremålet som det har varit antas att kroppens totala massa är koncentrerad där. Det är ett tänkt avstånd. Gyrationsradien betecknas av K.

Om kroppens massa och svängningsradie är M respektive K, är en kropps tröghetsmoment

Jag = MK ² ……(1)

Således är en kropps Gyrationsradie vinkelrät mot rotationsaxeln vars kvadrat multiplicerad med kroppens massa ger kroppens tröghetsmoment kring den axeln.

Återigen genom ekvation (1), K²= I/M

K = √(I/m)

Således är radien för en kropps rotation kring en axel lika med kvadratroten av förhållandet mellan kroppen kring den axeln.

Tröghetsmomentsatsningar

Det finns två typer av satser som är mycket viktiga med avseende på tröghetsmomentet:

• Parallellaxelsats
• Perpendikulär axelsats

Perpendikulär axelsats

Perpendikulär axelsats anger att summan av en kropps tröghetsmoment kring två ömsesidigt vinkelräta axlar belägna i en kropps plan är lika med kroppens tröghetsmoment kring den tredje axeln som är vinkelrät mot de två axlarna och går genom deras punkt av korsningen.

java sträng ansluta

I figuren ovan, OXE och LTD är två axlar i kroppens plan som är vinkelräta mot varandra. Den tredje axeln är UNS som är vinkelrät mot kroppens plan och passerar genom skärningspunkten för den OXE och LTD yxor. Om jag _x , jag _och , och jag _Med är kroppens tröghetsmoment kring axeln OXE , LTD , och UNS axlar respektive, då enligt denna sats

jag _x + jag _och = jag _Med

Parallellaxelsats

Enligt Parallellaxelsats , är tröghetsmomentet för en kropp kring en given axel summan av tröghetsmomentet kring en axel som passerar genom den kroppens masscentrum och produkten av kvadraten på kroppens massa och det vinkelräta avståndet mellan två axlar.

Låt i ovanstående figur, vi måste hitta tröghetsmomentet för jag _O av kroppen som passerar genom punkten O och kring axeln vinkelrät mot planet, medan kroppens tröghetsmoment passerar genom masscentrum C och om en axel parallell med den givna axeln är jag _C , då enligt denna sats

jag _O = jag _C + Ml ²

var
M är hela kroppens massa
l är det vinkelräta avståndet mellan två axlar.

Tröghetsmoment för olika objekt

Tröghetsmoment för olika objekt diskuteras nedan i den här artikeln

Tröghetsmoment för en rektangulär platta

Om plattans massa är M, längd l och bredd b, så passerar tröghetsmomentet genom tyngdpunkten och runt en axel vinkelrät mot plattans plan.

I = M(l ² + b ² / 12)

Tröghetsmoment för en skiva

Om skivan har en massa M och radie r, är tröghetsmomentet kring skivans geometriska axel

I = 1/2(Mr ² )

En stavs tröghetsmoment

Om stavens massa är M och längden är l, då är tröghetsmomentet runt axeln vinkelrät mot stavens längd och passerar genom dess tyngdpunkt

I = ML ² /12

En cirkels tröghetsmoment

Om ringens massa är M och ringens radie är r, så är tröghetsmomentet kring axeln som går igenom vinkelrätt mot ringens centrum

Jag = Mr ²

Tröghetsmoment av en sfär

Om en fast sfär har massan M och radien r, är tröghetsmomentet runt dess diameter

I = 2/5Mr ²

Tröghetsmoment för Solid Cylinder

Tröghetsmomentet för en solid cylinder med radie 'R' och massa M ges av

I = 1/2MR ²

Tröghetsmoment för ihålig cylinder

En ihålig cylinder har två radier nämligen inre radie och yttre radie. Tröghetsmomentet för en ihålig cylinder med massa M, yttre radie R₁, och inre radie R₂ges som

I = 1/2M(R ₁ ² + R ₂ ² )

Tröghetsmomentet för den fasta sfären

Tröghetsmomentet för en fast massasfär 'M' och radie 'R' anges som

I = 2/5MR ²

Tröghetsmoment av den ihåliga sfären

Tröghetsmomentet för en ihålig sfär med massa M och radie 'R' anges som

I = 2/3MR ²

Ringens tröghetsmoment

Tröghetsmomentet för en ring ges för två fall när rotationsaxeln passerar genom centrum och när rotationsaxeln passerar genom diametern.

Ringens tröghetsmoment kring axeln som går genom centrum ges av

konvertera sträng till int

I = MR ²

Ringens tröghetsmoment kring axeln som går genom diametern ges av

Jag = Mr ² /2

Torgets tröghetsmoment

Tröghetsmomentet för kvadraten på sida 'a' anges som

Jag = a ⁴ /12

Tröghetsmomentet för en fyrkantig platta på sidan med längden 'l' och massan M anges som

I = 1/6ml ²

Triangelns tröghetsmoment

Tröghetsmomentet för en triangel ges för 3 situationer, först när axeln passerar genom mitten, för det andra när axeln passerar genom basen och för det tredje när axeln är vinkelrät mot basen. Låt oss se formeln för dem en efter en. För en triangel med basen 'b' och höjden 'h' ges formeln för tröghetsmoment enligt följande

När axeln passerar genom Centroid

Jag = bh ³ /36

När axeln passerar genom basen

Jag = bh ³ /12

När axeln är vinkelrät mot basen

I = (hb/36)(b ² – b ₁ b + b ₁ ² )

Skillnaden mellan tröghetsmoment och tröghetsmoment

Skillnaden mellan tröghet och tröghetsmoment är tabellerad nedan:

Kinetisk energi hos roterande kropp

Låt oss anta en massa 'm' som roterar med hastigheten v på ett avstånd 'r' från rotationsaxeln. Dess vinkelhastighet ges då av ω = v/r sedan v = rω. Nu vet vi att Rörelseenergi av en kropp ges av

KE = 1/2mv ²

⇒ KE = 1/2m(rω)²

⇒ KE = 1/2mr²åh²

⇒ KE = 1/2Iω ²

Därför ges den kinetiska energin hos en roterande kropp av hälften av produkten av tröghetsmomentet och vinkelhastighet av kroppen. Den kinetiska energin hos roterande kropp kallas också Roterande kinetisk energi . Formeln för rotationskinetisk energi ges som

KE = 1/2Iω ²

Tröghetsmomentet(I) är oberoende av kroppens vinkelhastighet. Det är en funktion av den roterande kroppens massa och kroppens avstånd från rotationsaxeln. Därför observerar vi att vinkelrörelse är analog med linjär rörelse, detta betyder att betydelsen av tröghetsmoment är att det ger en uppfattning om hur massor är fördelade på olika avstånd från rotationsaxeln i en roterande kropp.

Tillämpning av tröghetsmoment

Tröghetsmoment har olika applikationer, av vilka några diskuteras nedan:

• På grund av det större tröghetsmomentet roterar jorden runt sin axel med samma vinkelhastighet.
• Ett litet rörligt hjul är placerat under barnens lekmotor. Efter att ha gnuggat detta hjul med marken och lämnat motorn, på grund av hjulets tröghetsmoment, fortsätter motorn att gå en tid.
• Varje motor består av ett stort och tungt hjul fäst vid dess axel, med det mesta av dess massa på dess omkrets. Därför är dess tröghetsmoment högt. Detta hjul kallas svänghjul. Vridmomentet som driver motorns axel fortsätter att öka. Därför kan rotationen av axeln inte vara enhetlig, men på grund av närvaron av ett rörligt hjul med mer tröghet, fortsätter axeln att rotera med en nästan enhetlig hastighet.
• I hjulet på tjurkärror, rickshaws, skotrar, cyklar etc. är det mesta av massan koncentrerad på dess cirkel eller kant. denna båge eller rutin är fäst vid hjulets axel med stela ekrar. Genom att göra detta ökar dess tröghetsmoment. Därför, när benen slutar röra sig medan du cyklar, fortsätter hjulet att snurra under en tid.

Kolla också

• Kinematics of Rotational Motion
• Rörelse av en stel kropp
• Rullande rörelse

Lösta exempel på tröghetsmoment

Exempel 1: En kropp med en massa på 500 g roterar runt en axel. avståndet mellan kroppens massacentrum från rotationsaxeln är 1,2 m. hitta kroppens tröghetsmoment kring rotationsaxeln.

Lösning:

Givet att M = 500 g = 0,5 kg, r = 1,2 m.

Uppenbarligen kan hela massan av en kropp antas vara placerad i dess massacentrum. Sedan kroppens tröghetsmoment kring rotationsaxeln.

Jag = Mr²

I = 0,5 × (1,2)²

I = 0,72 kg m²

Exempel 2: Rotationsradien kring en axel 12 cm från masscentrum för en kropp med massan 1,2 kg är 13 cm. Beräkna rotationsradie och tröghetsmoment kring en axel som går genom masscentrum.

Lösning:

Med tanke på att M = 1,0 kg, K = 13 cm, l = 12 cm, K_CENTIMETER= ?, jag_CENTIMETER= ?

Från satsen för parallellaxeln I = I_CENTIMETER+ Ml²

K²= K_CM2+ l²

eller K_CM2= K²– l²

K_CM2 = (13)²– (12)²= 25

K_CENTIMETER= 5

Nu, tröghetsmoment I_CENTIMETER= MK_CM2

jag_CENTIMETER= 1,0 × (0,05)²= 2,5 × 10^-3kg m²

Exempel 3: En kropp med massan 0,1 kg roterar runt en axel. om avståndet mellan kroppens massacentrum från rotationsaxeln är 0,5 m, hitta kroppens tröghetsmoment.

Lösning:

Med tanke på att M = 0,1 kg och r = 0,5 m

så jag = Mr²

I = 0,1 × (0,5)²

I = 0,025 kg m²

Exempel 4: Ringarnas tröghetsmoment kring en axel som går genom dess centrum vinkelrätt mot den cirkulära ringens plan är 200 gm cm ² . Vad blir tröghetsmomentet om dess diameter?

Lösning:

Tröghetsmoment för en cirkulär ring kring en axel som går genom ett annat centrum vinkelrätt mot dess plan

HERR²= 200 gm cm²

Tröghetsmoment ungefär till diameter

= 1/2 MR²

= 1/2 × 200 = 100 gm cm²

Vanliga frågor om tröghetsmoment

Hur beräknar man tröghetsmomentet?

Den grundläggande formeln för att hitta tröghetsmomentet för ett enhetligt föremål är,

Jag = mr ²

var,
m är föremålets massa'
r är avståndet från rotationsaxeln

Hur beräknar man tröghetsmomentet för en stråle?

Tröghetsmomentet för en stråle längs mitten och axeln horisontellt till den beräknas med hjälp av formeln,

blockera YouTube-annonser för Android

I = ML ² / 12

Vad beror en kropps tröghetsmoment på?

Tröghetsmomentet för ett föremål beror på faktorerna nedan:

• Kroppens massa,
• Rotationsaxel
• Objektets form och storlek

Vad är enheten för tröghetsmoment?

Enheten för tröghetsmoment är Kgm ²

Kan tröghetsmomentet vara negativt?

Nej, tröghetsmomentet kan aldrig vara negativt.

Vad är masströghetsmoment?

Masströghetsmoment är mätningen av en kropps motstånd mot förändring i dess vinkelmoment eller riktning. Masströghetsmomentet för en punktmassa ges av I = mr²och för system av partiklar ges massatröghetsmomentet som I = Σ_im_ir_i²

Vad är Area Tröghetsmoment?

Area Tröghetsmoment är egenskapen hos ett 2D-formplan som visar hur punkter är dispergerade med avseende på en godtycklig axel i ett plan. Area Tröghetsmoment är också känt som Andra Moment av Area eller Quadratic Moment of Area. Formeln för areatröghetsmoment i xy-planet ges som I_xy= ∫xy dxdxy = ∫xy dA