LU-sönderdelning av en matris är faktoriseringen av en given kvadratisk matris till två triangulära matriser, en övre triangulär matris och en nedre triangulär matris, så att produkten av dessa två matriser ger den ursprungliga matrisen. Den introducerades av Alan Turing 1948, som också skapade Turing-maskinen.

LU-sönderdelningsmetod för att faktorisera en matris som en produkt av två triangulära matriser har olika tillämpningar såsom en lösning av ett ekvationssystem, som i sig är en integrerad del av många tillämpningar som att hitta ström i en krets och lösning av diskreta dynamiska systemproblem ; hitta inversen av en matris och hitta matrisens determinant.

Vad är L U-nedbrytning?

En kvadratisk matris A kan delas upp i två kvadratiska matriser L och U så att A = L U där U är en övre triangulär matris som bildas som ett resultat av att använda Gauss-elimineringsmetoden på A, och L är en nedre triangulär matris med diagonala element som lika med 1.

För A =egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix} .

aws rödförskjutning

Vi har L = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 end{bmatrix} och U =egin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{bmatrix} ;

Sådan att A = L U, dvs.left[egin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight]=left[egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 0 end{array} ight] cdot left[egin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{array} ight]

Här värdet av l_tjugoett, i_elva, etc. kan jämföras och hittas.

Vad är Gauss elimineringsmetod?

Gaussisk eliminering, även känd som Gauss-Jordan Elimination, är en metod som används i linjär algebra för att lösa system av linjära ekvationer och för att hitta inversen av en matris. Den är uppkallad efter matematikern Carl Friedrich Gauss och även matematikern Wilhelm Jordan, som gjorde betydande bidrag till dess utveckling.

Enligt Gauss elimineringsmetoden:

1. Alla nollrader ska vara längst ner i matrisen.
2. Den första posten som inte är noll i varje rad ska vara på höger sida om den första posten som inte är noll i föregående rad. Denna metod reducerar matrisen till rad echelonform.

LU Nedbrytningsmetod

För att fabrikera vilken kvadratisk matris som helst i två triangulära matriser, dvs den ena är en nedre triangulär matris och den andra är en övre triangulär matris, kan vi använda följande steg.

• Givet en uppsättning linjära ekvationer, omvandla dem först till matrisform A X = C där A är koefficientmatrisen, X är den variabla matrisen och C är matrisen av tal på den högra sidan av ekvationerna.
• Minska nu koefficientmatrisen A, d.v.s. matrisen som erhålls från koefficienterna för variabler i alla givna ekvationer så att för 'n' variabler har vi en nXn-matris, till rad echelonform med hjälp av Gauss-elimineringsmetoden. Den så erhållna matrisen är U.
• För att hitta L har vi två metoder. Den första är att anta de återstående elementen som några artificiella variabler, göra ekvationer med A = L U och lösa dem för att hitta dessa artificiella variabler. Den andra metoden är att de återstående elementen är multiplikatorkoefficienterna på grund av vilka de respektive positionerna blev noll i U-matrisen. (Denna metod är lite svår att förstå med ord men skulle bli tydlig i exemplet nedan)
• Nu har vi A (nXn-koefficientmatrisen), L (den nXn nedre triangulära matrisen), U (den nXn övre triangulära matrisen), X (nX1-matrisen av variabler) och C (nX1-matrisen av tal till höger- sidan av ekvationerna).
• Det givna ekvationssystemet är A X = C. Vi ersätter A = L U. Vi har alltså L U X = C. Vi sätter Z = U X, där Z är en matris eller artificiella variabler och löser först L Z = C och löser sedan för U X = Z för att hitta X eller värdena för variablerna, vilket krävdes.

Exempel på LU-nedbrytning

Lös följande ekvationssystem med LU-sönderdelningsmetoden:

egin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 end{equation*} egin{equation*} 4x_1 + 3x_2 – x_3 = 6 end{equation*} egin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 end{equation*}

Lösning: Här har vi A =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} , X = egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

och

C = egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

så att A X = C. Nu överväger vi först

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix}

och konvertera den till rad echelon-form med Gauss Elimination Method. Så genom att göra

egin{equation} R_2 o R_2 – 4R_1 end{equation} egin{equation} R_3 o R_3 – 3R_1 end{equation}

vi får

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} sim

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 2 & 0 end{bmatrix}

Nu genom att göra

egin{equation} R_3 o R_3 – (-2)R_2 end{equation}

Vi får

sim egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(Kom ihåg att alltid ha ' - ' tecken mellan, ersätt ' + ' tecken med två ' - ' tecken) Därför får vi L =

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix}

och U =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(märk på att i L matris,

l_{21} = 4

är från (1),

java läs csv

l_{31} = 3

är från (2) och

l_{32} = -2

är från (3)) Nu antar vi Z

= egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

och lös L Z = C.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

Så vi har

z_1 = 1 ,

4z_1 + z_2 = 6 ,

3z_1 – 2z_2 + z_3 = 4 .

Lösning får vi

z_1 = 1

,

z_2 = 2

och

z_3 = 5

. Nu löser vi U X = Z

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix} egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 2 5 end{bmatrix}

Därför får vi

x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,

-x_2 – 5x_3 = 2

,

-10x_3 = 5 .

Lösningen till det givna linjära ekvationssystemet är alltså

x_1 = 1

,

x_2 = 0.5

,

x_3 = -0.5

och därav matrisen X =

egin{bmatrix} 1 0.5 -0.5 end{bmatrix}

Övning om LU-nedbrytning

I LU-nedbrytningen av matrisen

| 2 2 |
| 4 9 |

js flerradssträng

, om de diagonala elementen i U båda är 1, är den nedre diagonala posten l22 i L (GATE CS 2015) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

För lösning, se GATE | GATE-CS-2015 (uppsättning 1) | Fråga 65 .

Vanliga frågor om LU-nedbrytning

Vad är LU-nedbrytningsmetoden?

LU-nedbrytning, kort för Lower-Upper-sönderdelning, är en matrisfaktoriseringsteknik som används för att bryta ner en kvadratisk matris till produkten av en nedre triangulär matris (L) och en övre triangulär matris (U). Det används ofta för att förenkla att lösa system av linjära ekvationer och beräkna determinanter.

Varför är LU-nedbrytning unik?

LU-sönderdelning är unik eftersom den ger ett sätt att faktorisera en kvadratisk matris A till nedre och övre triangulära matriser (L och U) unikt, vilket möjliggör effektiv lösning av linjära system och determinantberäkning.

Hur beräknas LU-nedbrytning?

LU-sönderdelning beräknas med gaussisk eliminering, där du transformerar en kvadratisk matris A till nedre (L) och övre (U) triangulära matriser genom att utföra radoperationer samtidigt som du håller reda på förändringarna i separata matriser. Denna process är iterativ och fortsätter tills A är helt nedbruten. Metoden med alla steg för LU-nedbrytning ges i artikeln.

När LU-nedbrytning inte är möjlig?

LU-sönderdelning kanske inte är möjlig när matrisen A är singular (icke-inverterbar) eller när den kräver vridning för stabilitet, men pivotelementet blir noll, vilket orsakar division med noll under sönderdelningsprocessen.

Finns det några alternativ till LU-nedbrytning?

Ja, alternativ till LU-nedbrytning inkluderar Cholesky nedbrytning för symmetriska positiva bestämda matriser, QR-sönderdelning för allmänna matriser och egenvärdesbaserade metoder som spektraldekomponering och singularvärdesuppdelning (SVD) för olika matrisoperationer och tillämpningar.

Kan LU-nedbrytning tillämpas på icke-kvadratmatriser?

LU-sönderdelning tillämpas vanligtvis på kvadratiska matriser. För rektangulära matriser är QR-sönderdelning vanligare. Variationer som LUP-nedbrytning kan dock också hantera rektangulära matriser, där P är en permutationsmatris.