logo

TechCodeview

Rad Echelon Form

En matris är i Row Echelon-form om den har följande egenskaper:

  • Varje rad som helt består av nollor förekommer längst ner i matrisen.
  • För varje rad som inte innehåller helt nollor är den första posten som inte är noll 1 (kallas en inledande 1).
  • För två på varandra följande rader (ej noll) är den första 1:an i den högre raden längre till vänster än den ledande i den nedre raden.

För reducerad rad echelonform, innehåller den ledande 1:an av varje rad 0 under och över dess i den kolumnen.



Nedan är ett exempel på rad-echelon-form:

egin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 end{bmatrix}

java med swing

och reducerad rad-echelon form:



egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Vilken matris som helst kan omvandlas till reducerad rad echelonform, med hjälp av en teknik som kallas Gaussisk eliminering. Detta är särskilt användbart för att lösa system med linjära ekvationer.

Gaussisk eliminering

Gaussisk eliminering är ett sätt att omvandla en matris till den reducerade radens echelonform. Det kan också användas som ett sätt att hitta en lösning på en lösning på systemet med linjära ekvationer. Tanken bakom detta är att vi utför några matematiska operationer på raden och fortsätter tills endast en variabel är kvar.



Nedan följer några operationer som vi kan utföra:

i sträng i java
  • Byt två rader
  • Lägg till två rader tillsammans.
  • Multiplicera en rad med en konstant som inte är noll (dvs. 1/3, -1/5, 2).

Givet följande linjära ekvation:

x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

och den utökade matrisen ovan

mylivecriclet

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Nu måste vi konvertera detta till rad-echelon-formen. För att konvertera detta till rad-echelon-form måste vi utföra Gaussisk eliminering.

  • Först måste vi subtrahera 2*r1från r2och 4*r1från r3för att få 0:an i första hand av r2och r3.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

  • Därefter kommer vi att byta ut raderna, r2 och r3 och efter det subtrahera 5*r2från r3för att få den andra 0:an i den tredje raden.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

  • Nu kan vi härleda värdet Med från r3,dvs 10 z =0 ⇾ z=0. Med hjälp av värdet på z =0 kan vi sätta det till r2, y = 2. På samma sätt kan vi sätta värdet på y och z i r1och vi får värdet x=3

Rang av matris

Rangen på matrisen är antalet rader som inte är noll i radens echelonform. För att hitta rangen måste vi utföra följande steg:

  • Hitta rad-ekelonformen för den givna matrisen
  • Räkna antalet rader som inte är noll.

Låt oss ta en exempelmatris:

java-sträng till heltal

egin{bmatrix} 4 & 0 & 1 2 & 0 & 2 3 & 0 & 3 end{bmatrix}

Nu reducerar vi ovanstående matris till rad-echelon-form

egin{bmatrix} 1 & 0 & frac{1}{4} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Här innehåller endast två rader element som inte är noll. Därför är matrisens rangordning 2.

Genomförande

  • För att konvertera en matris till reducerad rad-echelon-form använde vi Sympy-paketet i python, först måste vi installera det.

python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Produktion: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>