Vinkelräta linjer i matematik är par av linjer som alltid skär varandra i räta vinklar, dvs vinkelräta linjer är alltid skärande linjer som skär varandra 90°. De vinkelräta linjerna är lätta att se av oss, hörnen på väggarna, hörnen på skrivbordet och andra representerar den parallella linjen. För vinkelräta linjer säger vi att de skär varandra i rät vinkel. Det kortaste avståndet mellan två linjer ges med hjälp av det vinkelräta avståndet mellan dem, d.v.s. den vinkelräta linjen mellan två punkter ger det kortaste avståndet mellan dem.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om vinkelräta linjer, deras egenskaper och andra i detalj.

Innehållsförteckning

• Vad är vinkelräta linjer?
• Egenskaper för vinkelräta linjer
• Lutningen av vinkelräta linjer
• Formel för vinkelräta linjer
• Hur man ritar vinkelräta linjer?
• Vinkellinjeekvation

Vad är vinkelrät?

Vinkelrät definieras som en linje som gör a rätt vinkel med en annan linje. Med andra ord betyder vinkelrät linje de linjer som bildar en vinkel på 90 grader. Det kortaste avståndet mellan punkten och linjen är den vinkelräta linjen mellan dem. En vinkelrät bildar 90 grader med den andra linjen. Linjen AB och PQ som visas i bilden nedan är vinkelräta mot varandra eftersom de skär varandra i 90 grader.

Linjen AB och CD som lagts till i bilden nedan visar två vinkelräta linjer.

Vad är vinkelräta linjer?

Vinkelräta linjer betyder de linjer som skär varandra i en vinkel lika med 90 grader, dvs om två linjer möts i rät vinkel kallas de vinkelräta linjer. Ta figuren som lagts till nedan här, linjen l och linjen m skär varandra i punkt O och vinkeln som de gör är 90 grader.

Således kan vi säga att l är en linje vinkelrät mot m linje eller linje m är vinkelrät mot linje l. Vi representerar detta tillstånd som, l ⊥ m. Nu är varje linje parallell med linje l vinkelrät mot linjen m. Det kortaste avståndet mellan punkten och linjen är alltid det vinkelräta avståndet mellan dem.

Notera: Inte alla skärande linjer är vinkelräta linjer men alla vinkelräta linjer är skärande linjer.

Vinkelrät tecken

Vinkelräta linjer representeras med symbolen '⊥'. Om linjerna l och m är vinkelräta mot varandra, dvs de skär varandra i 90 grader, kallas de vinkelräta linjer och de representeras som, l ⊥ m. Skärningspunkten kallas vinkelrät fot.

Vinkelräta former

Prependikulära former kan ses runt omkring oss i vårt dagliga liv. I vinkelräta former är de former där den åtminstone ena vinkeln är 90°. Olika former som har vinkelräta linjer (vinkelräta former) är,

• Fyrkant
• Rektangel
• Rättvinklad triangel

Egenskaper för vinkelräta linjer

Varje två skärande linjer som skär i en vinkel på 90 grader kallas vinkelräta linjer. Vinkelräta linjer har andra egenskaper än de skärande linjerna och de allmänna egenskaperna för de skärande linjerna är,

• Vinkelräta linjer är de linjer som alltid skär varandra i rät vinkel.
• Om två linjer är vinkelräta mot samma linje, är dessa två linjer alltid parallella med varandra.

Lutningen av vinkelräta linjer

Lutningen för vilken linje som helst är tan av vinkeln som bildas av linjen med den positiva x-axeln och lutningen i fallet med de vinkelräta linjerna har en speciell relation mellan dem.

Antag att vi har två linjer PQ och RS som är vinkelräta mot varandra. Nu är lutningen på linje PQ säg m₁och lutningen på linjen RS är säg m₂, då är produkten av lutningarna lika med -1. Uttalandet för detsamma är,

Påstående: Två linjer är vinkelräta mot varandra om produkten av deras lutning är -1.

Detta kan representeras som,

m ₁ .m ₂ = -1

Formel för vinkelräta linjer

De två grundläggande formlerna för vinkelräta linjer diskuteras nedan,

Påstående 1: Produkten av lutningen av en vinkelrät linje med lutningen av den ursprungliga linjen är alltid -1 .

Bevis:

Låter den ursprungliga linjen göra en vinkel av θ med X-axeln.

Då kommer linjen vinkelrät mot linjen att göra en vinkel på θ + 90° eller θ – 90° med X-axeln.

Nu är den ursprungliga linjens lutning lika med tan θ

stänga av utvecklarläget

Lutningen på den vinkelräta linjen är lika med antingen tan (θ + 90^O) eller brun (θ – 90^O)

brun (θ + 90 ^O ) = brun (θ – 90 ^O ) = -säng i

Således är lutningen för den vinkelräta linjen -cot θ

Nu,

Produkt av sluttningar = tan θ × (-cot θ) = -1

Därav bevisat

Påstående 2: Om ekvationen för en linje är ax + by + c = 0

Då är ekvationen för en linje vinkelrät mot den givna linjen,

– bx + ay + d = 0

var, c och d är några konstanta värden

Bevis:

Linjeekvationen är ax + by + c = 0

Linjens lutning är -a/b

Låt den vinkelräta linjens lutning vara m

Vi vet att produkten av lutningen av två vinkelräta linjer är -1

m × (-a/b) = – 1

m = b/a

Om nu den vinkelräta linjen går genom en punkt (x₁, och₁), då är ekvationen för den vinkelräta linjen,

(och och₁) / (x – x₁) = b/a

och och₁= (b/a) × (x – x₁)

är – är₁= bx – bx₁

– bx + är + (bx₁- är₁) = 0 {låt bx₁- är₁= d}

Följaktligen är den nödvändiga ekvationen för linjen,

– bx + ay + d = 0

Hur man ritar vinkelräta linjer?

Vi kan enkelt konstruera paret av den vinkelräta linjen, genom att använda gradskivan och kompassen.

Rita vinkelräta linjer med gradskiva

För att rita ett par vinkelräta linjer följ stegen som diskuteras nedan,

Steg 1: Rita först en horisontell linje AB på pappret med hjälp av en linjal.

Steg 2: Markera valfri punkt P på linjen AB från vilken vi måste dra den vinkelräta linjen.

Steg 3: Placera skyddet på linjen och matcha skyddets mittpunkt med punkt P på linjen.

Steg 4: Markera 90-gradersvinkeln med skyddet.

Steg 5: Förena linjen med en linjal med 90 graders vinkel för att få ett par vinkelräta linjer.

Rita vinkelrät linje med kompass

Följande är stegen för att göra vinkelräta linjer med en kompass

Steg 1: Rita en linje på pappret med hjälp av en linjal

Steg 2: Ta en punkt på linjen och placera kompassens nål på den.

Steg 3: Rita en båge (en halvcirkel) på ena sidan av linjen.

Steg 4: Utan att ändra kompassens radie, placera nu nålen på ena änden av halvcirkelns diameter.

Steg 5: Treskär den halvcirkelformade bågen genom att skära den två gånger. Det första skäret markerar 60° och det andra skäret markerar 120°

Steg 6: Det är en skillnad på 60° mellan första och andra snittet. Dela detta gap med hjälp av kompassen utan att ändra dess radie.

Steg 7: Förena nu halveringspunkten av 60 och 120 med den punkt som ursprungligen antogs rita den halvcirkelformade bågen.

Steg 8: Den så ritade linjen är vinkelrät mot den initiala linjen.

Exempel på vinkelräta linjer

Vinkelräta linjer är de linjer som alltid möter varandra i 90 grader. Vi ser olika exempel på parallella linjer i verkligheten, några av dem är,

• Rummens hörn är vinkelräta mot varandra.
• Klockans visare representerar vinkelräta linjer vid klockan 3′.
• Bordets och skrivbordets hörn representerar de vinkelräta linjerna.

Vinkelräta och parallella linjer

Vinkelräta linjer är de linjer som bildar en vinkel på 90° med varandra där parallella linjer är de linjer som är parallella med varandra, det vill säga att de är lika långt från varandra och aldrig skär varandra.

Notera: Parallel Lines möts på Infinity .

Lutningen av parallella och vinkelräta linjer

Lutningen av parallella linjer är lika medan produkten av lutningen av vinkelräta linjer är -1.

Ekvationer av parallella och vinkelräta linjer

Om två linjer är parallella är deras linjeekvation,

• ax + by + c = 0 och ax + by + d = 0

Medan ekvationen för två vinkelräta är,

• ax + by + c = 0, och -bx + ax + d = 0

Vad är parallella linjer?

Parallella linjer i geometri definieras som de linjer som inte möter varandra i 2-D-planet, dvs de skär aldrig varandra i 2-D-planet. Avståndet mellan de två parallella linjerna är alltid konstant. Bilden nedan visar två par parallella linjer.

Linjerna a, b och x och y är parallella med varandra.

Skillnaden mellan parallella linjer och vinkelräta linjer

Parallella linjer kontra vinkelräta linjer diskuteras i tabellen nedan.

Vinkellinjeekvation

Standarden ekvation för en linje är ax + by + c = 0 och linjen vinkelrät mot den givna linjen ges med,

-bx + ay + d = 0

var, d är det konstanta värdet och dess värde hittas genom att använda det andra angivna villkoret.

Vinkelrät linjelutning

Antag att vi får en linje vars ekvation är av formen y = mx + c och dess lutning är m, då är linjens lutning vinkelrät mot den givna linjen,

Lutningen av den vinkelräta linjen = -1/m

Om nu lutningen på två linjer är m₁och M₂då är förhållandet mellan dessa två backar, m ₁ m ₂ = -1

Läs mer,

• Parallella linjer
• Tvärgående linjer
• Egenskaper för parallella linjer

Exempel på vinkelräta linjer

Exempel 1: Är linjerna 3x + 2y + 5 = 0 och 2x – 3y + 8 = 0 vinkelräta?

Lösning:

Lutningen på linjen axe + by + c = 0 är -a/b

• Linjens lutning 3x + 2y + 5 = 0 är m₁= – 3/2.
• Linjens lutning 2x – 3y + 8 = 0 är m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

Vi vet att linjer är vinkelräta om deras sluttningar har tillståndet.

m₁× m₂= -1

Nu från ovanstående villkor,

= (- 3 / 2) × (2 / 3)

= -1

Produkten av sluttningarna är -1 och därför är linjerna vinkelräta.

Exempel 2: Hitta linjen vinkelrät mot linjen x + 2y + 5 = 0 och passera genom punkten (2, 5).

Lösning:

Vi vet att ekvationen för en linje vinkelrät mot linjen ax + by + c = 0 är – bx + ay + d = 0.

Den givna linjens ekvation är x + 2y + 5 = 0

När vi jämför linjen x + 2y + 5 = 0 med ax + by + c = 0 får vi,

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Således är ekvationen för varje linje vinkelrät mot denna linje – 2x + y + d = 0...(i)

Givet går denna linje genom (2, 5),

Således sätta (2, 5) i denna ekvation av den vinkelräta linjen

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Genom att ersätta värdet av d i ekv(i) får vi

-2x + y + (-1) = 0

Således är ekvationen för den vinkelräta linjen -2x + y – 1 = 0

Exempel 3: Hitta lutningen på linjen vinkelrätt mot linjen 3x + 9y + 7 = 0.

Lösning:

Given,

Linjens ekvation är 3x + 9y + 7 = 0

Lutningen på denna linje = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Låt lutning av ine vinkelrätt mot ovanstående linje är m

Använd nu formeln med vinkelrät linje

m × (- 1 / 3) = – 1

⇒ m = 3

Således är linjens lutning vinkelrät mot den givna linjen 3.

Exempel 4: Hitta vinkeln för en linje vinkelrät mot linjen x + y + 3 = 0.

Lösning:

Given linje,

x + y + 3 = 0

Lutningen för given linje = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Lets, lutningen på linjen vinkelrät mot linjen ovan är m

Från formeln för vinkelrät linje,

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

Linjens vinkel vinkelrät mot den givna linjen är θ, alltså

m = tan θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = tan^-1(1) = 45°

Därför är vinkeln som görs av vinkelrät linje med X-axeln 45°.

vinkelräta övningsproblem

Q1. Hitta vinkeln på en linje vinkelrät mot linjen 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Om en linje går genom punkterna (11, –4) och (–1, 8) och en annan linje går genom punkterna (8, 3) och (–1, -3). Kontrollera om dessa linjer är parallella eller vinkelräta.

Q3. Hitta ekvationen för linjen som är vinkelrät mot 5x − 7y = 5 och som går genom punkten (-1, 8).

Q4. Hitta ekvationen för linje som går genom (2, 3) och vinkelrät mot x-axeln.

Vinkelräta linjer – Vanliga frågor

Vilka är de vinkelräta linjerna?

Om två skärande linjer skär varandra i räta vinklar, dvs i 90 grader, kallas dessa två linjer vinkelräta linjer.

Vad är parallella och vinkelräta linjer?

Parallella linjer är de linjer som inte möter varandra i 2-D-planet. Avståndet mellan två parallella linjer är alltid konstant. Om två linjer möter varandra i 90 grader kallas dessa linjer vinkelräta linjer.

Är korsande linjer alltid vinkelräta?

Nej, alla skärande linjer är inte alltid vinkelräta, de kan vara vinkelräta eller inte. De skärande linjerna kan mötas i olika vinklar.

Vad är villkoret för lutning av vinkelräta linjer?

Antag att lutningen på två linjer är m₁och M₂då är tillståndet för sluttningarna av två vinkelräta linjer, m ₁ .m ₂ = -1

Hur många vinkelräta linjer kan dras till en linje?

Vi kan rita hur många vinkelräta linjer som helst till en linje, dvs vi kan ha oändliga vinkelräta linjer till vilken linje som helst.

När är två linjer vinkelräta?

Två linjer är vinkelräta om de skär 90°, det vill säga vinkelräta linjer skär alltid i rät vinkel.

Vad är en vinkelrät triangel?

En triangel som har en vinkel lika med 90° kallas den vinkelräta triangeln. Den kallas också för den rätvinkliga triangeln.

Vilka är några vinkelräta former?

Vissa former som kallas vinkelräta former är de former som har minst en vinkelrät i sig. Olika exempel på de vinkelräta formerna är kvadrat, rektangel, rätvinklig triangel

Vad är vinkelräta vinklar?

Vinklarna som är lika med 90° kallas vinkelräta vinklar. Det andra namnet på de vinkelräta vinklarna är räta vinklar.

Vad är den vinkelräta symbolen?

Symbolen eller tecknet som representerar vinkelrät är, ⟂. Vi använder denna symbol för att visa om två linjer är vinkelräta. Till exempel, om det skrivs A⟂B, där A och B är två linjer, så är linje A vinkelrät mot linje B och vice versa.

Hur identifierar du vilka linjer som är vinkelräta?

Om vinkeln mellan två linjer är 90°. Då kan vi säga att dessa två linjer är vinkelräta. Om lutningen för de två linjerna anges som, m₁, m₂sedan använder vi den vinkelräta linjeformeln för att ta reda på om de är vinkelräta eller inte. Formeln för den vinkelräta linjen är m₁.m₂= -1

Hur hittar man lutningen på de vinkelräta linjerna?

Lutningen på de vinkelräta linjerna kan enkelt beräknas med hjälp av lutningsformeln. Anta att vi får en linje, då konverterar vi den först i standardformen och använder sedan lutningsformeln för att hitta lutningen. Lutningsformeln är, m = -b/a, där a är koefficienten för x och b är koefficienten för y.