Rang av en matris definieras som dimensionen av vektorrummet som bildas av dess kolumner. Rang av en matris är ett mycket viktigt begrepp inom linjär algebra, eftersom det hjälper oss att veta om vi kan hitta en lösning på ekvationssystemet eller inte. Rangen för en matris hjälper oss också att veta dimensionaliteten hos dess vektorrum.

Den här artikeln undersöker begreppet rang av en matris i detalj inklusive dess definition, hur man beräknar rangen för matrisen samt en ogiltighet och dess relation med rang. Vi kommer också att lära oss hur man löser några problem baserat på rangordningen av en matris. Så låt oss börja med definitionen av matrisens rangordning först.

Innehållsförteckning

• Vad är Rank of Matrix?
• Hur man beräknar rangen för en matris?
• Egenskaper för Rank of Matrix
• Exempel på rangordning av en matris
• Vanliga frågor

Vad är Rank of Matrix?

Rang av en matris är ett grundläggande koncept i linjär algebra, som mäter det maximala antalet linjärt oberoende rader eller kolumner i någon matris. Med andra ord, det talar om för dig hur många av raderna eller kolumnerna i en matris som inte är användbara och bidrar till matrisens övergripande information eller dimensionalitet. Låt oss definiera rangordningen för en matris.

Rang för en matrisdefinition

Rang av en matris definieras som antalet linjärt oberoende rader i en matris .

industri och fabrik

Det betecknas med ρ(A) där A är vilken matris som helst. Således är antalet rader i en matris en gräns för matrisens rangordning, vilket innebär att matrisens rangordning inte kan överstiga det totala antalet rader i en matris.

Till exempel, om en matris är av storleksordningen 3×3 kan den maximala rangordningen för en matris vara 3.

Notera: Om en matris har alla rader med nollelement, sägs rangordningen för en matris vara noll.

Nullitet av matris

I en given matris kallas antalet vektorer i nollutrymmet för matrisens nullitet eller det kan också definieras som dimensionen av nollutrymmet för den givna matrisen.

Totalt antal kolumner i en matris = Rank + Nullitet

Läs mer om Nullitetsteorem för rangordning .

Hur man beräknar rangen för en matris?

Det finns 3 metoder som kan användas för att få rankningen av en given matris. Dessa metoder är följande:

• Mindre metod
• Använder Echelon Form
• Använder normal form

Låt oss diskutera dessa metoder i detalj.

Mindre metod

Nödvändig förutsättning: Minderåriga i Matrix

För att hitta rangordningen för en matris med hjälp av mindre metod, följs följande steg:

• Beräkna matrisens determinant (säg A). Om det(A) ≠ 0, då rangordningen för matris A = ordningen för matris A.
• Om det(A) = 0, är ​​matrisens rangordning lika med ordningen av den maximalt möjliga icke-noll-moll i matrisen.

Låt oss förstå hur man hittar rangordningen för matris med hjälp av mindre metod.

Exempel: Hitta rangordningen för matris egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} med mindre metod.

GivenA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Steg 1: Beräkna determinanten för A

det(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

det(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Eftersom det(A) ≠ 0, ρ(A) = storleksordningen A = 3

Använder Echelon Form

Den mindre metoden blir mycket tråkig om matrisens ordning är mycket stor. Så i det här fallet konverterar vi matrisen till Echelon Form. En matris som finns i övre triangulär form eller nedre triangulär form anses vara i Echelon-form. En matris kan konverteras till dess Echelon-form genom att använda elementära radoperationer . Följande steg följs för att beräkna rangordningen för en matris med Echelon-formuläret:

• Konvertera den givna matrisen till dess Echelon-form.
• Antalet rader som inte är noll erhållna i Echelon-formen av matrisen är matrisens rangordning.

Låt oss förstå hur man hittar rangordningen för matris med hjälp av mindre metod.

Exempel: Hitta rangordningen för matris egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} med Echelon-formmetoden.

GivenA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Steg 1: Konvertera A till echelonform

Applicera R₂= R₂– 4R₁

Applicera R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Applicera R₃= R₃– 2R₂

jämförbar java

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Eftersom matris A nu är i lägre triangulär form, är den i Echelon-form.

• Steg 2: Antal rader som inte är noll i A = 2. Således ρ(A) = 2

Använder normal form

En matris sägs vara i normal form om den kan reduceras till formen egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Här jag_rrepresenterar identitetsmatrisen av ordning r. Om en matris kan omvandlas till sin normala form, sägs rankningen av matrisen vara r.

Låt oss förstå hur man hittar rangordningen för matris med hjälp av mindre metod.

Exempel: Hitta rangordningen för matris old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} med hjälp av normalformmetoden.

GivenA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Applicera R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁och R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Applicera R₁= R₁– 2R₂och R₄= R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Applicera R₁= R₁+ R₃och R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Applicera C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Således kan A skrivas som egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Således är ρ(A) = 3

Egenskaper för Rank of Matrix

Egenskaper för rang av matris är som följer:

• Rangen för en matris är lika med ordningen på matrisen om den är en icke-singular matris.
• Rangen för en matris är lika med antalet rader som inte är noll om den är i Echelon-form.
• Rang av matris är lika med ordningen för identitetsmatris i den om den är i normal form.
• Rang av matris
• Rang av matris
• Identitetsmatrisens rangordning är lika med identitetsmatrisens ordning.
• Rangen för en nollmatris eller en nollmatris är noll.

Läs mer,

• Typer av matriser
• Transponera en matris
• Invers av matris

Exempel på rangordning av en matris

OCH exempel 1: Hitta matrisens rangordning old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} med mindre metod.

Lösning:

GivenA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Steg 1: Beräkna determinanten för A

det(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

det(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Eftersom det(A) ≠ 0, ρ(A) = storleksordningen A = 3

Exempel 2. Hitta rangordningen för matris old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} med mindre metod.

Lösning:

GivenA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Steg 1: Beräkna determinanten för A

det(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

det(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Eftersom det(A) ≠ 0, ρ(A) = storleksordningen A = 3

Exempel 3. Hitta rangordningen för matris old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} med Echelon-formmetoden.

sträng till int java

Lösning:

GivenA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Steg 1: Konvertera A till echelonform

Applicera R₂= R₂– 4R₁

Applicera R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Applicera R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Eftersom matris A nu är i lägre triangulär form, är den i Echelon-form.

Steg 2: Antal rader som inte är noll i A = 2. Således ρ(A) = 2

Exempel 4. Hitta rangordningen för matris old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} med Echelon-formmetoden.

Lösning:

GivenA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Steg 1: Konvertera A till echelonform

Applicera R₂= R₂– 4R₁

Applicera R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Applicera R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Eftersom matris A nu är i lägre triangulär form, är den i Echelon-form.

Steg 2: Antal rader som inte är noll i A = 2. Således ρ(A) = 2

Exempel 5. Hitta rangordningen för matris old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} med hjälp av normalformmetoden.

Lösning:

GivenA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Applicera R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁och R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Applicera R₁= R₁– 2R₂och R4 = R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Applicera R₁= R₁+ R₃och R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Applicera C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Applicera R₁= R₁/2, R₂= R₂/2, R₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Således kan A skrivas somegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Således är ρ(A) = 3

Rank of a Matrix – Vanliga frågor

Definiera rang för en matris.

Rang av en matris definieras som antalet linjärt oberoende rader i en matris. Det betecknas med ρ(A) där A är vilken matris som helst.

Hur hittar man rangordningen för en matris?

Rang av matris kan beräknas med olika metoder såsom:

• Mindre metod
• Använder Echelon Form
• Använder normal form

Vad är rankningen av matris om determinant av matris inte är lika med noll?

Om determinanten för en matris är noll, är matrisens rangordning lika med matrisens ordning.

När sägs en Matrix vara i Echelon-form?

En matris som är i övre triangulär form eller i nedre triangulär form sägs vara i echelonform.

Vad är normal form av matrisen?

En matris sägs vara i normal form om den kan skrivas som egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} där jag_rär identitetsmatrisen för ordningen 'r'.

Vad är rankningen av nollmatris?

Rangen för en nollmatris är noll.

Vad är rankningen av en identitetsmatris?

Rangen för en identitetsmatris är lika med matrisens ordning.

isletter java

Vad är förhållandet mellan nullitet och rang för en matris?

Förhållandet mellan ogiltighet och rang av en matris är:

Totalt antal kolumner i en matris = Rank + Nullitet