Kubikekvation är en matematisk ekvation där ett polynom av grad 3 är likställt med en konstant eller ett annat polynom med maximal grad 2. Standardrepresentationen av kubikekvationen är yxa ³ +bx ² +cx+d = 0 där a, b, c och d är reella tal. Några exempel på kubikekvationer är x ³ – 4x ² + 15x – 9 = 0, 2x ³ – 4x ² = 0 etc.

Innehållsförteckning

• Polynomdefinition
• Ekvationsgrad
• Definition av kubisk ekvation
• Hur löser man kubikekvationer?
• Lösa kubikekvationer
• Lösa kubikekvation med hjälp av faktorer
• Lösa kubiska ekvationer med hjälp av grafisk metod
• Problem baserade på att lösa kubikekvationer
• Öva problem på att lösa kubikekvationer

För att lära oss hur man löser kubikekvationer måste vi först lära oss om polynom, graden av polynom och andra. I den här artikeln kommer vi att lära oss om polynom, polynomekvationer, lösa kubiska ekvationer eller hur man löser kubiska ekvationer och andra i detalj.

Polynomdefinition

Polynom definieras enligt följande,

A polynom är ett algebraiskt uttryck där styrkan av en variabel är ett icke-negativt heltal. Den allmänna formen av ett polynom är a₀xⁿ+ a₁x^n-1+ a₂x^n-2+... + a_n. Beroende på variabelns maximala styrka kan ett polynom klassificeras som ett monomial, binomial, trinomial, och så vidare.

Vad är en ekvation?

En ekvation definieras enligt följande,

En ekvation är ett polynom som är likställt med ett numeriskt värde eller något annat polynom. Till exempel är x + 2 ett polynom men x + 2 = 5 är en ekvation. På samma sätt är 2x + 3 = x + 1 också en ekvation, medan 2x + 3 och x + 1 är polynom individuellt.

Ekvationsgrad

Definitionen av ekvationsgraden anges nedan:

Grad av en ekvation definieras som den maximala effekt som variabeln har i en ekvation.

Baserat på graden av ekvationen kan en ekvation klassificeras enligt följande:

• Linjär ekvation
• Andragradsekvation
• Kubikekvation
• Biquadratisk ekvation

Linjär ekvation

Ekvationen där variabelns maximala effekt är 1 kallas en linjär ekvation.

• Till exempel 3x +1 = 0

Kvadratisk polynom

Ekvationen där variabelns maximala effekt är 2 är en kvadratisk ekvation.

• Till exempel 3x²+x+1 = 0

Kubikekvation

Ekvationen där variabelns maximala effekt är 3 kallas en kubikekvation.

• Till exempel 5x³+3x²+x+1 = 0

Biquadratisk polynom

Ekvationen där variabelns maximala effekt är 4 kallas ett biquadratiskt polynom eller ett kvartspolynom.

• Till exempel 5x⁴+4x³+3x²+2x+1 = 0

Definition av kubisk ekvation

Kubikekvation är en algebraisk ekvation där den högsta graden av polynomet är 3. Några exempel på kubiska ekvationer är 5x³+3x²+x+1 = 0, 2x³+8 = x ⇒ 2x³-x+8 = 0, etc.

Den allmänna formen av en kubikekvation är,

yxa ³ + bx ² + cx + d = 0, a ≠ 0

Var,

• a, b, och c är koefficienterna för variabla och deras exponenater och d är konstanten och
• a, b, c och d är reella tal.

Hur löser man kubikekvationer?

En kubikekvation är en ekvation med grad tre. Det har tre lösningar och det kan enkelt lösas genom att följa stegen som läggs till nedan,

Steg 1: Hitta en lösning på kubikekvationen med hjälp av hit and try-metoden. Anta att vi har en kubikekvation P(x) och hitta sedan för valfritt x = a, P(a) = 0 genom att ta, x = 0, ±1, ±2, ±3, … och så.

Steg 2: När vi får P(a) = 0, hitta faktorn (x – a) för P(x)

Steg 3: Dividera P(x) med (x – a) för att få en andragradsekvation säg Q(x) med polynomdivision.

Steg 4: Faktarisera andragradsekvationen Q(x) för att få faktorerna som (x – b) och (x – c).

Steg 5: (x – a), (x – b) och (x – c) är faktorerna för P(x) och när vi löser varje faktor får vi rötterna till ekvationen som, a, b och c.

Lära sig mer om, Delande polynom

Lösa kubikekvationer

A Kubikekvation kan lösas med två metoder

• Genom att reducera den till en andragradsekvation och sedan lösa den antingen genom faktorisering eller andragradsformeln
• Med grafisk metod

A Kubikekvation har tre rötter. Dessa rötter kan vara verkliga eller imaginära. Det kan också finnas distinkta rötter eller två samma och en olika rot och alla tre samma rötter.

Punkt att notera att för alla ekvationer, inklusive Kubikekvationer , måste ekvationen alltid ordnas i sin standardform först innan man löser ekvationen.

Till exempel, om den givna ekvationen är 2x²-5 = x + 4/x, då måste vi ordna om detta till dess standardform, d.v.s. 2x³-x²-5x-4 = 0. Nu kan vi lösa ekvationen med valfri metod.

Lösa kubikekvation med hjälp av faktorer

Lösningen av kubikekvationen med faktorsatsen förklaras med exemplet som lagts till nedan,

Exempel: Hitta rötterna till ekvationen f(x) = 3x ³ -16x ² + 23x − 6 = 0.

Lösning:

Givet uttryck: f(x) = 3x³-16x²+ 23x − 6 = 0

Faktorisera först polynomet för att få rötter

Eftersom konstanten är -6 är de möjliga faktorerna 1, 2, 3, 6

f(1) = 3 – 16 + 23 – 6 ≠ 0

f(2) = 24 – 64 + 46 – 6 = 0

f(3) = 81 – 144 + 69 – 6 = 0

f(6) = 648 – 576 + 138 – 6 ≠ 0

Det vet vi, enligt Faktorsats om f(a) = 0, så är (x-a) en faktor av f(x)

Så, (x – 2) och (x – 3) är faktorer för f(x). Därför kommer produkten av (x – 2) och (x – 3) också att vara faktorn av f(x). För att hitta de återstående faktorerna använd den långa divisionsmetoden och dividera f(x) med produkten av (x – 2) och (x – 3)

Därför är Divisor = (x – 2)(x – 3) = (x²– 5x + 6) och utdelning = 3x³-16x²+ 23x − 6. Dela nu som visas nedan,

Efter division får vi (3x- 1) som kvot och resten är 0. Nu enligt Division Algoritm vi vet det Utdelning = Divisor×Quotient+Remainder.

json från java-objekt

⇒ f(x) = (3x³-16x²+ 23x − 6) = (x²– 5x + 6)(3x-1)

Eftersom f(x) = 0

⇒ (x²– 5x + 6)(3x-1) = 0

⇒ x²– 5x + 6 = 0 eller 3x-1 = 0

Nu tar vi 3x-1 = 0 ⇒ x = 1/3 eftersom vi redan känner två rötter från x²– 5x + 6 som är 2 och 3

Så,

Rötterna till det givna Kubikekvation är 1/3, 2 och 3.

Lösa kubiska ekvationer med hjälp av grafisk metod

En kubikekvation löses grafiskt när du inte kan lösa den givna ekvationen med andra tekniker. Så vi behöver en exakt ritning av den givna kubikekvationen. Ekvationens rötter är punkten/punkterna där grafen korsar X-axeln om ekvationen är i termerna av x och om ekvationen är i termerna av y så är ekvationens rötter de punkter där grafen skär Y-axeln.

Antalet reella lösningar till kubikekvationen är lika med antalet gånger kubikekvationens graf korsar X-axeln.

Exempel: Hitta rötterna till ekvationen f(x) = x ³ - 4x ² − 9x + 36 = 0, med den grafiska metoden.

Lösning:

Givet uttryck: f(x) = x³- 4x²− 9x + 36 = 0.

Ersätt nu helt enkelt slumpmässiga värden för x i grafen för den givna funktionen:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
f(x)	-56	0	19	40	36	24	10	0	0	16

Vi kan se att grafen har klippt X-axeln vid 3 punkter, därför finns det 3 verkliga lösningar.

Från grafen är lösningarna: x = -3, x = 3 och x = 4.

Därför är rötterna till den givna ekvationen -3, 3 och 4.

Läs mer,

• Linjär ekvation
• Lösa kvadratisk ekvation
• Faktoreringspolynom

Problem baserade på att lösa kubikekvationer

Uppgift 1: Hitta rötterna till f(x) = x ³ – 4x ² -3x + 6 = 0.

Lösning:

Givet uttryck: f(x) = x³– 4x²-3x + 6 = 0.

Faktorisera först polynomet för att få rötter.

Eftersom konstanten är +6 är de möjliga faktorerna 1, 2, 3, 6.

f(1) = 1 – 4 – 3 + 6 = 7 – 7 = 0

f(2) = 8 – 16 – 6 + 6 ≠ 0

f(3) = 27 – 36 – 9 + 6 ≠ 0

f(6) = 216 – 144 -18 + 6 = -48 ≠ 0

Så enligt Faktorsats (x – 1) är en faktor i den givna ekvationen. För att nu hitta de återstående faktorerna använd den långa divisionsmetoden.

Enligt Division Algoritm vi kan skriva,

Så, f(x) = x³– 4x²-3x + 6 = (x – 1) (x²– 3x – 6) = 0

⇒ (x – 1) = 0 eller (x²– 3x – 6) = 0

Vi vet att rötterna till en andragradsekvation ax²+ bx + c = 0 är,

x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Därför, för (x²– 3x – 6) = 0

x = [3 ± √(3²– 4(1)(-6)]/2(1)

x = (3 ± √33)/2

Därför är rötterna till den givna kubikekvationen 1, (3+√33)/2 och (3–√33)/2.

Uppgift 2: Hitta rötterna till ekvationen f(x) = 4x ³ – 10x ² + 4x = 0.

Lösning:

Givet uttryck: f(x) = 4x³– 10x²+ 4x = 0

⇒ x (4x²– 10x + 4) = 0

⇒ x (4x²– 8x – 2x + 4) = 0

⇒ x(4x(x – 2) – 2(x – 2)) = 0

⇒ x (4x – 2) (x – 2) = 0

⇒ x = 0 eller 4x – 2 = 0, x – 2 = 0

⇒ x = 0 eller x = 1/2 eller x = 2

Därför är rötterna till den givna ekvationen 0, 1/2 och 2.

Uppgift 3: Hitta rötterna till ekvationen f(x) = x ³ + 3x ² + x + 3 = 0.

Lösning:

Givet uttryck: f(x) = x³+ 3x²+ x + 3 = 0.

⇒ x²(x + 3) + 1(x + 3) = 0

⇒ (x + 3) (x²+1) = 0

⇒ x + 3 = 0 eller x²+1 = 0

⇒ x = -3, ±i

Så den givna ekvationen har en reell rot, d.v.s. -3, och två imaginära rötter, d.v.s. ±i.

Uppgift 4: Hitta rötterna till ekvationen f(x) = x ³ – 7x ² – x + 7 = 0.

Lösning:

Givet uttryck,

f(x) = x³– 3x²– 5x + 7 = 0

Faktorisera först ekvationen, f(x): x³– 3x²– 5x + 7= 0

Det kan faktoriseras till (x-7)(x+1)(x-1) = 0

alfa beta beskärning exempel

Efter att ha faktoriserat polynomet kan vi hitta rötterna genom att likställa varje faktor med noll. Till exempel:

• x – 7 = 0, alltså x = 7
• x + 1 = 0, så x = -1
• x – 1 = 0, alltså x = 1

Så rötterna till ekvationen f(x): x³– 3x²– 5x + 7 = 0 är

• x = 7
• x = -1
• x = 1

Uppgift 5: Hitta rötterna till ekvationen f(x) = x ³ − 6x ² + 11x − 6 = 0, med den grafiska metoden.

Lösning:

Givet uttryck: f(x) = x³− 6x²+ 11x − 6 = 0.

Ersätt nu helt enkelt slumpmässiga värden för x i grafen för den givna funktionen:

x	1	2	3	4	5
f(x)	0	0	0	6	24

Vi kan se att grafen har klippt X-axeln vid 3 punkter, därför finns det 3 verkliga lösningar.

Från grafen är lösningarna: x = 1, x = 2 och x = 3.

Därför är rötterna till den givna ekvationen 1, 2 och 3.

Öva problem på att lösa kubikekvationer

Olika övningsproblem relaterade till kubikekvationer läggs till nedan. Lös dessa problem för att till fullo förstå konceptet Hur man löser kubikekvationen?

P1. Lös kubikekvationen, 3x³+ 2x²– 11x + 7 = 0.

P2. Hitta rötterna till kubikekvationen, 4x³– 12x²+ 17 = 0.

P3. Lös kubikekvationen, x³+ 4x²– x + 3 = 0 med grafisk metod.

P4. Hitta talet som uppfyller, -9x³+ 11x²– 8x + 2 = 0.

Vanliga frågor om att lösa kubikekvationer

1. Vad är kubikekvationer?

Kubiska ekvationer är de algebraiska ekvationerna där den maximala effekten för en variabel är 3

2. Hur faktoriserar du en kubikekvation?

Vi kan faktorisera en kubikekvation på två sätt. Först genom att ta ett linjärt uttryck gemensamt från den givna kubikekvationen, så får vi ett linjärt och ett kvadratiskt uttryck som en produkt. Denna andragradsekvation kan faktoriseras ytterligare för att få alla faktorer. Den andra metoden är att hitta en nolla av den givna kubikekvationen genom att sätta slumpmässiga värden. Värdet för vilket vi får värdet på ekvationen att vara noll kommer att vara en av nollorna i den givna kubikekvationen. Använd nu faktorsatsen för att bilda ett linjärt uttryck, låt oss säga x-a och dividera den givna kubikekvationen med detta uttryck som ger en andragradsekvation som kvot. Denna erhållna andragradsekvation kan faktoriseras ytterligare för att få alla faktorer.

3. Hur löser man en kubikekvation grafiskt?

För att lösa en kubikekvation grafiskt sätta slumpmässiga värden för x i den givna kubikekvationen och lösa, får du värdena på y. Rita dessa erhållna värden på grafen. Hitta koordinaterna där grafen skär x-axeln. Dessa koordinater är lösningen av kubikekvationen.

4. Kan alla kubikekvationer lösas exakt?

Varje ekvation som har udda styrka måste ha en riktig rot. Därför måste en kubikekvation ha minst en reell rot, till skillnad från en andragradsekvation där båda rötterna kan vara imaginära när diskriminanten är mindre än noll.

5. Kan en kubikekvation ha flera lösningar?

Ja, kubikekvationer kan ha flera lösningar eftersom en kubikekvation kan ha upp till tre distinkta verkliga rötter.

6. Vad menar du med graden av en ekvation?

Den maximala kraften som variabeln har i en ekvation kallas graden av ett polynom.

7. Vad är skillnaden mellan ett polynom och en ekvation?

Polynom är helt enkelt en algebraisk ekvation där variabelns potens är ett icke-negativt heltal. Detta polynom när det likställs (=) med ett numeriskt värde eller ett annat polynom kallas det en ekvation.

8. Vad är faktorsatsen för kubiska ekvationer?

Faktorsatsen säger att om r är en rot (lösning) av den kubiska ekvationen ax³+ bx²+ cx + d = 0, då är x – r en faktor i ekvationen.

9. Vad händer om jag inte kan hitta exakta lösningar med formler?

Om det verkar omöjligt att hitta exakta lösningar kan vi använda numeriska metoder som iterativa metoder (t.ex. Newtons metod) för att approximera rötterna till ekvationen.

Lära sig mer om Newton Raphsons metod .