Delmängder i matematik är ett kärnbegrepp i studiet av mängdteori, liknande mängder. En grupp av element, objekt eller medlemmar inneslutna i klammerparenteser, som {x, y, z} kallas en Uppsättning , där varje medlem i setet är unik. Så för en uppsättning av {x, y, z} är de möjliga delmängderna {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} eller { x, y, z}. När du definierar en uppsättning kan dess element vara reella tal, konstanter, variabler eller andra objekt också.

Den här artikeln utforskar begreppet delmängder i detalj och gör det lätt att förstå för alla läsare av artikeln utan hänsyn till deras akademiska nivå. Alla underämnen som deras betydelse, definition, symbol, exempel och många många fler, täcks i artikeln med massor av exempel. Så låt oss börja vår resa till mängdlärans land och förstå detta koncept med delmängder.

I den här artikeln har vi tillhandahållit detaljerad information om vad är delmängder i matematik, supermängder i matematik, korrekt delmängder och olämpliga delmängder med exempel och vanliga frågor.

Innehållsförteckning

• Vad är delmängder i matematik?
• Exempel på delmängder
• Power Set av ett set
• Typer av delmängder
• Korrekt delmängd
• Felaktig delmängd
• Korrekt och felaktig delmängder
• Delmängder vs supermängder

Vad är delmängder i matematik?

En mängd 'A' är en delmängd av mängden 'B' om alla element i mängd A faller under mängd B. Dessutom kan en delmängd vara lika med en mängd i ett särskilt fall när alla element i en delmängd ingår i uppsättning.

För att bättre förstå en delmängd låt oss betrakta en mängd A är en samling udda tal och mängd B består av {1,3,5}, så här är B en delmängd av A och A är en supermängd av B.

Till exempel: Om set A innehåller {äpple, banan} och set B innehåller {alla frukter} så är A delmängden av B.

Låt oss överväga ytterligare ett exempel för bättre förståelse.

Exempel: Bestäm vilken som är delmängd och vilken som är supermängd, om A = {a, e, i, o, u} och B = { Alla alfabet}.

Svar:

slå på java

Här innehåller A alla vokalelement som är en del av alfabet. Så här är A delmängd av B och B är supermängd av A.

Delmängdsdefinition

Matematiskt antas en mängd A vara en delmängd av Mängd B om alla komponenter i Mängd A också finns i uppsättning B. Så, delmängd är en undergrupp av vilken mängd som helst. Uppsättning A finns med andra ord i uppsättning B.

Till exempel: Om uppsättning A = {1, 2, 3} och uppsättning B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} så kan vi säga att uppsättning A är en delmängd av uppsättning B eftersom alla element i uppsättning A är tillgängliga i set B.

Subset Betydelse

En mängd vars element är alla element i en inkluderande mängd är betydelsen av delmängd. Betrakta en mängd X så att X omfattar namnen på alla floder i ett land. En annan uppsättning Y innehåller namnen på floder i ditt norra Indien. Här kommer y att vara en delmängd av x eftersom alla floder i norra Indien också skulle vara floder i vårt land; därför är Y en delmängd av X. Det finns bara ett bestämt antal distinkta eller unika delmängder för varje uppsättning, därför är de återstående irrelevanta och repetitiva.

Exempel: Lista alla delmängder uppsättningen Q = {1, 2, 3}.

Svar:

Delmängderna av Q är { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} och {1, 2, 3}

Delmängdssymbol

En delmängd indikeras med symbolen och läses som 'är en delmängd av' i mängdteori . En delmängd representeras av en symbol som ges av ⊆. Delmängder kan uttryckas med denna symbol enligt följande:

A ⊆ B detta betyder att uppsättning A är en delmängd av uppsättning B.

minimax algoritm

Exempel på delmängder

Det enda behovet av att en mängd A är en delmängd av en mängd B är att varje element i A finns i B. Här är några exempel på delmängder baserade på detta.

• A = {2, 3, 10} är en delmängd av B = {1, 2, 3, 4, 10},
• P = Uppsättning av alla primtal är en delmängd av N = Uppsättning av alla naturliga tal, och
• X = {a, e, i, o ,u} är en samling av vokaler och är en delmängd av Y = Uppsättning av alla alfabet .

Det är värt att notera att varje uppsättning är en delmängd av sig själv, liksom den tomma uppsättningen ().

Exempel: Kan nulluppsättning vara en delmängd av vilken uppsättning som helst?

Svar:

Null är en delmängd av varje uppsättning. Som standard anser vi detta faktum att alla uppsättningar innehåller ett element som kallas nolluppsättning.

Delmängder av verkligt tal

Reella tal som kan uttryckas som decimaltal delas in i en mängd olika kategorier. Från din dagliga tillvaro är du utan tvekan redan bekant med bråk, decimaler och räknande tal. Följande tal betraktas som delmängder av reella tal:

• Rationella nummer : Vilket tal som helst som kan uttryckas som ett bråk, p/q, där p och q båda är positiva heltal. Dessa är icke-avslutande, upprepande decimaler och avslutande decimaler i decimalform. Ex: -5/9, 1/8
• Irrationella siffror : Dessa siffror slutar eller upprepas inte när de uttrycks i decimalform. Ex: e.
• Heltal : Alla räknande tal, inklusive noll och deras motsatser. Ex: -2,-1,0,3
• Heltal : Noll och alla positiva räknetal. Ex- 0, 2, 500
• Naturliga tal : Alla positiva räknetal. Ex- 1,2,40

Exempel: Till vilka delmängder av de reella talen hör -5?

Svar:

-5 är ett rationellt tal och ett heltal.

Power Set av ett set

En uppsättning kraftuppsättning består av varje delmängd såväl som den ursprungliga uppsättningen och den tomma uppsättningen. P(A) står för potensmängden för en given mängd A. Till exempel, om A = {1, 2}, då P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Här kan vi tydligt se att alla delmängder av A finns i P(A), dvs. potensmängder av A.

Antal delmängder av en uppsättning

För varje uppsättning A anges antalet seusets med följande formel

Antal delmängder = 2 ⁿ

Var n är antalet element i uppsättningen.

Eftersom potensmängd innehåller alla delmängder av vilken mängd som helst, så för en mängd A som har 'n' element har P(A) 2ⁿelement.

Exempel: Hur många element av effektmängd kan bildas om det finns fyra element i en mängd?

Svar:

Antalet kraftelement med tre element är 2⁴= 16.

Typer av delmängder

Det finns två typer av delmängder som är:

• Korrekt delmängd
• Felaktig delmängd

Låt oss diskutera dessa typer i detalj enligt följande:

Korrekt delmängd

A rätt delmängd omfattar endast ett fåtal medlemmar av originaluppsättningen. Korrekt delmängd kan aldrig vara lika med originalmängden. I korrekt delmängd exkluderas delmängden som bildar den ursprungliga uppsättningen.

Rätt delmängdssymbol

En riktig delmängd betecknas med ⊂,

Vi kan uttrycka en riktig delmängd för mängd A och mängd B som;

A ⊂ B

Exempel på korrekta delmängder

Låt uppsättningen A = {1, 3, 5}, då är korrekta delmängder av A {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. Dessutom är {1, 3, 5} en delmängd av A men det är inte en riktig delmängd av A.

Rätt delmängdsformel

Antalet korrekta delmängder av en mängd med 'n' element är 2ⁿ- 1.

delsträng sträng java

Exempel: En uppsättning innehåller 3 element, vad blir antalet korrekta delmängder?

Svar:

Antal korrekta delmängder = 2ⁿ- 1

Här är n = 3

N = 2³– 1 = 7

Felaktig delmängd

En felaktig delmängd innehåller inkluderar både nolluppsättningen och varje medlem av den initiala uppsättningen. Felaktig delmängd kan vara lika med originaluppsättningen. I felaktig delmängd ingår delmängden som bildar den ursprungliga uppsättningen. Detta representeras av symbolen ⊆ .

Exempel: Vilken är den felaktiga delmängden av mängden A = {1, 3, 5}?

Svar:

Felaktig delmängd: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} och {1,3,5}

Felaktig delmängdsformel

För en samling av 'n' element är antalet felaktiga delmängder alltid 1. Med andra ord är antalet felaktiga delmängder av en uppsättning oberoende av antalet element.

Lär dig mer, Uppsättningsteoriformler

Korrekt och felaktig delmängder

De viktigaste skillnaderna mellan korrekta delmängder och olämpliga delmängder listas i följande tabell:

Exempel: För en mängd P = {1,2}, hitta rätt och olämplig delmängd.

Lösning:

gratis vs gratis

Korrekt uppsättning ges av { }, {1} och {2}

Felaktig inställning ges av { }, {1}, {2} och {1,2}

Delmängder vs supermängder

De viktigaste skillnaderna mellan båda delmängder och superset listas i följande tabell:

Delmängdsformel

Alla formler relaterade till delmängder ges nedan.

• Antalet delmängder av en mängd med n element är 2ⁿ. Detta inkluderar både korrekta och felaktiga delmängder.
• Antalet korrekta delmängder av en mängd med n element är 2ⁿ- 1.
• Antalet felaktiga delmängder av en uppsättning är alltid 1.

Läs också

• Representation av Set
• Typer av set
• Universal set

Lösta problem på delmängder

Uppgift 1: Hur många delmängder i en mängd med 4 element?

Lösning:

En uppsättning som innehåller 4 element kommer att ha 2⁴element i den = 16.

Uppgift 2: Hur många delmängder i en mängd med 5 element?

Lösning:

En uppsättning som innehåller 5 element kommer att ha 2⁵element i den = 32.

Vanliga frågor om delmängder

Vad är delmängder i matematik?

Om varje komponent i uppsättning A också finns i uppsättning B, så sägs uppsättning A vara en delmängd av uppsättning B. För att uttrycka det på ett annat sätt, uppsättning B innehåller uppsättning A.

Vad är korrekta delmängder?

En delmängd av en mängd A som inte är lika med A är en riktig delmängd av A. Med andra ord, om B är en riktig delmängd av A, så har A åtminstone ett element som inte finns i B men alla B:s element är i en.

Vad är olämpliga delmängder?

En delmängd som inkluderar varje komponent i den ursprungliga uppsättningen anses vara en olämplig delmängd.

Kan en delmängd vara lika med sig själv?

Varje uppsättning ses som en delmängd av sig själv. Den korrekta delmängden av ingen uppsättning är sig själv. Varje uppsättning har den tomma uppsättningen som en delmängd.

Kan en delmängd vara en universell uppsättning?

Vi kan säga att mängden A är delmängden av mängden B om varje element i mängden A också är ett element i mängden B. Sedan kan vilken given universell mängd som helst användas för att producera delmängderna. Det är också viktigt att komma ihåg att varje universell uppsättning faktiskt är en delmängd av sig själv.

Kan en delmängd vara noll?

Ja, en nolluppsättning är som standard delmängd av vilken uppsättning som helst.

Vilka är de två klassificeringarna av delmängder?

Klassificeringarna av delmängder är:

• Rätt delmängd
• Felaktig delmängd