Vektorprojektion är skuggan av en vektor över en annan vektor. Projektionsvektorn erhålls genom att multiplicera vektorn med Cos för vinkeln mellan de två vektorerna. En vektor har både magnitud och riktning. Två vektorer sägs vara lika om de har samma storlek och riktning. Vektorprojektion är avgörande för att lösa numeriska i fysik och matematik.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om vad som är vektorprojektion, vektorprojektionsformelexemplet, vektorprojektionsformeln, vektorprojektionsformelhärledning, vektorprojektionsformel linjär algebra, vektorprojektionsformel 3d och några andra relaterade begrepp i detalj.

Innehållsförteckning

• Vad är vektorprojektion?
• Vektorprojektionsformel
• Vektor projektion formel härledning
• Vektorprojektionsformelexempel
• Praktiska tillämpningar och betydelsen av vektorprojektion
• Verkliga problemlösningsexempel på vektorprojektion

Vad är vektorprojektion?

Vektorprojektion är en metod för att rotera en vektor och placera den på en andra vektor. Därför erhålls en vektor när en vektor löses upp i två komponenter, parallella och vinkelräta. Den parallella vektorn kallas projektionsvektorn. Således är vektorprojektionen längden på skuggan av en vektor över en annan vektor.

Vektorprojektionen av en vektor erhålls genom att multiplicera vektorn med Cos för vinkeln mellan de två vektorerna. Låt oss säga att vi har två vektorer 'a' och 'b' och vi måste hitta projektionen av vektorn a på vektor b, då multiplicerar vi vektorn 'a' med cosθ där θ är vinkeln mellan vektor a och vektor b.

Vektorprojektionsformel

Omvec Arepresenteras som A ochvec Brepresenteras som B, vektorprojektionen av A på B ges som produkten av A med Cos θ där θ är vinkeln mellan A och B. Den andra formeln för vektorprojektion av A på B ges som produkten av A och B. B dividerat med storleken på B. Projektionsvektorn som erhålls så är en skalär multipel av A och har en riktning i riktning mot B.

Vektor projektion formel härledning

Härledningen av vektorprojektionsformeln diskuteras nedan:

Låt oss anta, OP =vec Aoch OQ =vec Boch vinkeln mellan OP och OQ är θ. Ritad PN vinkelrätt mot OQ.

I den högra triangeln OPN är Cos θ = ON/OP

⇒ PÅ = PÅ Cos θ

⇒ PÅ = |vec A| Cos θ

ON är projektionsvektorn förvec Apåvec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

lista sorterad java

⇒ PÅ =frac{vec A.vec B}

Därför är ON =|vec A|.hat B

Således vektorprojektionen avvec Apåvec Bges somfrac{vec A.vec B}

vektorprojektionen avvec Bpåvec Ages somfrac{vec A.vec B}

Kolla också: Typer av vektorer

Vektorprojektion Viktiga villkor

För att hitta vektorprojektionen behöver vi lära oss att hitta vinkeln mellan två vektorer och även att beräkna punktprodukten mellan två vektorer.

Vinkel Mellan Två Vektorer

Vinkeln mellan de två vektorerna ges som inversen av cosinus för punktprodukten av två vektorer dividerat med produkten av storleken av två vektorer.

Låt oss säga att vi har två vektorervec Aochvec Bvinkeln mellan dem är θ

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Punktprodukt av två vektorer

Låt oss säga att vi har två vektorervec Aochvec Bdefinierad somvec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kochvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k då prickprodukt mellan dem ges som

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= a₁b₁+ a₂b₂+a₃b₃

Relaterad artikel:

• Vektor tillägg
• Enhetsvektor
• Vektor algebra
• Linjär algebra

Vektorprojektionsformelexempel

Exempel 1. Hitta projektionen av vektor 4hat i + 2hat j + hat k på 5hat i -3hat j + 3hat k .

Lösning:

motstridig sökning

Här,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Vi vet, projektion av vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

Exempel 2. Hitta projektionen av vektor 5hat i + 4hat j + hat k på 3hat i + 5hat j – 2hat k

Lösning:

uppföljande datatyper

Här,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Vi vet, projektion av vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Exempel 3. Hitta vektorns projektion 5hat i – 4hat j + hat k på 3hat i – 2hat j + 4hat k

Lösning:

Här,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Vi vet, projektion av vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Exempel 4. Hitta vektorns projektion 2hat i – 6hat j + hat k på 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Lösning:

Här,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Vi vet, projektion av vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Exempel 5. Hitta vektorns projektion 2hat i – hat j + 5hat k på 4hat i – hat j + hat k .

Lösning:

Här,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

Vi vet, projektion av vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Kolla upp: Vektoroperationer

Praktiska tillämpningar och betydelsen av vektorprojektion

Fysik

• Forcera nedbrytning : Inom fysiken är vektorprojektionsformeln avgörande för att bryta ned krafter till komponenter parallella och vinkelräta mot ytor. För att till exempel förstå kraften som utövas av ett rep i ett spel med dragkamp kräver att kraftvektorn projiceras i repets riktning.

• Arbetsberäkning : Arbetet som utförs av en kraft under förskjutning beräknas med hjälp av vektorprojektion. Verket är punktprodukten av kraftvektorn och förskjutningsvektorn, som i huvudsak projicerar en vektor på en annan för att hitta kraftkomponenten i förskjutningsriktningen.

Teknik

• Strukturanalys : Ingenjörer använder vektorprojektion för att analysera spänningar på komponenter. Genom att projicera kraftvektorer på strukturella axlar kan de bestämma spänningskomponenterna i olika riktningar, vilket underlättar utformningen av säkrare och effektivare strukturer.

• Vätskedynamik : Inom vätskedynamik hjälper vektorprojektion till att analysera vätskeflödet runt objekt. Genom att projicera vätskehastighetsvektorer på ytor kan ingenjörer studera flödesmönster och krafter, avgörande för aerodynamisk design och hydraulik.

Datorgrafik

• Renderingstekniker : Vektorprojektion är grundläggande i datorgrafik för att återge skuggor och reflektioner. Genom att projicera ljusvektorer på ytor beräknar grafikmjukvaran vinklarna och intensiteten av skuggor och reflektioner, vilket förbättrar realismen i 3D-modeller.

• Animation och spelutveckling : I animering används vektorprojektion för att simulera rörelser och interaktioner. Att bestämma hur en karaktär rör sig över ojämn terräng innebär till exempel att projicera rörelsevektorer på terrängytan, vilket möjliggör realistiska animationer.

Kolla upp: Basvektorer i linjär algebra

Verkliga problemlösningsexempel på vektorprojektion

Exempel 1: GPS-navigering

• Sammanhang : I GPS-navigeringssystem används vektorprojektion för att beräkna den kortaste vägen mellan två punkter på jordens yta.
• Ansökan : Genom att projicera förskjutningsvektorn mellan två geografiska platser på jordens ytavektor kan GPS-algoritmer exakt beräkna avstånd och riktningar och optimera resvägar.

Exempel 2: Sports Analytics

• Sammanhang : Inom sportanalys, särskilt i fotboll eller basket, hjälper vektorprojektion att analysera spelarrörelser och bollbanor.
• Ansökan : Genom att projicera spelarnas rörelsevektorer på spelplanen eller planen kan analytiker studera mönster, hastigheter och effektivitet hos rörelser, vilket bidrar till strategisk planering och prestationsförbättring.

Exempel 3: Förnybar energiteknik

• Sammanhang : Vid design av vindkraftverk är förståelse för vindkraftskomponenterna avgörande för att optimera energiproduktionen.
• Ansökan : Ingenjörer projicerar vindhastighetsvektorer på turbinbladens plan. Denna analys hjälper till att bestämma den optimala vinkeln och orienteringen för bladen för att maximera fångsten av vindenergi.

Exempel 4: Augmented Reality (AR)

• Sammanhang : I applikationer med förstärkt verklighet används vektorprojektion för att exakt placera virtuella objekt i verkliga utrymmen.
• Ansökan : Genom att projicera vektorer från virtuella objekt på verkliga plan som fångas av AR-enheter kan utvecklare säkerställa att virtuella objekt interagerar realistiskt med miljön, vilket förbättrar användarupplevelsen.

Kolla upp: Komponenter av vektor

Vanliga frågor om vektorprojektion

Definiera projektionsvektor.

Projektionsvektor är skuggan av en vektor på en annan vektor.

Vad är vektorprojektionsformeln?

Formel för projektion av vektor ges somfrac{vec A.vec B}

arraylistmetoder

Hur hittar jag projektionsvektor?

Projektionsvektor hittas genom att beräkna punktprodukten av de två vektorerna dividerat med den som skuggan kastas på.

Vilka begrepp krävs för att beräkna projektionsvektor?

Vi behöver veta vinkeln mellan två vektorer och punktprodukten av två vektorer för att beräkna vektorprojektion.

Var används projektionsvektor?

Projection Vector används för att lösa olika numeriska fysik som kräver att vektorkvantiteten delas upp i dess komponenter.

Vad är betydelsen av vektorprojektion i fysik?

Inom fysiken är vektorprojektion avgörande för att bryta ned krafter, beräkna arbete som utförs av en kraft i en specifik riktning och analysera rörelse. Det hjälper till att förstå hur olika komponenter i en vektor bidrar till effekter i olika riktningar.

Kan vektorprojektion vara negativ?

Ja, den skalära komponenten i en vektorprojektion kan vara negativ om vinkeln mellan de två vektorerna är större än 90 grader, vilket indikerar att projektionen går i motsatt riktning mot basvektorn.

Hur används vektorprojektion inom teknik?

Ingenjörer använder vektorprojektion för att analysera strukturella spänningar, optimera konstruktioner genom att bryta ned krafter till hanterbara komponenter och i vätskedynamik för att studera flödesmönster mot ytor.

Vad är skillnaden mellan skalär och vektorprojektion?

Skalär projektion ger storleken på en vektor i riktning mot en annan och kan vara positiv eller negativ. Vektorprojektion, å andra sidan, tar inte bara hänsyn till storleken utan ger också riktningen för projektionen som en vektor.

Vad är verkliga tillämpningar av vektorprojektion?

Vektorprojektion har applikationer inom GPS-navigering, sportanalys, datorgrafik för att återge skuggor och reflektioner och i förstärkt verklighet för att placera virtuella objekt i verkliga utrymmen.