Arctan definieras som inversen av tangentfunktionen. Arctan(x) betecknas som tan^-1(x). Det finns sex trigonometriska funktioner och inversen av alla sex funktioner är undertryckt som synd^-1x, för^-1x, alltså^-1x, cosec^-1x, sek^-1x och spjälsäng^-1x.

Arctan (tan^-1x) liknar inte 1 / tan x. solbränna^-1x är inversen av tan x medan 1/ tan x är den reciproka av tan x. solbränna^-1x används för att lösa olika trigonometriska ekvationer. I den här artikeln kommer vi att studera arktanfunktionens formel, graf, egenskaper och andra i detalj.

Innehållsförteckning

• Vad är Arctan?
• Vad är Arctan Formula?
• Arktanska identiteter
• Arctan Domain and Range
• Arctan (x) Egenskaper
• Arktan bord

Vad är Arctan?

Arcatan är motsatsen till trigonometrisk funktion solbränna x. Förhållandet mellan vinkelrät och bas i en rätvinklig triangel kallas den trigonometriska funktionen och om man tar dess invers får man arktanfunktionen. Detta förklaras som,

brun (π/4) = 1

⇒ π/4 = brun^-1(1)...(detta är Arctan Function)

Om vi ​​har en rätvinklig triangel med en vinkel θ så är tan θ vinkelrät/bas, då är arctanfunktionen,

θ = brun ^-1 (vinkelrät/bas)

Lär dig mer, Omvänd trigonometrisk funktion

Vad är Arctan Formula?

Tangent är en trigonometrisk funktion och i en rätvinklig triangel är tangentfunktionen lika med förhållandet mellan vinkelrät och bas (vinkelrät/bas).

Arctan är en referens till tangentens inversa funktion. Symboliskt representeras arctan av solbränna^-1x i trigonometriska ekvationer.

Arktan Formel Definition

Som diskuterats ovan ges grundformeln för arctan av, arctan (Perpendicular/Base) = θ, där θ är vinkeln mellan hypotenusan och basen av en rätvinklig triangel. Vi använder den här formeln för arctan för att hitta värdet på vinkeln θ i termer av grader eller radianer.

Antag att tangenten för vinkeln θ är lika med x.

x = tan θ ⇒ θ = tan ^-1 x

Låt oss ta en rätvinklig triangel ABC med vinkeln BCA som θ. Sidan AB är vinkelrät(p) och sidan BC är bas(b). När vi nu studerade är tangenten lika vinkelrät med basen.

dvs. tan θ = vinkelrät/bas = p/b

nbsp

Och genom att använda uttrycket ovan,

θ = brun ^-1 (p/b)

Arktanska identiteter

Det finns olika arktanska identiteter som används för att lösa olika trigonometriska ekvationer. Några av de viktiga arktanska identiteterna ges nedan,

• arctan(-x) = -arctan(x), för alla x ∈ R
• tan(arctan x) = x, för alla reella tal x
• arctan (tan x) = x, för x ∈ (-π/2, π/2)
• arctan(1/x) = π/2 – arctan(x) = arccot(x), om x> 0
• arctan(1/x) = -π/2 – arctan(x) = arccot(x) – π, om x <0
• sin(arktan x) = x/ √(1+x²)
• cos(arktan x) = 1/ √(1+x²)
• arctan(x) = 2arctan {x/(1 + √(1+x²))}
• arctan(x) = ∫_O^x1/√(1+z²)dz

Hur man applicerar Arctan Formula?

Arctan Formula används för att lösa olika trigonometriska problem och detsamma förklaras i exemplet nedan.

Exempel: I den rätvinkliga triangeln PQR, om triangelns höjd är √3 enheter och triangelns bas är 1 enhet. Hitta vinkeln.

För att hitta vinkeln (θ)

θ = arktan (vinkelrät/höjd)

θ = arktan (√3/1)

θ = 60°

Arctan Domain and Range

Alla trigonometriska funktioner inklusive tan (x) har en mång-till-en relation. Däremot kan inversen av en funktion bara existera om den har en en-till-en och till relation. Av denna anledning måste domänen för tan x begränsas, annars kan det omvända inte existera. Med andra ord måste den trigonometriska funktionen begränsas till sin huvudgren eftersom vi bara önskar ett värde.

• Domän för arctan x är Riktigt nummer
• Området för arctan (x) är (-p/2, p/2)

Vi vet att domänen och området för en trigonometrisk funktion konverteras till området och domänen för den inversa trigonometriska funktionen. Således kan vi säga att domänen av tan^-1x är alla reella tal och intervallet är (-π/2, π/2).

Ett intressant faktum att notera är att vi kan utöka den arktaniska funktionen till komplexa tal. I ett sådant fall kommer domänen för arctan att vara alla komplexa tal.

Arctan (x) Egenskaper

Arctan x-egenskaper används för att lösa olika trigonometriska ekvationer. Det finns olika trigonometriska egenskaper som behöver studeras för att studera trigonometri. Några viktiga egenskaper hos arctanfunktionen ges nedan i den här artikeln:

• så så^-1x) = x
• så^-1(-x) = -tan^-1x
• så^-1(1/x) = spjälsäng^-1x, när x> 0
• så^-1x + så^-1y = så^-1[(x + y)/(1 – xy)], när xy <1
• så^-1x – alltså^-1y = så^-1[(x – y)/(1 + xy)], när xy> -1
• så^-1x + spjälsäng^-1x = π/2
• så^-1(tan x) = x [när x ∈ R – {x : x = (2n + 1) (π/2), där n ∈ Z}]
• så^-1(tan x) = x [när x INTE är en udda multipel av π/2. annars, solbränna^-1(tan x) är odefinierat.]
• 2 alltså^-1x = synd^-1(2x / (1+x²)), när |x| ≤ 1
• 2 alltså^-1x = cos^-1((1-x²) / (1+x²)), när x ≥ 0
• 2 alltså^-1x = tan-1(2x / (1-x²)), när -1

Arktan bord

Vilken vinkel som helst som uttrycks i grader kan också omvandlas till radianer. För att göra det multiplicerar vi gradvärdet med faktorn π/180°. Dessutom tar arctan-funktionen ett reellt tal som indata och matar ut motsvarande unika vinkelvärde. Tabellen nedan beskriver arktanvinkelvärdena för vissa reella tal. Dessa kan också användas när du ritar arktangrafen.

Som vi studerade ovan kan värdet av arctan härledas av grader eller radianer. Så, nedanstående tabell illustrerar de uppskattade värdena för arctan.

Arktan Graph

Grafen för Arctan-funktionen är den oändliga grafen. Domänen för arctan är R (reella tal) och området för Arctan-funktionen är (-π/2, π/2). Grafen över Arctan-funktionen diskuteras nedan i bilden nedan:

Grafen är gjord med värdet av de kända punkterna, för funktionen y = tan^-1(x)

• x = ∞ ⇒ y = π/2
• x = √3 ⇒ y = π/3
• x = 1/√3 ⇒ y = π/6
• x = 0 ⇒ y = 0
• x = -1/√3 ⇒ y = -π/6
• x = -√3 ⇒ y = -π/3
• x = -∞ ⇒ y = -π/2

Arctan x Derivat

Derivat av arctan är mycket viktigt för att studera matematik. Derivatan av arctan-funktionen beräknas med hjälp av följande koncept,

y = arktan x (låt)...(1)

Tar solbränna båda sidor

tan y = tan (arctan x) [vi vet att tan (arctan x) = x]

brun y = x

Differentiera båda sidor (med hjälp av kedjeregel)

sek²y × dy/dx = 1

dy/dx = 1/sek²och

dy/dx = 1 / (1 + tan²y) {med, sek²y = 1 + brun²och}

d / dx (arctan x) = 1 / (1 + x ² )

Arctan Integral

Integral av arctan definieras som antiderivatan av den inversa tangentfunktionen. Integration av Arctan x härleds med hjälp av konceptet nedan,

Låt oss ta f(x) = tan^-1x och g(x) = 1

Vi vet att ∫f(x)g(x)dx = f(x) ∫g(x)dx – ∫[d(f(x))/dx × ∫g(x) dx] dx

sätter vi värdet av f(x) och g(x) i ovanstående ekvation får vi,

∫tan ^-1 x dx = x tan ^-1 x – ½ ln |1+x ² | + C

var C är integrationens konstant

Arctan 0

Arktan för 0 är 0. Vi kan också säga att, tan^-1(x) = 0. Således är Arctan(0) = 0

Arctan 2

Arktan av 2 är 63.435. Vi kan också säga det, solbränna^-1(2) = 63,435. Således är Arctan(2) = 63,435.

Arktan Infinity

Den arktiska oändligheten anges som lim_x→∞så^-1x = π/2.

Kolla också

• Trigonometrisk tabell
• Trigonometriska förhållanden
• Trigonometriska identiteter

Arktanska exempel

Exempel 1: Utvärdera dig själv ^-1 (1).

Lösning:

så^-1(1)

Värde 1 kan också skrivas som,

1 = brun (45°)

Nu,

så^-1(1) = så^-1(brun 45°) = 45°

Exempel 2: Utvärdera dig själv ^-1 (1 732).

Lösning:

så^-1(1 732)

Värde på 1,732 kan också skrivas som

lång att snöra

1,732 = brun(60°)

Nu,

så^-1(1,732) = så^-1(brun 60°) = 60°

Exempel 3: Lös så ^-1 x + så ^-1 1/x

Lösning:

• Det vet vi, tan^-1x + så^-1y = så^-1[(x + y)/(1 – xy)]

= så^-1x + så^-11/x

= så^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= så^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= så^-1[(x + 1/x)/(1 – 1)]

= så^-1[(x + 1/x)/(0)]

= så^-1[∞]

= π/2

Exempel 4: Hitta derivatan av tan ^-1 √x

Lösning:

Vi vet det, d/dx (tan^-1x) = 1 / (1 + x²)

⇒ d/dx (så^-1√x)

Använder sig av Kedjeregel

= 1 / (1 + [√x]²)

= 1 / (1+x) × d/dx(1/√x)

= 1/(1+x) × 1/2√x

= √x/{2x(x+1)}

Således derivata av d/dx (tan^-1√x) är √x/{2x(x+1)}

Arctan Practice Frågor

Q1. Hitta derivatan av tan ^-1 (2x ² + 3)

Q2. Hitta integralen av solbränna ^-1 √x

Q3. Utvärdera dig själv så ^-1 (10)

Q4. Lös så ^-1 (x) + brun ^-1 (x ² )

Arctan-FAQs

1. Vad är Arctan?

Invers av tangentfunktionen kallas Arctan. Det betecknas som arctan x eller tan^-1x. Formeln som används för att bestämma värdet på arctan är θ = brun ^-1 (x)

2. Hitta derivatan av Arctan.

Derivatan av arctan är, d/dx (arctan x) = 1 / (1 + x ² )

3. Är Arctan-funktionen inversen av Tan-funktionen?

Ja, arctan-funktionen är inversen av tan-funktionen. Om, tan x = y än x = tan^-1och

4. Liknar Arctan Cot?

Nej, arctan liknar inte spjälsängen. Spjälsäng är ömsesidigt till den bruna funktionen. d.v.s. tan x = 1/säng x, medan Arctan är invers av tan-funktionen arctan x = tan^-1x

5. Vad är Arctan of Infinity?

Som, vi vet redan att värdet av tan (π/2) = ∞. Arctan är den omvända funktionen av tan då kan vi säga att arctan(∞) = π/2.

6. Är Arctan och tan^-1det samma?

Ja, Arctan och tan^-1är samma som, Arctan är ett annat namn på tan^-1(x)

7. Varför är Arctan (1) pi över 4?

Syndens värde^-1(π/4) är 1/√2 och värdet av cos^-1(π/4) är 1/√2 och det vet vi, tan^-1(π/4) är sin-¹(π/4)/cos^-1(π/4) och värdet på arcsin och arccos är lika, då är värdet på arctan (1) π/4.