Ackord i en cirkel är linjen som förbinder två punkter på cirkelns omkrets. En cirkel kan ha olika ackord och det största ackordet i en cirkel är cirkelns diameter. Vi kan enkelt beräkna längden på ackordet med hjälp av Chord Length Formula. Som namnet antyder är det formeln för att beräkna längden på ackordet i en cirkel i geometri.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om definitionen av ackordet, satserna för ackorden och cirkeln, förklara dess egenskaper och formlerna för att beräkna längden på ackordet med olika metoder. Artikeln har också några lösta exempelproblem för bättre förståelse.

Innehållsförteckning

• Cirkeldefinition
• Ackord av en cirkel Definition
• Vad är Chord Length Formula?
• Ackord av en cirkels satser
• Egenskaper för ackord i en cirkel
• Löste problem
• Vanliga frågor

Cirkeldefinition

En cirkel är en perfekt rund form som består av alla punkter i ett plan som är placerade på ett givet avstånd från en given punkt. De består av en sluten böjd linje runt en central punkt. Punkterna som finns på linjen är på samma avstånd från den centrala punkten. Avståndet till mitten av en cirkel kallas en radie.

Ackord av en cirkel Definition

Linjesegmentet som förenar två punkter på cirkelns omkrets kallas för en cirkels ackord. Eftersom diametern också förenar de två punkterna på omkretsen av en cirkel, är den också ett korda till en cirkel. I själva verket är diametern det längsta ackordet till cirkeln. Med andra ord är ackordet ett linjesegment vars båda ändar ligger på en cirkels omkrets. Följande illustration kan hjälpa oss att förstå mer.

Vad är Chord Length Formula?

Det finns två grundläggande metoder eller formler för att beräkna längden på ackordet. en kordalängd kan bestämmas genom att använda det vinkelräta avståndet från cirkelns mittpunkt samt med den trigonometriska metoden. Således kan längden på ett ackord hittas

• Använder Pythagoras sats
• Att använda Cosinuslagen

Låt oss förstå dessa metoder i detalj enligt följande:

Metod 1: Använd Pythagoras sats

I följande diagram för ett ackord, som vi känner till, delar den vinkelrät ritad från cirkelns centrum till ackordet det i två halvor.

I trianglar OAM, med hjälp av Pythagoras sats ,

r²= x²+ d²

⇒ x²= r²– d²

⇒ x = √(r²– d²)

Eftersom x är halva längden av ackordet,

Således är ackordlängden för varje cirkel med dess vinkelräta avstånd från centrum känd som

Längden på ett ackord i en cirkel = 2 ×[√(r ² – d ² )]

Var,

• r är cirkelns radie, och
• d är det vinkelräta avståndet mellan cirkelcentrum och ackord.

Metod 2: Använda Cosinuslagen

Som vi vet för en triangel ABC, med sidorna a, b och c, den Cosinus lag stater,

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Genom att använda denna lag i följande diagram av ett ackord som understryker θ-vinkeln i cirkelns centrum, kan vi hitta längden på ackordet.

I triangeln OAB, med hjälp av cosinuslagen,

⇒ x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

⇒ x²= 2r²– 2r²cos θ

⇒ x²= 2r²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Således ges ackordslängden av:

char till heltal java

Ackordlängd = 2r × sin [θ/2]

Var,

• i är vinkeln som täcks av ackordet i mitten, och
• r är cirkelns radie.

Annan relaterad formel för ackordlängd

När två cirklar delar ett gemensamt ackord kan längden på det gemensamma ackordet beräknas med formeln

Längden på ett gemensamt ackord av två cirklar = 2R ₁ × R ₂ /D

Var,

• R ₁ och R ₂ hänvisar till radien av cirklar
• D är avståndet mellan cirkelns två mittpunkter

Ackord av en cirkels satser

Cirkelns ackord understryker vinkeln i mitten av cirkeln, vilket hjälper oss att bevisa olika begrepp i cirkeln. Det finns olika satser baserade på ackordet i en cirkel,

• Sats 1: Lika ackord Lika vinklar teorem
• Sats 2: Lika vinklar Lika ackordssatsen (motsatsen till sats 1)
• Sats 3: Equal Chords Equidistant from Center Theorem

Låt oss nu diskutera detsamma i artikeln nedan.

Sats 1: Lika ackord Lika vinklar Theorem

Uttalanden: Lika ackord understryker lika stora vinklar i mitten av cirkeln, d.v.s. vinkeln mellan ackordet är lika om ackordet är lika.

Bevis:

Från figuren,

I ∆AOB och ∆DOC

• AB = CD …eq(i) (given)
• OA = OD …eq(ii) (cirkelns radie)
• OB = OC …eq(iii) (cirkelns radie)

Således är triangeln ∆AOB och ∆COD kongruenta med SSS-kongruensvillkor.

Således,

∠AOB = ∠DOC (av CPCT)

Därmed är satsen verifierad.

Sats 2: Equal Angles Equal Chords Theorem (motsatsen till sats 1)

Påstående: Ackord med lika stora vinklar i mitten av en cirkel är lika långa. Detta är motsatsen till den första satsen.

Från figuren,

I ∆AOB och ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (given)
• OA = OD …eq(ii) (cirkelns radie)
• OB = OC …eq(iii) (cirkelns radie)

Således, med SAS kongruensvillkor är triangeln ∆AOB och ∆COD kongruenta.

Således,

AB = CD (av CPCT)

Därmed är satsen verifierad.

Sats 3: Lika ackord lika långt från centrumsatsen

Påstående: Lika ackord är lika långt från mitten, det vill säga avståndet mellan cirkelns centrum och det lika ackordet är alltid lika.

Från figuren,

I ∆AOL och ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 grader)
• OA = OC …eq(ii) (cirkelns radie)
• OL = OM …eq(iii) (given)

Således är triangeln ∆AOB och ∆COD kongruenta med RHS-kongruensvillkor.

Således,

AL = CM (av CPCT)...(iv)

Nu vet vi att vinkelrät draget från mitten delar ackorden.

Från ekv(iv)

2AL=2CM

AB = CD

Därmed är satsen verifierad.

Egenskaper för ackord i en cirkel

Det finns olika egenskaper hos ackord i en cirkel, några av dessa egenskaper är följande:

• Ett ackord som passerar genom mitten av en cirkel kallas en diameter, och det är det längsta ackordet i cirkeln.
• Den vinkelräta mot ett ackord, som dras från cirkelns mitt, delar ackordet i två delar.
• Ackord som är lika långt från mitten av en cirkel är lika långa.
• Det finns bara en cirkel som passerar genom tre kolinjära punkter.
• Ackord som är lika långa har lika stora vinklar i mitten av en cirkel.
• Den vinkelräta bisektrisen av ett korda passerar genom cirkelns mitt.
• Om en radie är vinkelrät mot ett ackord, så delar den ackordet och den båge den skär. Detta är känt som den vinkelräta bisektorssatsen.
• När de underspända vinklarna av ett ackord är lika är längden på ackorden också lika.
• Om två ackord i en cirkel skär varandra, är produkten av segmenten i ett ackord lika med produkten av segmenten i det andra ackordet. Detta är känt som satsen för korsande ackord.
• Vinkeln som täcks av ett korda i mitten är dubbelt så stor som vinkeln som täcks av kordan vid omkretsen.

Läs mer,

• Ekvation för en cirkel
• Area av en cirkel
• Cirkels omkrets

Löste problem på Chord of a Circle

Uppgift 1: En cirkel är en vinkel på 70 grader vars radie är 5 cm. Beräkna ackordlängden på cirkeln.

Lösning:

Given

• Radie = 5 cm
• Vinkel = 70°

Nu,

ackordlängd = 2R × Sin [vinkel/2]

= 2 × 5 × sin [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 × 0,5736

= 5,73 cm

Uppgift 2: I en cirkel , radien är 7 cm och det vinkelräta avståndet från cirkelns centrum till dess ackord är 6 cm. Beräkna längden på ackordet.

Lösning:

Given

• Radie = 7 cm
• Avstånd = 6 cm

Nu,

handledning för java programmeringsspråk

Ackordets längd = 2 √r²– d²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49-36

= 2 √13cm

Uppgift 3: En cirkel är en vinkel på 60 grader vars radie är 12 cm. Beräkna ackordlängden på cirkeln.

Lösning:

Given

• Radie = 12 cm
• Vinkel = 60°

Nu,

ackordlängd = 2R × Sin [vinkel/2]

⇒ 2 × 12 × sin [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12 cm

Uppgift 4: I en cirkel är radien 16 cm och det vinkelräta avståndet från cirkelns centrum till dess ackord är 5 cm. Beräkna längden på ackordet.

Lösning:

Given

• Radie = 16 cm
• Avstånd = 5 cm

Nu,

Ackordets längd = 2 √r²– d²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256- 25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 cm

Uppgift 6: Beräkna längden på ett gemensamt korda mellan cirklarna med radien 6 cm respektive 5 cm. Och avståndet mellan de två mitten mättes till 8 cm.

Lösning:

Given

Avstånd mellan de två mitten = 8 cm

Radien för de två cirklarna är R₁och R₂med längderna 6 cm respektive 5 cm

Nu,

Längden på ett gemensamt ackord av två cirklar = (2R₁× R₂) / Avstånd mellan två cirklar

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Vanliga frågor om Chord of a Circle

Definiera ackord.

Ett linjesegment som förenar två punkter på cirkelns omkrets kallas ackord.

Vad är Chord Length Formula?

Chord Length Formel beräknar längden på ett ackord i en cirkel.

Kan längden på ett ackord vara större än diametern på en cirkel?

Nej, längden på ett korda kan inte vara större än diametern eftersom diametern är cirkelns längsta korda.

Hur påverkas längden på ett ackord om det är närmare mitten av cirkeln?

När ackordet närmar sig mitten av cirkeln närmar sig dess längd maximal längd, dvs diameter.

Hur påverkas längden på ett ackord om det är närmare kanten av cirkeln?

När ackordet närmar sig kanten av cirkeln närmar sig dess längd 0. Således har ackordets längd och dess avstånd från kanten ett omvänt förhållande.

Vilket är förhållandet mellan ackordslängden och den centrala vinkeln i en cirkel?

Förhållandet mellan e-ackordets längd och mittvinkeln i en cirkel är som följer:

numrering av alfabetet

Ackordlängd = 2r × sin [θ/2]

Var,

• i är vinkeln som täcks av ackordet i mitten, och
• r är cirkelns radie.

Kan Chord Length Formel användas för vilken cirkel som helst?

Ja, Chord Length Formula kan användas för vilken cirkel som helst, så länge som radien och mittvinkeln är kända.

Är diametern ett ackord i en cirkel?

Ja, diametern är ett ackord i en cirkel. Det är det längsta möjliga ackordet i en cirkel. Det är lika med två gånger cirkelns radie.

D = 2r

Var,

• D är cirkelns diameter
• r är cirkelns radie