logo

TechCodeview

Derivatformler i kalkyl

Derivatformler i kalkyl är ett av de viktiga verktygen för kalkyl eftersom derivatformler används i stor utsträckning för att enkelt hitta derivator av olika funktioner och även hjälpa oss att utforska olika områden inom matematik, teknik, etc.

Den här artikeln utforskar alla derivatformler nära inklusive den allmänna derivatformeln, derivatformler för logaritmiska och exponentiella funktioner, derivatformler för trigonometriska förhållanden, derivatformler för inversa trigonometriska förhållanden och derivatformler för hyperboliska funktioner. Derivatformel är viktig för elever i klass 12 för sina styrelseprov. Vi kommer också att lösa några exempel på derivator med hjälp av de olika derivatformlerna. Låt oss noggrant gå igenom ämnet derivatformel.



Derivatformler

Innehållsförteckning

Vad är derivat?

De derivat representerar funktionshastigheten med avseende på vilken variabel som helst. Derivatan av en funktion f(x) betecknas som f'(x) eller (d/dx) [f(x)]. Processen att hitta derivat kallas differentiering.



Den mest grundläggande derivatformeln är definitionen av ett derivat, som definieras som:

f'(x) = lim h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

Det finns olika derivatformler inklusive allmänna derivatformler, derivatformler för trigonometriska funktioner och derivatformler för inversa trigonometriska funktioner, etc.



Läs i detalj: Kalkyl i matematik

Vad är derivatformler?

Derivatformler är de matematiska uttryck som hjälper oss att beräkna derivatan av någon specifik funktion med avseende på dess oberoende variabel. Med enkla ord kallas formlerna som hjälper till att hitta derivat som derivatformler. Det finns flera derivatformler för olika funktioner.

Exempel på derivatformler

Några exempel på formler för derivat är listade enligt följande:

  • Maktregel: Om f(x) = xn, där n är en konstant, då ges derivatan av:

f'(x) = nx n-1

  • Konstant regel: Om f(x) = c, där c är en konstant, så är derivatan noll:

f'(x) = 0

  • Exponentialfunktioner: Om f(x) = ex, sedan:

f'(x) = e x

Låt oss diskutera alla formler relaterade till derivat på ett strukturerat sätt.

java sträng ersätt allt

Grundläggande derivatformler – derivatregler i kalkyl

Några av de mest grundläggande formlerna för att hitta derivator är:

  • Konstant regel
  • Maktregel
  • Summskillnadsregel
  • Produktregel
  • Quotientregel
  • Kedjeregel

Låt oss diskutera dessa regler i detalj:

Konstant regel för derivat

Konstantregeln för derivator ges av:

(d/dx) konstant = 0

Maktregel för derivat

Effektregeln för derivat ges av:

(d/dx) x n = nx n-1

Summskillnadsregel för derivat

Summa- och skillnadsregeln för derivator ges av:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Produktregel för derivat

Produktregeln för derivat ges av:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Quotientregel för derivat

Kvotregeln för derivat ges av:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] 2

Kedjeregel för derivat

Kedjeregeln för derivata ges av:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Lista över derivatformler

Derivatformlerna för de olika funktionerna listas nedan:

Exponentiella och logaritmiska derivatformler

Derivatformlerna för exponential- och logaritmfunktionerna listas nedan:

  • (d/dx) ex= ochx
  • (d/dx) ax= axln a
  • (d/dx) ln x = (1/x)
  • (d/dx) loggax= (1/x lna)

Läs mer,

  • Logaritmer
  • Derivat av exponentialfunktioner

Trigonometriska derivatformler

Derivatformlerna för de trigonometriska funktionerna listas nedan:

  • (d/dx) sin x = cos x
  • (d/dx) cos x = -sin x
  • (d/dx) tan x = sek2x
  • (d/dx) barnsäng x = -cosec2x
  • (d/dx) sek x = sek x tan x
  • (d/dx) cosec x = – cosec x cot x

Lära sig mer om Derivat av trigonometriska funktioner .

Derivatformel för inversa trigonometriska funktioner

Derivatformlerna för de inversa trigonometriska funktionerna listas nedan:

  • (d/dx) utan-1x = 1/[√(1 – x2)]
  • (d/dx) cos-1x = 1/[√(1 – x2)]
  • (d/dx) alltså-1x = 1/(1 + x2)
  • (d/dx) spjälsäng-1x = -1/(1 + x2)
  • (d/dx) sek-1x = 1/[|x|√(x2- 1)]
  • (d/dx) cosec-1x = -1/[|x|√(x2- 1)]

Läs mer, Derivat av omvända trigfunktioner .

Derivat av hyperboliska funktioner

Derivatformlerna för de trigonometriska funktionerna listas nedan:

  • (d/dx) sinh x = cosh x
  • (d/dx) cosh x = sinh x
  • (d/dx) tanh x = varje2x
  • (d/dx) coth x = -cosech2x
  • (d/dx) själv x = -själv x tanh x
  • (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Några andra derivatformler

Det finns några andra funktioner som implicita funktioner, parametriska funktioner och högre ordningsderivat vars derivatformler listas nedan:

Implicit derivatformel

Metoden för att hitta derivatan av en implicit funktion kallas implicit differentiering. Låt oss ta ett exempel för att förstå metoden för att hitta derivat implicit.

Exempel: Hitta derivatan av xy = 2

Lösning:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

Från given ekvation y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x2)

partiellt beroende

Lära sig mer om Implicit differentiering .

Parametrisk derivatformel

Om funktionen y(x) uttrycks i termerna av den tredje variabeln t och x och y kan representeras i x = f(t) och y = g(t), så kallas denna typ av funktion som parametrisk funktion.

Om y är en funktion av x och x = f(t) och y = g(t) är två differentierbara funktioner av parameter t, så ges derivatan av parametrisk funktion av:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), så att (dx/dt) ≠ 0

Läs mer om Parametrisk differentiering .

Formel för högre ordningsderivat

Att hitta derivatan av en funktion för mer än en gång ger den högre ordningens derivata av en funktion.

n th Derivat = d n y/(dx) n

Läs mer om Högre ordningsderivat .

Hur hittar man derivaten?

För att hitta derivatorna av en funktion följer vi stegen nedan:

  • Kontrollera först typen av funktion om den är algebraisk, trigonometrisk etc.
  • Efter att ha hittat typen, använd motsvarande derivatformler på funktionen.
  • Det resulterande värdet ger derivatan av funktionen med hjälp av derivatformeln.

Tillämpningar av derivatformel

Det finns många tillämpningar av derivatformlerna. Några av dessa applikationer listas nedan:

  • Derivat används för att hitta förändringstakten i valfri kvantitet.
  • Den kan användas för att hitta maxima och minima.
  • Det används i ökande och minskande funktioner.

Människor ser också:

  • Differentieringsformler
  • Differentierings- och integrationsformel
  • Logaritmisk differentiering

Lösta exempel på derivatformel

Exempel 1: Hitta derivatan av x 5 .

Lösning:

Låt y = x5

⇒ y' = (d/dx) [x5]

⇒ y' = 5(x5-1)

⇒ y' = 5x4

Exempel 2: Hitta derivatan av log 2 x.

Lösning:

Låt y = logga2x

⇒ y’ = (d/dx) [log2x]

⇒ y' = 1/ [x ln2]

Exempel 3: Hitta derivatan av funktionen f(x) = 8 . 6 x

Lösning:

f(x) = 8 . 6x

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6x]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6x]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Exempel 4: Hitta derivatan av funktionen f(x) = 3sinx + 2x

Lösning:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Exempel 5: Hitta derivatan av funktionen f(x) = 5cos -1 x + e x

Lösning:

f(x) = 5cos-1x + ex

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos-1x + ex]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos-1x] + (d/dx)[ex]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos-1x] + (d/dx)[ex]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x2)] + ochx

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x2)] + ochx

Öva problem på derivatformel

Problem 1: Utvärdera: (d/dx) [x4].

Problem 2: Hitta derivatan av y = 5cos x.

Problem 3: Hitta derivatan av y = cosec x + cot x.

Problem 4: Hitta derivatan av f(x) = 4x+ logg3x + så-1x.

Problem 5: Utvärdera: (d/dx) [40].

Problem 6: Hitta derivatan av f(x) = x5+ 5x3+ 1 .

Vanliga frågor om derivatformel

Vad är derivat?

Värdet som representerar hastigheten för funktionsändring i förhållande till någon variabel kallas derivatan.

Hur representeras derivaten?

Derivaterna representeras som (d/dx) eller om f(x) är en funktion så representeras derivatan av f(x) som f'(x).

Hur beräknas derivatan av en konstant?

Derivatan av en konstant är alltid noll. I matematisk notation, om 'C' är en konstant, då är dC/dx = 0.

Skriv den allmänna derivatformeln för xn.

Den allmänna formeln för derivata av xn= nxn-1.

slå samman sorteringsalgoritm

Hur beräknar man funktionsderivatan?

För att beräkna derivatan av en funktion kan vi tillämpa derivatformeln enligt en given funktion.

Vad är formeln för derivata av logaritmisk funktion?

Derivatan av den naturliga logaritmfunktionen, ln(x), är 1/x. I matematisk notation, om y = ln(x), då dy/dx = 1/x.

Vilken formel används för att hitta derivata av exponentialfunktioner?

Derivatan av en exponentialfunktion, y = ax(där 'a' är en konstant), hittas med formeln dy/dx = ax× ln(a).

Vad är högre ordningsderivat?

Högre ordningens derivator är derivator av en funktion som tas mer än en gång. Den andra derivatan är derivatan av den första, den tredje är derivatan av den andra och så vidare.

Vad är derivatformel för t.exx?

Derivatan av funktionen f(x) = ex(där 'e' är Eulers tal, ungefär 2,71828) är helt enkelt f'(x) = ex.

Skriv derivatformel för u/v.

Derivatan av kvoten av två funktioner u(x) och v(x) ges av kvotregeln:

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v 2 )

Vad är derivatformel för 1/x?

Derivatan av funktionen f(x) = 1/x ges av:

f'(x) = -1/x 2