Akut, trubbig, likbent, liksidig... När det gäller trianglar finns det många olika varianter, men bara ett fåtal som är 'speciella'. Dessa speciella trianglar har sidor och vinklar som är konsekventa och förutsägbara och kan användas för att ta dig igenom dina geometri- eller trigonometriproblem. Och en 30-60-90 triangel – uttalas 'trettiosexti nittio' – råkar verkligen vara en mycket speciell typ av triangel.
I den här guiden går vi igenom vad en 30-60-90 triangel är, varför den fungerar och när (och hur) du ska använda din kunskap om den. Så låt oss komma till det!
Vad är en 30-60-90 triangel?
En 30-60-90 triangel är en speciell rätvinklig triangel (en rätvinklig triangel är vilken triangel som helst som innehåller en 90 graders vinkel) som alltid har graders vinklar på 30 grader, 60 grader och 90 grader. Eftersom det är en speciell triangel har den också sidlängdsvärden som alltid står i ett konsekvent förhållande till varandra.
Det grundläggande triangelförhållandet 30-60-90 är:
Sida motsatt 30°-vinkeln: $x$
Sida motsatt 60°-vinkeln: $x * √3$
Sida motsatt 90°-vinkeln: x$
Till exempel kan en 30-60-90 graders triangel ha sidlängder på:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
java klassdiagram
(Varför är det längre benet 3? I den här triangeln är det kortaste benet ($x$) $√3$, så för det längre benet är $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. Och hypotenusan är 2 gånger det kortaste benet, eller √3$)
Och så vidare.
Sidan mitt emot 30°-vinkeln är alltid minst , eftersom 30 grader är den minsta vinkeln. Sidan mitt emot 60°-vinkeln kommer att vara mittlängden , eftersom 60 grader är den medelstora gradvinkeln i denna triangel. Och slutligen, sidan mitt emot 90° vinkeln kommer alltid att vara den största sidan (hypotenusan) eftersom 90 grader är den största vinkeln.
Även om det kan se ut som andra typer av rätvinkliga trianglar, är anledningen till att en 30-60-90 triangel är så speciell att du bara behöver tre uppgifter för att hitta varannan mätning. Så länge du vet värdet av två vinkelmått och en sidlängd (spelar ingen roll vilken sida), vet du allt du behöver veta om din triangel.
Till exempel kan vi använda triangelformeln 30-60-90 för att fylla i alla återstående informationsblanketter i trianglarna nedan.
Exempel 1
Vi kan se att detta är en rätvinklig triangel där hypotenusan är dubbelt så lång som ett av benen. Detta betyder att detta måste vara en 30-60-90 triangel och den mindre givna sidan är mittemot 30°.
Det längre benet måste därför vara mitt emot 60°-vinkeln och mäta * √3$, eller √3$.
Exempel 2
int till char
Vi kan se att detta måste vara en 30-60-90 triangel eftersom vi kan se att detta är en rätvinklig triangel med ett givet mått, 30°. Den omarkerade vinkeln måste då vara 60°.
Eftersom 18 är måttet mitt emot 60°-vinkeln måste det vara lika med $x√3$. Det kortaste benet måste då mäta /√3$.
(Observera att benlängden faktiskt blir /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ eftersom en nämnare inte kan innehålla en radikal/kvadratrot).
Och hypotenusan blir (18/√3)$
(Observera att du återigen inte kan ha en radikal i nämnaren, så det slutliga svaret blir verkligen 2 gånger benlängden på √3$ => √3$).
Exempel 3
Återigen får vi två vinkelmått (90° och 60°), så det tredje måttet blir 30°. Eftersom detta är en 30-60-90 triangel och hypotenusan är 30, kommer det kortaste benet att vara lika med 15 och det längre benet blir lika med 15√3.
Inget behov av att konsultera den magiska åttabollen – dessa regler fungerar alltid.
Varför det fungerar: 30-60-90 Triangelsatsbevis
Men varför fungerar den här speciella triangeln som den gör? Hur vet vi att dessa regler är legitima? Låt oss gå igenom exakt hur 30-60-90 triangelsatsen fungerar och bevisa varför dessa sidolängder alltid kommer att vara konsekventa.
Låt oss först glömma räta trianglar för en sekund och titta på en liksidig triangel.
En liksidig triangel är en triangel som har alla lika sidor och alla lika vinklar. Eftersom en triangels inre vinklar alltid summerar till 180° och 0/3 = 60$, en liksidig triangel har alltid tre 60° vinklar.
Låt oss nu sänka en höjd från den översta vinkeln till triangelns bas.
Vi har nu skapade två räta vinklar och två kongruenta (lika) trianglar.
Hur vet vi att de är lika trianglar? Eftersom vi tappade en höjd från en liksidig triangel, vi har delat basen exakt på mitten. De nya trianglarna delar också en sidolängd (höjden), och de har var och en samma hypotenusalängd. Eftersom de delar tre sidolängder gemensamt (SSS), betyder detta trianglarna är kongruenta.
Notera: inte bara är de två trianglarna kongruenta baserade på principerna för sido-side-sidelängder, eller SSS, utan också baserade på sidovinkel-sidomått (SAS), vinkel-vinkel-sida (AAS) och vinkel- sidovinkel (ASA). I grund och botten? De är definitivt kongruenta.
Nu när vi har bevisat överensstämmelsen mellan de två nya trianglarna kan vi se att de översta vinklarna var och en måste vara lika med 30 grader (eftersom varje triangel redan har vinklar på 90° och 60° och måste läggas till 180°). Detta betyder vi har gjort två 30-60-90 trianglar.
kat timpf höjd
Och eftersom vi vet att vi skär basen av den liksidiga triangeln på mitten, kan vi se att sidan mitt emot 30° vinkeln (den kortaste sidan) av var och en av våra 30-60-90 trianglar är exakt halva längden på hypotenusan .
Så låt oss kalla vår ursprungliga sidolängd $x$ och vår halverade längd $x/2$.
Nu är det bara att hitta vår längd på mitten som de två trianglarna delar. För att göra detta kan vi helt enkelt använda Pythagoras sats.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
Så vi har: $x/2, {x√3}/2, x$
Låt oss nu multiplicera varje mått med 2, bara för att göra livet enklare och undvika alla bråk. På så sätt står vi kvar med:
$x$, $x√3$, x$
Vi kan därför se att en 30-60-90 triangel kommer alltid ha konsekventa sidolängder på $x$, $x√3$ och x$ (eller $x/2$, ${√3x}/2$ och $x$).
Lyckligtvis för oss kan vi bevisa att 30-60-90 triangelregler är sanna utan allt detta.
När ska man använda 30-60-90 triangelregler
Att känna till 30-60-90-triangelreglerna kommer att kunna spara tid och energi på en mängd olika matematiska problem, nämligen en mängd olika geometri- och trigonometriproblem.
Geometri
Korrekt förståelse av 30-60-90-trianglarna kommer att tillåta dig att lösa geometrifrågor som antingen skulle vara omöjliga att lösa utan att känna till dessa kvotregler, eller åtminstone skulle ta avsevärd tid och ansträngning att lösa den 'långa vägen'.
Med de speciella triangelförhållandena kan du räkna ut saknade triangelhöjder eller benlängder (utan att behöva använda Pythagoras sats), hitta arean av en triangel genom att använda information om höjd eller baslängd som saknas och snabbt beräkna omkretsar.
Varje gång du behöver snabbhet för att svara på en fråga kommer det att vara praktiskt att komma ihåg genvägar som dina 30-60-90-regler.
Trigonometri
Genom att memorera och förstå triangelförhållandet 30-60-90 kan du också lösa många trigonometriproblem utan att vare sig behöva en miniräknare eller att behöva approximera dina svar i decimalform.
En 30-60-90 triangel har ganska enkla sinus, cosinus och tangenter för varje vinkel (och dessa mätningar kommer alltid att vara konsekventa).
Sinus på 30° kommer alltid att vara /2$.
Cosinus på 60° kommer alltid att vara /2$.
Även om de andra sinus, cosinus och tangenter är ganska enkla, är det de två som är lättast att memorera och kommer sannolikt att dyka upp på tester. Så genom att känna till dessa regler kan du hitta dessa trigonometrimätningar så snabbt som möjligt.
Tips för att komma ihåg 30-60-90-reglerna
Du vet att dessa 30-60-90-förhållanderegler är användbara, men hur håller du informationen i ditt huvud? Att komma ihåg triangelreglerna 30-60-90 är en fråga om att komma ihåg förhållandet 1: √3 : 2, och att veta att den kortaste sidlängden alltid är motsatt den kortaste vinkeln (30°) och den längsta sidlängden alltid är motsatt största vinkeln (90°).
Vissa människor memorerar förhållandet genom att tänka, ' $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' eftersom '1, 2, 3'-följden vanligtvis är lätt att komma ihåg. Den enda försiktighetsåtgärden för att använda denna teknik är att komma ihåg att den längsta sidan faktiskt är x$, inte $x$ gånger $√3$.
Ett annat sätt att komma ihåg dina förhållanden är att använd en mnemonisk ordlek på förhållandet 1:rot 3:2 i rätt ordning. Till exempel, 'Jackie Mitchell slog ut Lou Gehrig och 'vann Ruthy också'': en, rot tre, två. (Och det är en sann basebollhistoria!)
Lek runt med dina egna mnemoniska enheter om dessa inte tilltalar dig – sjung förhållandet till en låt, hitta dina egna 'ett, rot tre, två'-fraser eller kom på en dikt. Du kan till och med bara komma ihåg att en 30-60-90 triangel är en halv liksidig och räkna ut måtten därifrån om du inte gillar att memorera dem.
inaktivera utvecklarläget
Men det är vettigt för dig att komma ihåg dessa 30-60-90-regler, håll dessa förhållanden ditt huvud för dina framtida frågor om geometri och trigonometri.
Memorering är din vän, hur du än kan få det att hända.
Exempel 30-60-90 Frågor
Nu när vi har tittat på hur och varför för 30-60-90 trianglar, låt oss arbeta igenom några övningsproblem.
Geometri
En byggnadsarbetare lutar en 40-fots stege upp mot sidan av en byggnad i en vinkel på 30 grader från marken. Marken är plan och byggnadens sida är vinkelrät mot marken. Hur långt upp i byggnaden når stegen, till närmaste fot?
Utan att känna till våra 30-60-90 speciella triangelregler skulle vi behöva använda trigonometri och en miniräknare för att hitta lösningen på detta problem, eftersom vi bara har en sidomått på en triangel. Men eftersom vi vet att detta är en särskild triangel kan vi hitta svaret på bara några sekunder.
Om byggnaden och marken är vinkelräta mot varandra måste det betyda att byggnaden och marken bildar en rät (90°) vinkel. Det är också givet att stegen möter marken i 30° vinkel. Vi kan därför se att den återstående vinkeln måste vara 60°, vilket gör detta till en 30-60-90 triangel.
Nu vet vi att hypotenusan (längsta sidan) på denna 30-60-90 är 40 fot, vilket betyder att den kortaste sidan kommer att vara hälften av den längden. (Kom ihåg att den längsta sidan alltid är två gånger—x$—så lång som den kortaste sidan.) Eftersom den kortaste sidan är motsatt vinkeln på 30°, och den vinkeln är gradmåttet på stegen från marken, betyder det att toppen av stegen träffar byggnaden 20 fot från marken.
Vårt slutliga svar är 20 fot.
Trigonometri
Om, i en rätvinklig triangel, sin Θ = /2$ och den kortaste benlängden är 8. Hur lång är den saknade sidan som INTE är hypotenusan?
Eftersom du kan dina 30-60-90-regler kan du lösa detta problem utan att behöva vare sig pythagoras sats eller en miniräknare.
Vi fick höra att detta är en rätvinklig triangel, och vi vet från våra speciella rätvinkliga regler att sinus 30° = /2$. Den saknade vinkeln måste därför vara 60 grader, vilket gör detta till en 30-60-90 triangel.
Och eftersom detta är en 30-60-90 triangel, och vi fick veta att den kortaste sidan är 8, måste hypotenusan vara 16 och den saknade sidan måste vara * √3$, eller √3$.
Vårt slutliga svar är 8√3.
hur man skapar en array i java
Take-Aways
Att komma ihåg regler för 30-60-90 trianglar hjälper dig att ta dig igenom en mängd olika matematiska problem . Men kom ihåg att även om att känna till dessa regler är ett praktiskt verktyg att ha i bältet, kan du fortfarande lösa de flesta problem utan dem.
Håll reda på reglerna för $x$, $x√3$, x$ och 30-60-90 på vilket sätt som helst som är meningsfullt för dig och försök att hålla dem raka om du kan, men få inte panik om ditt sinne slocknar när det är dags för knas. Hur som helst, du har det här.
Och om du behöver mer övning, gå vidare och kolla in det här 30-60-90 triangelquiz . Lycka till med provtagningen!