Integrering av delar: Integration av delar är en teknik som används i kalkyl för att hitta integralen av produkten av två funktioner. Det är i huvudsak en omkastning av produktregeln för differentiering.

Att integrera en funktion är inte alltid lätt ibland måste vi integrera en funktion som är multipeln av två eller flera funktioner i det här fallet om vi måste hitta den integration vi måste använda integration per del koncept, som använder två produkter av två funktioner och berättar hur man hittar deras integration.

Låt oss nu lära oss om Integration av delar, dess formel, härledning och andra i detalj i den här artikeln.

Vad är Integration by Parts?

Integration per del är den teknik som används för att hitta integreringen av produkten av två eller flera funktioner där integrationen inte kan utföras med normala tekniker. Anta att vi har två funktioner f(x) och g(x) och vi måste hitta integrationen av deras produkt, dvs. ∫ f(x).g(x) dx där det inte är möjligt att ytterligare lösa produkten av denna produkt f(x).g(x).

Denna integration uppnås med formeln:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

där f'(x) är den första differentieringen av f(x).

Denna formel läses som:

Integration av den första funktionen multiplicerad med den andra funktionen är lika med (Första funktionen) multiplicerad med (Integration av den andra funktionen) – Integration av (Differentiering av den första funktionen multiplicerad med Integration av den andra funktionen).

Från formeln ovan kan vi enkelt observera att valet av den första funktionen och den andra funktionen är mycket viktigt för framgången med denna formel, och hur vi väljer den första funktionen och den andra funktionen diskuteras vidare i den här artikeln.

Vad är partiell integration?

Partiell integration, även känd som integrering av delar, är en teknik som används i kalkyl för att utvärdera integralen av en produkt av två funktioner. Formeln för partiell integration ges av:

alfabetet i siffror

∫ u dv = uv – ∫ v du

där u och v är differentierbara funktioner av x. Denna formel tillåter oss att förenkla integralen av en produkt genom att dela upp den i två enklare integraler. Tanken är att välja u och dv så att den nya integralen på höger sida är lättare att utvärdera än den ursprungliga på vänster sida. Denna teknik är särskilt användbar när det gäller produkter av funktioner som inte har enkla antiderivat.

Partiell integrations historia

Integration by part koncept föreslogs först av den berömda Brook Taylor i sin bok 1715. Han skrev att vi kan hitta integrationen av produkten av två funktioner vars differentieringsformler existerar. Vissa viktiga funktioner har inte integrationsformler och deras integration uppnås med hjälp av integration genom att de tar del av dem som en produkt av två funktioner. Till exempel kan ∫ln x dx inte beräknas med normala integrationstekniker. Men vi kan integrera det med tekniken Integration by part och ta det som en produkt av två funktioner, det vill säga ∫1.ln x dx.

Integration By Parts Formel

Integration by parts formel är formeln som hjälper oss att uppnå integreringen av produkten av två eller flera funktioner. Antag att vi måste integrera produkten av två funktioner som

∫u.v dx

där u och v är funktionerna av x, då kan detta uppnås med,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Ordningen att välja den första funktionen och den andra funktionen är mycket viktig och konceptet som används i de flesta fall för att hitta den första funktionen och den andra funktionen är ILATE-konceptet.

Med hjälp av ovanstående formel och ILATE-konceptet kan vi enkelt hitta integreringen av produkten av två funktioner. Formeln för integration efter del visas i bilden nedan,

Härledning av integration genom delar formel

Integration By Parts Formel härleds med hjälp av produktregeln om differentiering. Anta att vi har två funktioner i och i och x då uppnås derivatan av deras produkt med formeln,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Nu för att härleda integrationen av delar-formeln med hjälp av produktregeln om differentiering.

Ordna om villkoren

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integrering av båda sidor med avseende på x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

förenkla,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Således härleds formeln för integration av delar.

ILATE-regel

ILATE-regeln berättar om hur man väljer den första funktionen och den andra funktionen samtidigt som man löser integrationen av produkten av två funktioner. Anta att vi har två funktioner av x u och v och vi måste hitta integrationen av deras produkt, sedan väljer vi den första funktionen och ILATE-regeln.

Den fullständiga formen för ILATE diskuteras i bilden nedan,

ILATE Regel för partiell integration

ILATE-reglerna ger oss hierarkin att ta den första funktionen, det vill säga om en funktion i den givna produkten av funktionen är en logaritmisk funktion och en annan funktion är en trigonometrisk funktion. Nu tar vi den logaritmiska funktionen som den första funktionen eftersom den kommer ovan i hierarkin av ILATE-regeln på samma sätt, vi väljer den första och andra funktionen därefter.

NOTERA: Det är inte alltid lämpligt att använda ILATE-regeln ibland används andra regler för att hitta den första funktionen och den andra funktionen.

Hur hittar man integration efter del?

Integration per del används för att hitta integreringen av produkten av två funktioner. Vi kan uppnå detta genom att använda stegen som diskuteras nedan,

Antag att vi måste förenkla ∫uv dx

Steg 1: Välj den första och den andra funktionen enligt ILATE-regeln. Antag att vi tar u som den första funktionen och v som den andra funktionen.

Steg 2: Differentiera u(x) med avseende på x, dvs. Utvärdera du/dx.

Steg 3: Integrera v(x) med avseende på x, dvs. Utvärdera ∫v dx.

Använd resultaten från steg 1 och steg 2 i formeln,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Steg 4: Förenkla formeln ovan för att få den nödvändiga integrationen.

Upprepad integration av delar

Upprepad integration av delar är en förlängning av tekniken för integration av delar i kalkyl. Det används när du har en produkt av funktioner som kräver integration flera gånger för att hitta antiderivatan. Processen innebär att man tillämpar integreringsformeln iterativt tills du når en punkt där den resulterande integralen är lätt att utvärdera eller har en känd form.

När du tillämpar den här formeln upprepade gånger skulle du börja med en integral som involverar en produkt av två funktioner, och sedan tillämpa integration efter delar för att bryta ner den i enklare integraler. Du skulle sedan fortsätta denna process på de resulterande integralerna tills du når en punkt där ytterligare applikationer är onödiga eller där integralerna blir hanterbara.

Här är ett steg-för-steg-exempel på hur upprepad integrering av delar fungerar:

1. Börja med en integral av en produkt av två funktioner: ∫ u dv.
2. Använd integreringsformeln för att få: uv – ∫ v du.
3. Om den nya integralen som erhålls på höger sida fortfarande innefattar en produkt av funktioner, tillämpa integrering med delar igen för att bryta ner den ytterligare.
4. Fortsätt denna process tills du får en enklare integral som enkelt kan utvärderas eller en som matchar en känd integralform.

Tabellintegration efter delar

Tabellintegration, även känd som tabellmetoden eller metoden för tabellintegration, är en alternativ teknik för att utvärdera integraler som involverar upprepad tillämpning av integration av delar. Denna metod är särskilt användbar när det gäller integraler där produkten av funktioner kan integreras flera gånger för att nå ett enkelt resultat.

Den tabellformade metoden organiserar den upprepade integrationen av delar till en tabell, vilket gör det lättare att hålla reda på termerna och förenkla integralen effektivt. Så här fungerar tabellmetoden:

1. Börja med att skriva ner funktionerna som ingår i integralen i två kolumner: en för funktionen att differentiera (u) och en annan för funktionen att integrera (dv).
   • Börja med funktionen för att integrera (dv) i den vänstra kolumnen och funktionen för att differentiera (u) i den högra kolumnen.
2. Fortsätt att differentiera funktionen i kolumnen u tills du når noll eller en konstant. Vid varje steg, integrera funktionen i dv-kolumnen tills du når en punkt där ytterligare integration inte är nödvändig.
3. Multiplicera termerna diagonalt och alternera tecknen (+ och -) för varje term. Sammanfatta dessa produkter för att hitta resultatet av integrationen.

Här är ett exempel för att illustrera tabellintegrationsmetod :

Låt oss utvärdera integralen ∫x sin(x) dx.

vad gör ravel i python

• Steg 1: Skapa en tabell med två kolumner för u (funktion för att differentiera) och dv (funktion för att integrera):

• Steg 2: Differentiera funktionen i u-kolumnen och integrera funktionen i dv-kolumnen:

• Steg 3: Multiplicera termerna diagonalt och alternera tecknen:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Så resultatet av integralen ∫x sin(x) dx är -x cos(x) + sin(x).

Den tabellformade integrationsmetoden är särskilt användbar när man hanterar integraler som involverar funktioner som upprepas vid differentiering eller integration, vilket möjliggör ett systematiskt och organiserat tillvägagångssätt för att hitta antiderivatan.

Tillämpningar av integration per delar

Integration by Parts har olika tillämpningar i integralkalkyl, den används för att hitta integrationen av funktionen där normala integrationstekniker misslyckas. Vi kan enkelt hitta integrationen av inversa och logaritmiska funktioner genom att använda konceptet integration av delar.

Vi kommer att hitta integrationen av den logaritmiska funktionen och Arctan-funktionen med hjälp av integration med delregel,

Integration av logaritmisk funktion (log x)

Integration av invers logaritmisk funktion (log x) uppnås med hjälp av formeln Integration by part. Integrationen diskuteras nedan,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Med log x som första funktion och 1 som andra funktion.

Använder ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Vilket är den nödvändiga integrationen av logaritmisk funktion.

Integration av omvänd trigonometrisk funktion (tan^-1x)

Integration av omvänd trigonometrisk funktion (tan^-1x) uppnås med hjälp av Integration by Part-formel. Integrationen diskuteras nedan,

∫ så^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

vad är bikupa

Tar solbränna^-1x som den första funktionen och 1 som den andra funktionen.

Använder ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = brun^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = brun^-1x. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = x. så^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫tan^-1x.dx = x. så^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Vilket är den nödvändiga integrationen av invers trigonometrisk funktion.

Verkliga tillämpningar av partiell integration

Några av de vanliga verkliga tillämpningarna av partiell integration är:

• Hitta antiderivat
  • Inom teknik och fysik används partiell integration för att hitta antiderivator av funktioner som representerar fysiska storheter. Till exempel, inom mekanik, används det för att härleda rörelseekvationer från kraft- och accelerationsekvationerna.
• Wallis produkt
  • Wallis-produkten, en oändlig produktrepresentation av pi, kan härledas med hjälp av partiella integrationstekniker. Denna produkt har tillämpningar inom områden som talteori, sannolikhetsteori och signalbehandling.
• Gammafunktionsidentitet
  • Gammafunktionen, som utökar faktorfunktionen till komplexa tal, har olika tillämpningar inom matematik, fysik och teknik. Partiell integration används för att bevisa identiteter som involverar gammafunktionen, som är avgörande inom områden som sannolikhetsteori, statistisk mekanik och kvantmekanik.
• Användning i övertonsanalys
  • Partiell integration spelar en betydande roll i harmonisk analys, särskilt i Fourier-analys. Det används för att härleda egenskaper hos Fouriertransformer, såsom faltningssatsen och egenskaper hos Fourierserier. Dessa resultat tillämpas inom områden som signalbehandling, bildanalys och telekommunikation.

Integration av Parts Formler

Vi kan härleda integrationen av olika funktioner med hjälp av konceptet integration by parts. Några av de viktiga formler som härleds med denna teknik är

• ∫ och^x(f(x) + f'(x)).dx = e^xf(x) + C
• ∫√(x²+ a²).dx = ½ . x.√(x²+ a²)+ a²/2. log|x + √(x²+ a²)| + C
• ∫√(x²– a²).dx =½ . x.√(x²– a²) – a²/2. log|x +√(x²– a²) | C
• ∫√(a²– x²).dx = ½ . x.√(a²– x²) + a²/2. utan^-1x/a + C

Exempel på integration genom delar

Exempel 1: Hitta ∫ e ^x x dx.

Lösning:

Låt I = ∫ e^xx dx

Välja u och v med ILATE-regeln

u = x
v = e^x

Differentiera u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^xdx = e^x

Genom att använda formeln Integrering efter del,

⇒ I = ∫ e^xx dx

⇒ I = x ∫e^xdx − ∫1 (∫ t.ex^xdx) dx

⇒ I = xe^x− och^x+ C

konvertera från sträng till heltals java

⇒ I = e^x(x - 1) + C

Exempel 2: Beräkna ∫ x sin x dx.

Lösning:

Låt I = ∫ x sin x dx

Välja u och v med ILATE-regeln

u = x
v = sin x

Differentiera u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Genom att använda formeln Integrering efter del,

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

Exempel 3: Hitta ∫ sin ⁻¹ x dx.

Lösning:

Låt jag= ∫ synda⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.sin⁻¹x dx

Välja u och v med ILATE-regeln

u = synd⁻¹x
v = 1

Differentiera u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Genom att använda formeln Integrering efter del,

⇒ I = ∫ synd⁻¹x dx

execlp

⇒ I = utan⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x sin⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

Låt, t = 1 − x²

Att skilja båda sidorna åt

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ synd⁻¹x dx = x sin⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x sin⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x sin⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ I = x sin⁻¹x + √(1 − x²) + C

Öva problem om integration av delar

1. Integrera xe ^x

2. Integrera x sin(x)

3. Integrera x ² ln(x)

4. Integrera e ^x cos(x)

5. Integrera ln(x)

Vanliga frågor om Integration by Parts

Vad är integration av delar?

Integration av delar är tekniken för att hitta integreringen av produkten av de två funktionerna där de normala integrationsteknikerna misslyckas. Integration med delformeln är,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Vad är formeln för integration med delar?

För två funktioner f(x) och g(x) är integreringsformeln,

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

var f'(x) är differentiering av f(x).

Hur kan man härleda integration genom delformel?

Integration med delformel härleds med hjälp av produktregeln om differentiering.

Varför använder vi integreringsformeln?

Integration av delformel används för att hitta integrationen av funktionen när de normala differentieringsteknikerna misslyckas. Vi kan hitta integrationen av inversa trigonometriska funktioner och logaritmiska funktioner med hjälp av Integration by Part-formel

Vad är tillämpningen av integration av delar?

Integration by part har olika tillämpningar och den grundläggande tillämpningen av den är att den används för att hitta integrationen av funktionen när funktionen ges som en produkt av funktionerna som inte kan förenklas ytterligare. Till exempel ∫ f(x).g(x) dx uppnås med hjälp av Integration by parts.