Invers av en 3 × 3 matris är en matris vilket när det multipliceras med den ursprungliga matrisen ger identitetsmatris som produkt. Invers av en matris är en grundläggande aspekt av linjär algebra. Denna process spelar en avgörande roll för att lösa linjära ekvationssystem och olika matematiska tillämpningar. För att beräkna inversen krävs det att man beräknar den adjoint matrisen, kontrollera matrisens inverterbarhet genom att undersöka dess determinant (som inte bör vara lika med noll) och tillämpa en formel för att härleda den inversa matrisen.

Den här artikeln täcker de olika begreppen av inversen av 3 × 3-matrisen och hur man hittar inversen av 3 × 3-matrisen genom att beräkna kofaktorer, adjoints och determinanter för 3 × 3-matrisen. Längre fram i den här artikeln hittar du också lösta exempel för bättre förståelse, och övningsfrågor tillhandahålls också för att kontrollera vad vi har lärt oss av detta.

Innehållsförteckning

• Vad är inversen av 3 × 3 matris?
• Hur hittar man inversen av 3 × 3 matris?
• Element som används för att hitta invers av 3 × 3 matris
• Invers av 3 × 3 matrisformel
• Hitta invers av 3 × 3 matris med hjälp av radoperationer

Vad är inversen av 3 × 3 matris?

Inversen av en 3 × 3-matris är en matris som, när den multipliceras med den ursprungliga matrisen, resulterar i identitetsmatrisen. För att hitta inversen kan du beräkna den adjoint matrisen, bestämma om matrisen är inverterbar (icke-singular) genom att kontrollera dess determinant (som inte ska vara lika med noll) och sedan tillämpa formeln A^-1= (adj A) / (det A). Den omvända matrisen låter dig lösa linjära ekvationssystem och utföra olika matematiska operationer.

Hur hittar man inversen av 3 × 3 matris?

Följ stegen nedan för att hitta inversen av 3 × 3-matrisen:

Steg 1: Kontrollera först om matrisen kan inverteras. För att göra detta, beräkna matrisens determinant. Om determinanten inte är noll, fortsätt till nästa steg.

Steg 2: Beräkna determinanten för mindre 2 × 2 matriser inom den större matrisen.

Steg 3: Skapa kofaktormatrisen.

Steg 4: Skaffa Adjugatet eller Adjoint för matrisen genom att transponera kofaktormatrisen.

Steg 5: Dela slutligen varje element i adjugatmatrisen med determinanten för den ursprungliga 3x3-matrisen.

Relaterad läsning

• Cofactor och Minors of Matrix
• Transponering av matris

Element som används för att hitta invers av 3 × 3 matris

Det finns huvudsakligen två element som används för att hitta inversen av en 3 × 3 matris:

• Adjoint av Matrix
• Determinant av matris

Sammanfogning av en 3 × 3 matris

De anslutning till en matris A hittas genom att ta transponeringen av kofaktormatrisen för A. För att beräkna adjunkten för en matris i detalj, följ instruktionerna.

För en 3 × 3 matris är kofaktorn för något element determinant av en 2 × 2 matris bildad genom att ta bort raden och kolumnen som innehåller det elementet. När man hittar kofaktorer växlar man mellan positiva och negativa tecken.

Till exempel, givet matris A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Minor-matrisen erhålls enligt följande:

global var i js

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Beräkna determinanterna för 2 × 2-matriserna som bildas genom att multiplicera diagonalt och subtrahera produkterna från vänster till höger, dvs. Minor.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Så kofaktormatrisen är:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Genom att transponera kofaktormatrisen får vi den adjoint matrisen.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

java-array till listan

Determinant av en 3 × 3 matris

Med samma exempel som vi har diskuterat ovan kan vi beräkna determinanten för matris A

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Beräkna determinanten av matris med hjälp av den första raden,

Det A = 2(kofaktor av 2) + 1(kofaktor av 1) + 3(kofaktor av 3)

Det A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

Det A = 2 + 4 – 6

Det A = 0

Du kan kolla Knep för att beräkna determinant för en 3×3-matris

Invers av 3 × 3 matrisformel

För att hitta inversen av en 3 × 3 matris A, kan du använda formeln A-1 = (adj A) / (det A), där:

textstorlek latex

• adj A är den angränsande matrisen till A.
• det A är determinanten för A.

För att A-1 ska existera bör det A inte vara lika med noll. Detta betyder:

• A^-1existerar när det A inte är noll (A är ickesingular).
• A^-1existerar inte när det A är noll (A är singular).

Här är stegen för att hitta inversen av en 3 × 3 matris, med samma exempel:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Steg 1: Beräkna den adjoint matrisen (adj A).

För att hitta den angränsande matrisen, byt ut elementen i A med deras motsvarande kofaktorer.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Steg 2: Hitta determinanten för A (det A).

För att beräkna determinanten för A kan du använda formeln för en 3 × 3 matris. I detta fall är det A = -8.

Steg 3: Använd formeln A^-1= (adj A) / (det A) för att hitta den omvända matrisen A^-1.

Dela varje element i den adjoint matrisen med determinanten av A:

A ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

När det gäller att förenkla bråken,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Hitta invers av 3 × 3 matris med hjälp av radoperationer

För att hitta inversen av en 3×3-matris kan du följa dessa steg:

Steg 1: Börja med den givna 3×3-matrisen A och skapa en identitetsmatris I av samma storlek, placera A på vänster sida och I på höger sida av en förstärkt matris, åtskilda av en linje.

Steg 2: Tillämpa en serie radoperationer på den utökade matrisen på vänster sida för att omvandla den till identitetsmatrisen I. Matrisen på höger sida av linjen, som blir A^-1, är inversen av den ursprungliga matrisen A.

Lär dig mer, Elementär drift av matriser

Kolla också

• Typer av matriser
• Inverterbar matris
• Spår av en matris

Lösta exempel på invers av 3 × 3 matris

Exempel 1: Hitta inversen av

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Lösning:

Minor Matrix av D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Mindre matris av D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Kofaktor för matris, dvs X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transponera matris X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Nu kommer vi att hitta determinanten för D med den första raden:

Att D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Att D = 6+0+14

⇒ Att D = 20

Invers av matris D eller D^-1= Adj D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Exempel 2: Hitta inversen av

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Minor av matrisen E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Kofaktor för matris E, dvs X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Låt oss nu hitta determinanten för matris E med den första raden:

selen grunderna

Att E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Att E= -1 + 0 + 1

Att E = 0

∴ Eftersom determinanten för matrisen E är ekvivalent med 0, är ​​inversen av matris E eller E^-1är inte möjligt.

Övningsfrågor på invers av 3 × 3 matris

Q1. Beräkna inversen av följande 3×3-matris:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Hitta inversen av matris B:

vad är myspace

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Bestäm om matrisen C är inverterbar och, i så fall, hitta dess invers:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Beräkna inversen av matrisen D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

F5. För matris E, kontrollera om den är inverterbar och, om den är det, hitta dess invers:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Invers av 3×3 Matrix – Vanliga frågor

1. Vad är inversen av en 3×3-matris?

Inversen av en 3×3-matris är en annan matris som, när den multipliceras med den ursprungliga matrisen, ger identitetsmatrisen.

2. Varför är det viktigt att hitta inversen?

Det är viktigt för att lösa system med linjära ekvationer, transformationer och olika matematiska operationer.

3. Hur beräknar man inversen av en 3×3-matris?

Du hittar vanligtvis den angränsande matrisen, kontrollerar determinantens värde som inte är noll och tillämpar en specifik formel.

4. När existerar inte inversen av en 3×3-matris?

Det existerar inte när determinanten för matrisen är noll, vilket gör den singular.

5. Kan vilken 3×3-matris som helst ha en invers?

Nej, endast icke-singulära matriser med en determinant som inte är noll har inverser.

6. Vilken roll har Adjoint Matrix för att hitta inversen?

Den angränsande matrisen hjälper till att beräkna inversen genom att tillhandahålla kofaktorer för varje element.

7. Inom vilka områden används begreppet 3×3 Matrix inversion allmänt?

Konceptet med 3×3 Matrix inversion används inom teknik, fysik, datorgrafik och olika matematiska discipliner.

8. Hur får man invers av 3×3 Matrix?

För att hitta inversen av en 3×3-matris kan du följa dessa steg:

• Beräkna först matrisens determinant.
• Om determinanten inte är lika med 0, fortsätt till nästa steg. Om det är 0 har matrisen ingen invers.
• Hitta matrisen för minderåriga genom att skapa 3×3 matriser för varje element i den ursprungliga matrisen, exklusive raden och kolumnen för elementet du fokuserar på.
• Beräkna matrisen av kofaktorer genom att applicera ett mönster av plus- och minustecken på elementen i matrisen av minderåriga.
• Transponera matrisen av kofaktorer genom att byta rader med kolumner.
• Dela slutligen den transponerade matrisen av kofaktorer med determinanten för att få inversen av 3×3-matrisen.