logo

TechCodeview

Invers av en matris

De invers av Matrix är den matris som vid multiplicering med den ursprungliga matrisen resulterar i en identitetsmatris. För varje matris A betecknas dess invers som A-1.

invers av matris

Låt oss lära oss mer om matrisinversen i detalj, inklusive dess definition, formel, metoder för hur man hittar inversen av en matris och exempel.



Innehållsförteckning


Matrix invers

Inversen av en matris är en annan matris som, när den multipliceras med den givna matrisen, ger multiplikativ identitet .



För matris A och dess invers av A-1, äger identitetsegendomen.

A.A -1 = A -1 A = jag

var jag är identitetsmatrisen.



Terminologin nedan kan hjälpa dig att förstå det omvända av en matris tydligare och enklare.

Villkor Definition Formel/process Exempel med matris A
Mindre Minor av ett element i en matris är determinanten för matrisen som bildas genom att ta bort raden och kolumnen för det elementet.För element aI j, ta bort den i:te raden och den j:te kolumnen för att bilda en ny matris och hitta dess determinant.Mindre av a elva är avgörande för


A = egin{bmatrix}5 & 6 6 & 7end{bmatrix}

Kofaktor Kofaktorn för ett element är minor av det elementet multiplicerat med (-1) i+j , där i och j är elementets rad- och kolumnindex.Kofaktor för enI j= (-1)i+jMindre av enI j Kofaktor för a elva = (-1) 1+1 × Mindre av a elva = Mindre av a elva
Determinant Determinanten för en matris beräknas som summan av produkterna av elementen i en rad eller kolumn och deras respektive kofaktorer.För en rad (eller kolumn), summera produkten av varje element och dess kofaktor.Determinant för A = a elva ​× Kofaktor för a elva + a 12 × Kofaktor för a 12 + a 13 × Kofaktor för a 13 .
Vice Adjointen till en matris är transponeringen av dess kofaktormatris.Skapa en matris med kofaktorer för varje element i den ursprungliga matrisen och transponera den sedan.Adjoint till A är transponeringen av matrisen som bildas av kofaktorerna för alla element i A.

Singular matris

En matris vars värde på determinanten är noll kallas en singularmatris, d.v.s. vilken matris A som helst kallas en singularmatris om |A| = 0. Invers av en singularmatris finns inte.

Icke-singular matris

En matris vars värde på determinanten är icke-noll kallas en icke-singular matris, d.v.s. vilken matris A som helst kallas en icke-singular matris om |A| ≠ 0. Invers av en icke-singular matris finns.

Identitetsmatris

En kvadratisk matris där alla element är noll utom de huvudsakliga diagonala elementen kallas identitetsmatrisen. Det representeras med I. Det är matrisens identitetselement som för vilken matris A som helst,

A×I = A

Ett exempel på en identitetsmatris är,

jag3×3= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Detta är en identitetsmatris av ordningen 3×3.

Läs mer :

  • Identitetsmatris

Hur hittar man invers av matris?

Det finns två sätt att hitta inversen av en matris i matematik:

  • Använder Matrix Formula
  • Använda omvända matrismetoder

Invers av en matrisformel

Inversen av matris A, det vill säga A-1beräknas med hjälp av inversen av matrisformeln, vilket innebär att man dividerar en matris adjoint med dess determinant.

Invers-av-matris-formel

Invers av en matrisformel

A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}

var,

  • adj A = anslutning till matrisen A, och
  • |A| = determinant för matrisen A.

Notera : Denna formel fungerar bara på kvadratiska matriser.

För att hitta invers av matris med invers av en matrisformel, följ dessa steg.

Steg 1: Bestäm minderåriga för alla A-element.

Steg 2: Beräkna sedan kofaktorerna för alla element och bygg kofaktormatrisen genom att ersätta elementen i A med deras respektive kofaktorer.

Steg 3: Ta transponeringen av A:s kofaktormatris för att hitta dess adjoint (skriven som adj A).

Steg 4: Multiplicera adj A med reciproken av determinanten för A.

Nu, för varje icke-singular kvadratisk matris A,

A -1 = 1 / |A| × Adj (A)

Exempel: Hitta inversen av matrisenA=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]med hjälp av formeln.

Vi har,A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]

Hitta adjointen för matris A genom att beräkna kofaktorerna för varje element och sedan få kofaktormatrisens transponering.

adj A =left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

Hitta värdet på matrisens determinant.

|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)

⇒ |A| = 49

Så inversen av matrisen är,

A-1=frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

⇒ A-1=left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]

Invers matrismetod

Det finns två inversmatrismetoder för att hitta matrisinvers:

  1. Determinantmetod
  2. Elementär transformationsmetod

Metod 1: Determinantmetod

Den viktigaste metoden för att hitta matrisinversen är att använda en determinant.

storleken på pyton

Den inversa matrisen hittas också med följande ekvation:

A -1 = adj(A) / det(A)

var,

  • adj(A) är adjointen till en matris A, och
  • det(A) är determinanten för en matris A.

För att hitta adjoint till en matris A krävs kofaktormatrisen för A. Då är adjoint (A) transponeringen av kofaktormatrisen för A, dvs.

adj (A) = [C I j ] T

  • För kofaktorn för en matris, dvs CI j, kan vi använda följande formel:

C I j = (-1) i+j det m I j )

var M I j hänvisar till (I j) th mindre matris när i th rad och j th kolumnen tas bort.

Metod 2: Elementär transformationsmetod

Följ stegen nedan för att hitta en invers matris genom elementär transformationsmetod.

Steg 1 : Skriv den givna matrisen som A = IA, där I är identitetsmatrisen i samma ordning som A.

Steg 2 : Använd sekvensen av antingen radoperationer eller kolumnoperationer tills identitetsmatrisen uppnås på LHS använd också liknande elementära operationer på RHS så att vi får I = BA. Alltså är matrisen B på RHS inversen av matris A.

Steg 3 : Se till att vi antingen använder Row Operation eller Column Operation när vi utför elementära operationer.

Vi kan enkelt hitta inversen av 2 × 2-matrisen med hjälp av den elementära operationen. Låt oss förstå detta med hjälp av ett exempel.

Exempel: Hitta inversen av 2 × 2, A =egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}med den elementära operationen.

Lösning:

Given:

A = IA

egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}

Nu, R1⇢ R1/2

egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A

R2⇢ R2– R1

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A

R2⇢ R223

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

R1⇢ R1– R2/2

egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

Således är inversen av matrisen A = egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} är

A-1=egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}

Invers av 2×2 matrisexempel

Invers av 2×2-matrisen kan också beräknas med genvägsmetoden förutom metoden som diskuterats ovan. Låt oss överväga ett exempel för att förstå genvägsmetoden för att beräkna inversen av 2 × 2 matris.

För given matris A =egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix}

Vi vet, |A| = (annons – f.Kr.)

och adj A =egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

använd sedan formeln för invers

A-1= (1 / |A|) × Adj A

⇒ A-1=[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

Således beräknas inversen av 2 × 2-matrisen.

Invers av 3X3-matrisexempel

Låt oss ta vilken 3×3 matris A = som helstegin{bmatrix}a & b & c l & m & n p & q & rend{bmatrix}

Inversen av 3×3-matrisen beräknas med hjälp av invers matrisformel ,

A -1 = (1 / |A|) × Adj A

Determinant för invers matris

Determinant för invers matris är den reciproka av determinanten för den ursprungliga matrisen. dvs.

det(A -1 ) = 1 / det(A)

Beviset för ovanstående uttalande diskuteras nedan:

det(A × B) = det (A) × det(B) (vet redan)

⇒ A × A-1= I (med invers matrisegenskap)

⇒ det(A × A-1) = det(I)

⇒ det(A) × det(A-1) = det(I) [ men, det(I) = 1]

⇒ det(A) × det(A-1) = 1

⇒ det(A-1) = 1 / det(A)

Alltså bevisat.

Egenskaper för invers av matris

Invers matris har följande egenskaper:

  • För all icke-singular matris A, (A -1 ) -1 = A
  • För två icke-singulära matriser A och B, (AB) -1 = B -1 A -1
  • Invers av en icke-singular matris existerar, för en singular matris existerar inte inversen.
  • För alla icke-singular A, (A T ) -1 = (A -1 ) T

Relaterad:

Matrix Inverst lösta exempel

Låt oss lösa några exempelfrågor om Inverse of Matrix.

Exempel 1: Hitta inversen av matrisenold{A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]}med hjälp av formeln.

Lösning:

Vi har,

A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]

Hitta adjointen för matris A genom att beräkna kofaktorerna för varje element och sedan få kofaktormatrisens transponering.

adj A =left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

Hitta värdet på matrisens determinant.

|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)

= –3

Så inversen av matrisen är,

A-1=frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

jämförbart gränssnitt i java

=left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]

Exempel 2: Hitta inversen av matrisen A=old{ med hjälp av formeln.}left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Lösning:

Vi har,

A=left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Hitta adjointen för matris A genom att beräkna kofaktorerna för varje element och sedan få kofaktormatrisens transponering.

adj A =left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

Hitta värdet på matrisens determinant.

|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)

= 16

Så inversen av matrisen är,

A-1=frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]

Exempel 3: Hitta inversen av matrisen A=old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] } med hjälp av formeln.

Lösning:

Vi har,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight]

Hitta adjointen för matris A genom att beräkna kofaktorerna för varje element och sedan få kofaktormatrisens transponering.

adj A =left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Hitta värdet på matrisens determinant.

|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)

= 1

Så inversen av matrisen är,

A-1=frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Exempel 4: Hitta inversen av matrisen A=old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] } med hjälp av formeln.

Lösning:

Vi har,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight]

Hitta adjointen för matris A genom att beräkna kofaktorerna för varje element och sedan få kofaktormatrisens transponering.

adj A =left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

Hitta värdet på matrisens determinant.

|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)

= 20

Så inversen av matrisen är,

A-1=frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]

Vanliga frågor om invers av matris

Vad är invers av matris?

Reciprok av en matris kallas inversen av en matris. Endast kvadratiska matriser med determinanter som inte är noll är inverterbara. Antag för vilken kvadratisk matris A som helst med invers matris B att deras produkt alltid är en identitetsmatris (I) av samma ordning.

[A]×[B] = [I]

Vad är Matrix?

Matris är en rektangulär matris av tal som är uppdelade i ett definierat antal rader och kolumner. Antalet rader och kolumner i en matris kallas dess dimension eller ordning.

Vad är inversen av 2×2-matrisen?

För varje matris A eller ordning 3×3 hittas dess invers med formeln,

A -1 = (1 / |A|) × Adj A

Vad är inversen av 3×3-matrisen?

Inversen av en kvadratisk 3×3-matris (säg A) är matrisen av samma ordning betecknad med A-1så att deras produkt är en identitetsmatris av ordningen 3×3.

[A] 3×3 × [A -1 ] 3×3 = [I] 3×3

Är Adjoint och Invers av Matrix samma sak?

Nej, adjointen av en matris och inversen av en matris är inte samma.

Hur använder man Inverse of Matrix?

Inversen av en matris används för att lösa algebraiska uttryck i matrisform. Till exempel, för att lösa AX = B, där A är koefficientmatrisen, X är den variabla matrisen och B är den konstanta matrisen. Här hittas den variabla matrisen med den inversa operationen som,

X = A -1 B

Vad är inverterbara matriser?

De matriser vars invers existerar kallas inverterbara. Inverterbara matriser är matriser som har en determinant som inte är noll.

Varför finns inte invers av 2 × 3 matris?

Inversen av endast en kvadratisk matris existerar. Eftersom 2 × 3-matrisen inte är en kvadratisk matris utan snarare en rektangulär matris, så existerar inte dess invers.

På samma sätt är 2 × 1-matrisen inte heller en kvadratisk matris utan snarare en rektangulär matris, så dess invers existerar inte.

Vad är invers av identitetsmatris?

Det omvända till en identitetsmatris är själva identitetsmatrisen. Detta beror på att identitetsmatrisen, betecknad som jag (eller jag n för en n × n matris), är den enda matris för vilken varje element längs huvuddiagonalen är 1 och alla andra element är 0. När vi multiplicerar en identitetsmatris med sig själv (eller dess invers), får vi identitetsmatrisen igen.