Anta att det finns två sammansatta påståenden, X och Y, som kommer att kallas logisk ekvivalens om och endast om sanningstabellen för dem båda innehåller samma sanningsvärden i deras kolumner. Med hjälp av symbolen = eller ⇔ kan vi representera den logiska ekvivalensen. Så X = Y eller X ⇔ Y kommer att vara den logiska ekvivalensen för dessa påståenden.
Med hjälp av den logiska ekvivalensdefinitionen har vi klargjort att om de sammansatta påståendena X och Y är logisk ekvivalens, i detta fall måste X ⇔ Y vara Tautologi.
Lagar för logisk ekvivalens
I denna lag kommer vi att använda symbolerna 'OCH' och 'ELLER' för att förklara lagen om logisk ekvivalens. Här indikeras AND med hjälp av ∧-symbolen och OR indikeras med hjälp av ∨-symbolen. Det finns olika lagar för logisk ekvivalens, som beskrivs enligt följande:
Idempotent lag:
I den idempotenta lagen använder vi bara ett enda påstående. Enligt denna lag, om vi kombinerar två samma påståenden med symbolen ∧(och) och ∨(or), så blir det resulterande påståendet själva påståendet. Anta att det finns ett sammansatt uttalande P. Följande notation används för att indikera den idempotenta lagen:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
Sanningstabellen för denna lag beskrivs på följande sätt:
| P | P | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Den här tabellen innehåller samma sanningsvärden i kolumnerna P, P ∨ P och P ∧ P.
Därför kan vi säga att P ∨ P = P och P ∧ P = P.
Kommutativa lagar:
De två påståendena används för att visa den kommutativa lagen. Enligt denna lag, om vi kombinerar två påståenden med symbolen ∧(och) eller ∨(or), så blir det resulterande påståendet detsamma även om vi ändrar påståendenas position. Antag att det finns två påståenden, P och Q. Propositionen av dessa påståenden kommer att vara falsk när båda påståendena P och Q är falska. I alla andra fall kommer det att vara sant. Följande notation används för att indikera den kommutativa lagen:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
Sanningstabellen för dessa notationer beskrivs enligt följande:
| P | F | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Den här tabellen innehåller samma sanningsvärden i kolumnerna P ∨ Q och Q ∨ P.
Därför kan vi säga att P ∨ Q ? Q ∨ P.
Samma som vi kan bevisa P ∧ Q ? Q ∧ P.
Associativ lag:
De tre påståendena används för att visa den associativa lagen. Enligt denna lag, om vi kombinerar tre påståenden med hjälp av parenteser med symbolen ∧(and) eller ∨(or), så blir det resulterande påståendet detsamma även om vi ändrar ordningen på parenteser. Det betyder att denna lag är oberoende av gruppering eller sammanslutning. Antag att det finns tre påståenden P, Q och R. Propositionen för dessa påståenden kommer att vara falsk när P, Q och R är falska. I alla andra fall kommer det att vara sant. Följande notation används för att indikera den associativa lagen:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Sanningstabellen för dessa notationer beskrivs enligt följande:
| P | F | R | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Den här tabellen innehåller samma sanningsvärden i kolumnerna P ∨ (Q ∨ R) och (P ∨ Q) ∨ R.
Därför kan vi säga att P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
Samma som vi kan bevisa P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Distributiv lag:
De tre påståendena används för att visa den fördelande lagen. Enligt denna lag, om vi kombinerar ett påstående med symbolen ∨(ELLER) med de två andra påståendena som är förenade med symbolen ∧(AND), så blir det resulterande påståendet detsamma även om vi kombinerar påståendena separat med symbolen ∨(ELLER) och kombinera de sammanfogade satserna med ∧(AND). Anta att det finns tre påståenden P, Q och R. Följande notation används för att indikera den fördelande lagen:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Sanningstabellen för dessa notationer beskrivs enligt följande:
| P | F | R | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Den här tabellen innehåller samma sanningsvärden i kolumnerna P ∨ (Q ∧ R) och (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Därför kan vi säga att P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Samma som vi kan bevisa P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Identitetslag:
Ett enda uttalande används för att visa identitetslagen. Enligt denna lag, om vi kombinerar ett påstående och ett sant värde med symbolen ∨(or), kommer det att generera det sanna värdet. Om vi kombinerar ett påstående och ett falskt värde med symbolen ∧(and), kommer det att generera själva påståendet. På samma sätt kommer vi att göra detta med de motsatta symbolerna. Det betyder att om vi kombinerar ett påstående och ett sant värde med symbolen ∧(och), kommer det att generera själva påståendet, och om vi kombinerar ett påstående och ett falskt värde med symbolen ∨(or), så genererar det Falskt värde. Anta att det finns ett sammansatt uttalande P, ett sant värde T och ett falskt värde F. Följande notation används för att indikera identitetslagen:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
Sanningstabellen för dessa notationer beskrivs enligt följande:
| P | T | F | P ∨ T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Den här tabellen innehåller samma sanningsvärden i kolumnerna P ∨ T och T. Därför kan vi säga att P ∨ T = T. På samma sätt innehåller denna tabell också samma sanningsvärden i kolumnerna P ∨ F och P. vi kan säga att P ∨ F = P.
Samma som vi kan bevisa P ∧ T ? P och P ∧ F ? F
Komplementlag:
Ett enda uttalande används i komplementlagen. Enligt denna lag, om vi kombinerar ett påstående med dess komplementsats med symbolen ∨(or), kommer det att generera det sanna värdet, och om vi kombinerar dessa påståenden med symbolen ∧(och), kommer det att generera falskt värde. Om vi negerar ett sant värde kommer det att generera ett falskt värde, och om vi negerar ett falskt värde kommer det att generera det sanna värdet.
Följande notation används för att indikera komplementlagen:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
Sanningstabellen för dessa notationer beskrivs enligt följande:
| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Den här tabellen innehåller samma sanningsvärden i kolumnerna P ∨ ¬P och T. Därför kan vi säga att P ∨ ¬P = T. På samma sätt innehåller denna tabell också samma sanningsvärden i kolumnerna P ∧ ¬P och F. Därför kan vi säga att P ∧ ¬P = F.
Den här tabellen innehåller samma sanningsvärden i kolumnerna ¬T och F. Därför kan vi säga att ¬T = F. På samma sätt innehåller den här tabellen samma sanningsvärden i kolumnerna ¬F och T. Därför kan vi säga att ¬F = T.
Dubbel negationslag eller involutionslag
Ett enda uttalande används för att visa dubbelnegationslagen. Enligt denna lag, om vi negerar ett negerat uttalande, kommer det resulterande uttalandet att vara själva uttalandet. Antag att det finns ett påstående P och ett negate-sats ¬P. Följande notation används för att indikera dubbelnegationslagen:
¬(¬P) ? P
Sanningstabellen för dessa notationer beskrivs enligt följande:
| P | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Den här tabellen innehåller samma sanningsvärden i kolumnerna ¬(¬P) och P. Därför kan vi säga att ¬(¬P) = P.
Från Morgans lag:
De två uttalandena används för att visa De Morgans lag. Enligt denna lag, om vi kombinerar två påståenden med symbolen ∧(AND) och sedan negerar dessa kombinerade påståenden, så blir det resulterande påståendet detsamma även om vi kombinerar negationen av båda påståendena separat med symbolen ∨( ELLER). Anta att det finns två sammansatta påståenden, P och Q. Följande notation används för att indikera De Morgans lag:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Sanningstabellen för dessa notationer beskrivs enligt följande:
| P | F | ¬P | ¬F | P ∧ F | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Den här tabellen innehåller samma sanningsvärden i kolumnerna ¬(P ∧ Q) och ¬ P ∨ ¬Q. Därför kan vi säga att ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
Samma som vi kan bevisa ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬F
tecken till int java
Absorptionslag:
De två påståendena används för att visa absorptionslagen. Enligt denna lag, om vi kombinerar ett påstående P med symbolen ∨(ELLER) med samma påstående P och ett annat påstående Q, som är förenade med symbolen ∧(AND), så blir det resulterande påståendet det första påståendet P. Samma resultat kommer att genereras om vi byter symboler. Anta att det finns två sammansatta uttalanden, P och Q. Följande notation används för att indikera absorptionslagen:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
Sanningstabellen för dessa notationer beskrivs enligt följande:
| P | F | P ∧ F | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Den här tabellen innehåller samma sanningsvärden i kolumnerna P ∨ (P ∧ Q) och P. Därför kan vi säga att P ∨ (P ∧ Q) ? P.
På samma sätt innehåller den här tabellen samma sanningsvärden i kolumnerna P ∧ (P ∨ Q) och P. Därför kan vi säga att P ∧ (P ∨ Q) ? P.
Exempel på logisk ekvivalens
Det finns olika exempel på logisk likvärdighet. Några av dem beskrivs på följande sätt:
Exempel 1: I det här exemplet kommer vi att fastställa ekvivalensegenskapen för ett uttalande, som beskrivs enligt följande:
p → q ? ¬p ∨ q
Lösning:
Vi kommer att bevisa detta med hjälp av en sanningstabell, som beskrivs så här:
| P | F | ¬s | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Den här tabellen innehåller samma sanningsvärden i kolumnerna p → q och ¬p ∨ q. Därför kan vi säga att p → q ? ¬p ∨ q.
Exempel 2: I det här exemplet kommer vi att fastställa ekvivalensegenskapen för ett uttalande, som beskrivs enligt följande:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Lösning:
| P | F | P → F | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Den här tabellen innehåller samma sanningsvärden i kolumnerna P ↔ Q och (P → Q) ∧ (Q → P). Därför kan vi säga att P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Exempel 3: I det här exemplet kommer vi att använda motsvarande egenskap för att bevisa följande påstående:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
Lösning:
För att bevisa detta kommer vi att använda några av de ovan beskrivna lagarna och från denna lag har vi:
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Nu kommer vi att använda den kommutativa lagen i ovanstående ekvation och få följande:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Nu kommer vi att använda den fördelande lagen i denna ekvation och få följande:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Nu kommer vi att använda Distributiv lag i denna ekvation och få följande:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Nu kommer vi att använda komplementlagen i denna ekvation och få följande:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Nu ska vi använda identitetslagen och få följande:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Nu kommer vi att använda den kommutativa lagen i denna ekvation och få följande:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Slutligen blir ekvation (1) följande:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Slutligen kan vi säga att ekvationen (1) blir p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)