Polygon i matematik är en tvådimensionell form som består av raka linjer som bildar en sluten polygonal kedja. Ordet polygon kommer från orden poly och gon, som betyder många och sidor.

Polygoner kan vara enkla eller självkorsande. En enkel polygon skär sig inte, förutom vid de delade ändpunkterna för på varandra följande segment. En polygonal kedja som korsar sig själv skapar en självkorsande polygon. Polygoner kan också klassificeras som konkava eller konvexa.

I den här artikeln har vi nämnt i detalj om polygoner och deras typer, formler och exempel.

Innehållsförteckning

• Vad är polygoner?
• Polygon definition
• Polygondiagram baserat på antal sidor
• Polygoners egenskaper
• Polygon former
• Typer av polygoner
• Polygoner på basis av sidor
• Polygoner på basis av vinklar
• Polygoner på basis av gränser
• Polygonformler
• Område av polygoner
• Omkrets av polygoner
• Vinklar i polygoner
• Vanliga frågor

Vad är polygoner?

Termen 'polygon' kommer från det grekiska ordet polugonos, där 'poly' betyder 'många' och 'gon' betecknar 'vinkel'. I allmänhet är en polygon en sluten figur som bildas av raka linjer, med dess inre vinklar skapade av dessa rader. För att skapa en sluten form krävs minst tre linjers segment. Det är allmänt känt som en triangel eller en 3-gon. Den allmänna termen för en n-sidig polygon är en n-gon.

Polygon definition

Polygoner är platta, tvådimensionella figurer sammansatta av raka sidor som bildar en helt innesluten form. Inom geometrin är polygonen en plan figur som består av linjesegment anslutna för att bilda en sluten polygonal kedja. De består av raka sidor, inte kurvor, och kan ha valfritt antal sidor. Några polygoner av olika slag är: öppna, endast gräns, slutna och självkorsande.

Inom geometri definieras en polygon som en sluten, tvådimensionell form som ligger platt i ett plan och omges av raka sidor.

En polygon saknar böjda sidor, och dess kanter är de raka segmenten som definierar dess gräns. Mötespunkterna för dessa kanter kallas hörn eller hörn.

Polygon exempel

När det gäller matematik är trianglar, hexagoner, pentagoner och fyrhörningar exempel på polygoner. Verkliga exempel på Polygon är en rektangulär skärm på din bärbara dator, tv, mobiltelefon; rektangulär fotbollsplan eller lekplats, Bermudatriangeln och Egyptens pyramider med triangulär form.

Delar av en polygon

En polygon består av tre grundläggande komponenter:

• Polygonens sidor: Sidor av en polygoner är gränsen för polygonerna som definierar det slutna området.
• Vertices: Punkten där två sidor möts kallas en vertex.
• Vinklar: Polygonen innehåller både inre och yttre vinklar. En inre vinkel bildas inom det omslutna området av polygonen genom skärningspunkten mellan dess sidor.

Polygondiagram baserat på antal sidor

Nomenklatur av polygon definierad på basis av antalet sidor de har. Det betecknas som n-goner, där 'n' betecknar antalet sidor. Polygoner identifieras i allmänhet genom mängden av deras kanter. Till exempel kallas en polygon med fem sidor en 5-gon, medan en med tio sidor kallas en 10-gon.

Polygoners egenskaper

Polygonernas egenskaper identifierar dem lätt. Följande egenskaper bidrar till att enkelt känna till polygonerna:

• En polygon är en sluten form, utan öppna ändar. Ursprung och slutpunkt bör vara samma.
• Den antar en plan form, bestående av linjesegment eller raka linjer som tillsammans formar figuren.
• Som en tvådimensionell enhet existerar en polygon endast i dimensionerna längd och bredd, utan djup eller höjd.
• Den har tre eller flera sidor för att göra en polygon.
• Vinklarna i polygonen kan variera. Den visar distinkt konfiguration.
• Längden på sidorna av en polygon kan variera; det kan eller kanske inte är lika över polygonen.

Polygon former

En polygon är en platt, tvådimensionell form som kännetecknas av raka sidor förbundna för att bilda en sluten figur. Exempel på polygonformer inkluderar:

• Triangel
• Fyrsidig
• Pentagon
• Sexhörning
• Heptagon
• Oktogon
• Nonagon
• Decagon

Triangel

• Den har 3 sidor och 3 hörn.
• Den har inga diagonaler.
• Summan av interiören är 180°.

Fyrsidig

• Den har 4 sidor och 4 hörn.
• Den har 2 diagonaler.
• Summan av den inre vinkeln är 360°.

Pentagon

• Den har 5 sidor och 5 hörn.
• Den har 5 diagonaler.
• Summan av den inre vinkeln är 540°.

Sexhörning

• Den har 6 sidor och 6 hörn.
• Den har 9 diagonaler.
• Summan av den inre vinkeln är 720°.

Heptagon

• Den har 7 sidor och 7 hörn.
• Den har 14 diagonaler.
• Summan av den inre vinkeln är 900°.

Oktogon

• Den har 8 sidor och 8 hörn.
• Den har 20 diagonaler.
• Summan av den inre vinkeln är 1080°.

Nonagon

• Den har 9 sidor och 9 hörn.
• Den har 27 diagonaler.
• Summan av den inre vinkeln är 1260°.

Decagon

• Den har 10 sidor och 10 hörn.
• Den har 35 diagonaler.
• Summan av den inre vinkeln är 1440°.

Typer av polygoner

Beroende på sidorna och vinklarna kan polygonerna klassificeras i olika typer på olika grunder såsom:

• På basis av sidor
• På basis av vinklar
• På grundval av gräns

Polygoner på basis av sidor

Polygoner kan kategoriseras baserat på egenskaperna hos deras sidor i två primära typer:

• Vanlig polygon
• Oregelbunden polygon

Vanlig polygon

En vanlig polygon kännetecknas av att alla sidor är lika långa och alla inre vinklar med lika mått. Det kan vara både liksidigt och likkantigt. Exempel på vanliga polygoner inkluderar triangeln, fyrhörningen, femhörningen och hexagonen.

Vanlig polygon

Oregelbunden polygon

En oregelbunden polygon har olika långa sidor och vinklar med olika mått. Varje polygon som inte överensstämmer med kriterierna för en vanlig polygon klassificeras som oregelbunden. Vanliga exempel på oregelbunden polygon är skalentriangeln, fyrhörningar som rektangel, trapets eller drake, såväl som oregelbundna pentagon- och hexagonstrukturer.

Oregelbunden polygon

Polygoner på basis av vinklar

Polygoner kan klassificeras baserat på arten av deras vinklar i två huvudkategorier:

• Konvex polygon
• Konkav polygon

Konvex polygon

En konvex polygon har ingen inre vinkel som mäter mer än 180°. Konvexa polygoner kan ha tre eller flera sidor. I konvexa polygoner ligger alla diagonaler inuti den slutna figuren. Vanliga exempel på konvexa polygoner är trianglar, alla konvexa fyrhörningar, samt reguljära femhörningar och sexhörningar

Konkav polygon

En konkav polygon har minst en inre vinkel som är en reflexvinkel och pekar inåt. Konkava polygoner har minst fyra sidor. Denna typ av polygon har minst en inre vinkel som mäter mer än 180°. I konkava polygoner sträcker sig några diagonaler utanför den bifogade figuren. Exempel på konkava polygoner inkluderar en pil eller en pilspets i fyrhörningar, samt vissa oregelbundna femhörningar och sexhörningar.

Skillnaden mellan konkava vs konvexa polygoner

Låt oss se skillnaden mellan konvex och konkav polygon i tabellen nedan:

Polygoner på basis av gränser

Polygoner kan kategoriseras baserat på arten av deras gränser i två primära typer:

• Enkel polygon
• Komplex polygon

Enkel polygon

En enkel polygon kännetecknas av en singulär, icke-korsande gräns. Med andra ord, den korsar sig inte, och den består av en gräns.

Enkla polygoner

Komplex polygon

Å andra sidan definieras en komplex polygon av skära sig själv. Den består av mer än en gräns inom sin struktur. I komplexa polygoner skär gränsen, vilket skapar flera distinkta regioner inom polygonen.

Komplex polygon

Läs mer om Typer av polygoner.

Polygonformler

Det finns flera formler relaterade till polygoner i geometri. Några av de mest använda inkluderar:

• Områdesformel
• Omkretsformel
• Antal diagonaler

Alla formler relaterade till olika polygoner diskuteras nedan:

Område av polygoner

Arean av en polygon representerar det totala utrymmet det upptar i ett tvådimensionellt plan, bestäms av specifika formler baserade på antalet sidor och polygonens klassificering. Areaformlerna är följande:

Omkrets av polygoner

Omkretsen av en tvådimensionell form representerar den totala längden av dess yttre gräns. För polygoner beräknas omkretsen enligt följande:

Diagonal av polygonformel

En diagonal av en polygon är ett linjesegment som bildas genom att koppla samman två hörn som inte är intill varandra.

Antal diagonaler i en polygon = n(n−3)/2,

Där 'n' representerar antalet sidor som polygonen har.

Läs mer om Diagonal av polygonformel .

Vinklar i polygoner

Inom geometri hänvisar vinklar i polygoner till vinklarna som bildas av sidorna av en polygon, både i polygonens inre och yttre. Således kan det finnas båda vinklarna i polygon, dvs.

• Invändiga vinklar
• Exteriör vinklar

Låt oss diskutera formeln för dessa vinklar i detalj enligt följande:

Inre vinkelformel för polygoner

En polygons inre vinklar är de som bildas mellan dess intilliggande sidor och är lika i fallet med en vanlig polygon. Antalet inre vinklar motsvarar antalet sidor i polygonen.

Summan av de inre vinklarna 'S' i en polygon med 'n' sidor beräknas som

S = (n – 2) × 180°

Där 'n' representerar antalet sidor.

Exteriör vinkelformel för polygoner

Varje yttre vinkel av en vanlig polygon bildas genom att förlänga en av dess sidor (antingen medurs eller moturs) och mäta vinkeln mellan denna förlängning och den intilliggande sidan. I en vanlig polygon är alla yttre vinklar lika

Den totala summan av yttre vinklar i en polygon är fixerad till 360°

Därför,

Varje yttre vinkel ges av 360°/n

Där 'n' är antalet sidor.

Summan av de inre och motsvarande yttre vinklarna vid valfri vertex i en polygon är alltid 180 grader, vilket uttrycker ett kompletterande förhållande:

Invändig vinkel + Yttre vinkel = 180°

Utvändig vinkel = 180° – Invändig vinkel

radera senaste commit git

Slutsats

• Polygon är en sluten figur som avgränsas av tre eller flera linjesegment
• Summa av inre vinklar: Summan av alla inre vinklar i en n-sidig polygon ges av formeln (n–2)×180°.
• Antal diagonaler: För en polygon med n sidor beräknas antalet diagonaler med formeln n(n–3)/2.
• Trianglar bildade av diagonaler: Antalet trianglar som bildas genom att sammanfoga diagonaler från ett enda hörn av en polygon är n–2.
• Inre vinkel för vanlig polygon: Måttet för varje inre vinkel i en n-sidig regelbunden polygon är {(n–2)×180°}/n.
• Yttre vinkel för vanlig polygon: Måttet för varje yttre vinkel i en n-sidig regelbunden polygon är 360°/n.

Läs också

• Fyrkant
• Parallellogram
• Rektangel

Lösta exempel på polygon i matematik

Exempel 1: Betrakta en fyrhörning med fyra sidor. Hitta summan av alla dess inre vinklar på fyrhörningen.

Lösning:

Formel för summan av inre vinklar i en n-sidig regelbunden polygon = (n − 2) × 180°

Summan av alla inre vinklar på fyrhörningen = (4 – 2) × 180°

Summan av alla inre vinklar på fyrhörningen = 2 × 180°

Summan av alla inre vinklar av fyrhörningen = 360°

Därför är summan av alla inre vinklar på fyrhörningen 360°.

Exempel 2: Betrakta en vanlig polygon med ett givet yttre och inre vinkelförhållande på 7:3. Bestäm typen av polygon.

Lösning:

Förhållandet mellan yttre och inre vinkel är 7:3.

Antag att en polygons yttre och inre vinkel är 7x och 3x.

Summan av de yttre och inre vinklarna för en polygon är 180°.

7x + 3x = 180°

10x = 180°

x = 18°

Yttre vinkel = 18°

Antal sidor = 360°/utvändig vinkel

= 360°/18°

= 20

Därför är den givna polygonen en ikonsagon, eftersom den har 20 sidor.

Exempel 3: Varje yttre vinkel av en polygon mäter 90 grader, bestäm vilken typ av polygon?

Lösning:

Enligt formeln är varje yttre vinkel 360°/n

Här är n=antal sidor.

90°=360°/n

n = 360°/90°= 4

Därför är polygonen i fråga en fyrhörning, eftersom den har fyra sidor.

Exempel 4: Sidorna är 10m, 10m, 8m, 8m, 5m, 5m, 9m, 9m. Hur många meter rep kommer att behövas för Perimetern?

Lösning:

För att hitta längden på repet som behövs för omkretsen måste vi summera längderna på alla sidor:

Omkrets = 10 m + 10 m + 8 m + 8 m + 5 m + 5 m + 9 m + 9 m

Omkrets = 64 m.

Därför kommer totalt 64 meter rep att behövas för Perimetern.

Öva frågor om polygoner i geometri

Följande är några övningsfrågor baserade på formeln för polygoner:

Q1. Med tanke på att en vinkel i en femhörning är 140°, bestäm storleken på den största vinkeln om de återstående vinklarna är i förhållandet 1:2:3:4.

Q2. Om summan av en polygons inre vinklar är 160°, hitta antalet sidor i polygonen.

Q3. Antalet sidor i två vanliga polygoner är i förhållandet 2:3, och förhållandet mellan deras inre vinklar är 4:5. Hitta respektive antal sidor av dessa polygoner.

Q4. Bestäm den totala summan av vinklar i en heptagon.

F5. Beräkna summan av yttre vinklar i en femhörning.

F6. Hur många sidor har en hexagon?

1. 4
2. 6
3. 8
4. 10

F7. Vilket av följande är inte en vanlig polygon?

1. Triangel
2. Fyrkant
3. Pentagon
4. Parallellogram

Vanliga frågor om polygoner i matematik

Vad är en polygon i matematik?

I matematik hänvisar en polygon till en sluten tvådimensionell figur som bildas av sammankopplingen av tre eller flera räta linjer. Termen polygon kommer från det grekiska språket, där poly- betecknar många och gon representerar vinkel.

Vilken är den minsta polygonen?

Den minsta polygonen som bildas är en triangel med tre sidor.

Vad är 20-gon?

En 20-gon är tjugosidig polygon i geometri.

Vad är den totala summan av polygonens yttre vinklar?

Summan av de yttre vinklarna för en polygon är 360°.

Kan en cirkel klassificeras som en polygon?

Polygon är en sluten form som består av raka segment. Cirkeln är en sluten figur, men den är gjord av en kurva. Så en cirkel är inte en polygon.

Vad är summan av en polygons inre vinkel?

Summan av en polygons inre vinkel ges av (n–2)×180° där n är antalet sidor i polygonen.