Trigonometriformler är ekvationer som relaterar trianglarnas sidor och vinklar. De är viktiga för att lösa ett brett spektrum av problem inom matematik, fysik, teknik och andra områden.

Här är några av de vanligaste typerna av trigonometriformler:

• Grundläggande definitioner: Dessa formler definierar de trigonometriska förhållandena (sinus, cosinus, tangens, etc.) i termer av sidorna i en rätvinklig triangel.
• Pythagoras sats: Denna sats relaterar längderna på sidorna i en rätvinklig triangel.
• Vinkelförhållanden: Dessa formler relaterar de trigonometriska förhållandena för olika vinklar, såsom summa- och differensformler, dubbelvinkelformler och halvvinkelformler.
• Ömsesidiga identiteter: Dessa formler uttrycker ett trigonometriskt förhållande i termer av ett annat, såsom sin(θ) = 1/coc(θ).
• Enhetscirkel: Enhetscirkeln är en grafisk representation av de trigonometriska förhållandena, och den kan användas för att härleda många andra formler.
• Lag om sinus och lag om cosinus: Dessa lagar relaterar sidorna och vinklarna i vilken triangel som helst, inte bara räta trianglar.

Läs vidare för att lära dig om olika trigonometriska formler och identiteter, lösta exempel och övningsproblem.

Innehållsförteckning

• Vad är trigonometri?
• Översikt över trigonometriformel
• Grundläggande trigonometriska förhållanden
• Trigonometriska identiteter
• Lista över trigonometriformler

Vad är trigonometri?

Trigonometri definieras som en gren av matematiken som fokuserar på studiet av samband som involverar trianglars längder och vinklar. Trigonometri består av olika typer av problem som kan lösas med hjälp av trigonometriska formler och identiteter.

Trigonometrifunktioner

Trigonometriska funktioner är matematiska funktioner som relaterar vinklarna på en rätvinklig triangel till längden på dess sidor. De har breda tillämpningar inom olika områden som fysik, teknik, astronomi och mer. De primära trigonometriska funktionerna inkluderar sinus, cosinus, tangens, cotangens, sekant och cosekant.

Översikt över trigonometriformel

Trigonometriformler är matematiska uttryck som relaterar vinklarna och sidorna av en Rätt triangel . Det finns 3 sidor en rätvinklig triangel är gjord av:

• Hypotenusa : Detta är den längsta sidan av en rätvinklig triangel.
• Vinkelrät/motsatt sida : Det är sidan som bildar en rät vinkel med avseende på den givna vinkeln.
• Bas : Basen avser den intilliggande sidan där både hypotenusan och den motsatta sidan är anslutna.

Trigonometrisk förhållande

Alla trigonometriska förhållanden, produktidentiteter, halvvinkelformler, dubbelvinkelformler, summa- och differensidentiteter, samfunktionsidentiteter, ett tecken på förhållanden i olika kvadranter etc. ges kortfattat här för eleverna i klasserna 9, 10, 11, 12 .

likvärdighetslagar

Här är listan över formler inom trigonometri vi ska diskutera:

• Grundläggande formler för trigonometriska kvoter
• Enhetscirkelformler
• Trigonometriska identiteter

Grundläggande trigonometriska förhållanden

Det finns 6 förhållanden i trigonometri. Dessa kallas trigonometriska funktioner. Nedan är listan på trigonometriska förhållanden , inklusive sinus, cosinus, sekant, cosekant, tangent och cotangens.

Enhetscirkelformel i trigonometri

För en enhetscirkel, för vilken radien är lika med 1, i är vinkeln. Värdena på hypotenusan och basen är lika med radien för enhetscirkeln.

Hypotenus = angränsande sida (bas) = ​​1

Förhållandena för trigonometri ges av:

• sin θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• barnsäng θ = x/y
• sek θ = 1/x
• cosec 6 = 1/y

Trigonometriska funktioner diagram

Trigonometriska identiteter

Relationen mellan trigonometriska funktioner uttrycks via trigonometriska identiteter, ibland kallade trigonometriska identiteter eller trigonometriska formler. De förblir sanna för alla reella talvärden för de tilldelade variablerna i dem.

• Ömsesidiga identiteter
• Pythagoras identiteter
• Periodicitetsidentiteter (i radianer)
• Jämn och udda vinkelformel
• Samfunktionsidentiteter (i grader)
• Summa och skillnadsidentiteter
• Dubbelvinkelidentiteter
• Formler för omvänd trigonometri
• Trippelvinkelidentiteter
• Halvvinkelidentiteter
• Summa till produktidentiteter
• Produktidentiteter

Låt oss diskutera dessa identiteter i detalj.

Ömsesidiga identiteter

Alla de ömsesidiga identiteterna erhålls med hjälp av en rätvinklig triangel som referens. Ömsesidiga identiteter är följande:

• cosec θ = 1/sin θ
• sek θ = 1/cos θ
• barnsäng θ = 1/tan θ
• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sek θ
• tan θ = 1/barnsäng θ

Pythagoras identiteter

Enligt Pythagoras sats, i en rätvinklig triangel, om 'c' är hypotenusan och 'a' och 'b' är de två benen så är c2 = a2 + b2. Vi kan få pythagoras identiteter med hjälp av denna sats och trigonometriska förhållanden. Vi använder dessa identiteter för att omvandla ett triggförhållande till ett annat .

• utan²θ + cos²θ = 1
• 1 + så²θ = sek²i
• 1 + barnsäng²θ = cosec²i

Trigonometri formler diagram

Periodicitetsidentiteter (i radianer)

Dessa identiteter kan användas för att flytta vinklarna med π/2, π, 2π, etc. Dessa är också kända som samfunktionsidentiteter.

Allt trigonometriska identiteter upprepa sig efter en viss period. Därför är de cykliska till sin natur. Denna period för upprepning av värden är olika för olika trigonometriska identiteter.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A & cos (2π + A) = cos A

Här är en tabell som jämför de trigonometriska egenskaperna i olika kvadranter:

Jämn och udda vinkelformel

Formlerna med jämn och udda vinkel, även känd som jämn-udda identiteter, används för att uttrycka trigonometriska funktioner för negativa vinklar i termer av positiva vinklar. Dessa trigonometriska formler är baserade på egenskaperna hos jämna och udda funktioner.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-6) = -tanö
• cot(-θ) = -cotθ
• sek(-θ) = sekθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Samfunktionsidentiteter (i grader)

Samfunktionsidentiteter ger oss det inbördes förhållandet mellan olika trigonometrifunktioner. Samfunktionerna listas här i grader:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• tan(90°−x) = spjälsäng x
• spjälsäng(90°−x) = brun x
• sek(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sek x

Summa och skillnadsidentiteter

Summa- och differensidentiteterna är formlerna som relaterar sinus, cosinus och tangens för summan eller skillnaden av två vinklar till sinus, cosinus och tangenter för de individuella vinklarna.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Dubbelvinkelidentiteter

Dubbelvinkelidentiteter är formlerna som uttrycker trigonometriska funktioner för vinklar som är dubbelt så stora som en given vinkel när det gäller den ursprungliga vinkelns trigonometriska funktioner.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²x)]
• cos(2x) = cos²(x) – utan²(x) = [(1 – brun²x)/(1 + brun²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2sin²(x)
• tan (2x) = [2tan(x)]/ [1 – tan²(x)]
• sek (2x) = sek²x/(2 – sek²x)
• cosec (2x) = (sek x • cosec x)/2

Formler för omvänd trigonometri

Formler för omvänd trigonometri relaterar till de inversa trigonometriska funktionerna, som är inverserna av de grundläggande trigonometriska funktionerna. Dessa formler används för att hitta den vinkel som motsvarar ett givet trigonometriskt förhållande.

• utan ^-1 (–x) = – synd ^-1 x
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 x
• så ^-1 (–x) = – brun ^-1 x
• cosec ^-1 (–x) = – cosec ^-1 x
• sek ^-1 (–x) = π – sek ^-1 x
• spjälsäng ^-1 (–x) = π – barnsäng ^-1 x

Trippelvinkelidentiteter

Triple Angle Identities är formler som används för att uttrycka trigonometriska funktioner för trippelvinklar (3θ) i termer av funktionerna för enstaka vinklar (θ). Dessa trigonometriska formler är användbara för att förenkla och lösa trigonometriska ekvationer där trippelvinklar är inblandade.

sin 3x=3sin x – 4sin ³ x

setinterval javascript

cos 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Halvvinkelidentiteter

Halvvinkelidentiteter är de trigonometriska formler som används för att hitta sinus, cosinus eller tangens för hälften av en given vinkel. Dessa formler används för att uttrycka trigonometriska funktioner för halvvinklar i termer av den ursprungliga vinkeln.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Också,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

vad är Androids påskägg

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Summa till produktidentiteter

Summa till produkt-identiteter är de trigonometriska formlerna som hjälper oss att uttrycka summor eller skillnader av trigonometriska funktioner som produkter av trigonometriska funktioner.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + mysig = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − mysig = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Produktidentiteter

Produktidentiteter, även kända som produkt-till-summa-identiteter är formlerna som tillåter uttryck av produkter av trigonometriska funktioner som summor eller skillnader av trigonometriska funktioner.

Dessa trigonometriska formler härleds från summa- och differensformlerna för sinus och cosinus.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Lista över trigonometriformler

Tabellen nedan består av grundläggande trigonometriförhållanden för vinklar såsom 0°, 30°, 45°, 60° och 90° som vanligtvis används för att lösa problem.

Lösta frågor om trigonometriformel

Här är några lösta exempel på trigonometriformler för att hjälpa dig att få ett bättre grepp om begreppen.

Fråga 1: Om cosec θ + cot θ = x, hitta värdet av cosec θ – cot θ, med hjälp av trigonometriformel.

Lösning:

cosec θ + cot θ = x

Vi vet att cosec²θ+ spjälsäng²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec 6-cot 6 = 1/x

Fråga 2: Använd trigonometriformler och visa att tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Lösning:

Vi har,

L.H.S= tan 10 ° alltså 15 ° alltså 75 ° alltså 80 °

= brun(90-80) ° alltså 15 ° brun(90-15) ° alltså 80 °

= spjälsäng 80 ° alltså 15 ° barnsäng 15 ° alltså 80 °

=(spjälsäng 80 ° * alltså 80 ° )( spjälsäng 15 ° * alltså 15 ° )

= 1 = R.H.S

Fråga 3: Om sin θ cos θ = 8, hitta värdet av (sin θ + cos θ) ² med hjälp av trigonometriformlerna.

Lösning:

(sin θ + cos θ)²

greibach normal form

= utan²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

Fråga 4: Med hjälp av trigonometriska formler, bevisa att (tan θ + sek θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Lösning:

L.H.S = (tan θ + sek θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1)

= [(tan θ + sek θ) – (sek²θ – alltså²θ)]/(tan θ – sek θ + 1), [Sedan, sek²θ – alltså²θ = 1]

scan.next java

= {(tan θ + sek θ) – (sek θ + tan θ) (sek θ – tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (1 – sek θ + tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (tan θ – sek θ + 1)}/(tan θ – sek θ + 1)

= tan θ + sek θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin 6)/cos 6 = R.H.S. Bevisade.

Vanliga frågor om trigonometriska formler och identiteter

Vad är trigonometri?

Trigonometri är en gren av matematiken som fokuserar på förhållandet mellan vinklar och sidor i trianglar, särskilt rätvinkliga trianglar.

Vilka är tre grundläggande trigonometriska förhållanden?

• Sin A = Perpendicular/ Hypotenusa
• Cos A= Bas/Hypotenus
• Tan A= vinkelrät/ Bas

Vilken triangel är trigonometriska formler tillämpliga på?

Trigonometriska formler är tillämpliga på rätvinkliga trianglar.

Vilka är de viktigaste trigonometriska förhållandena?

Sinus, Cosinus, Tangent, Cotangent, Secant och Cosecant.

För vilken vinkel är värdet på brunförhållandet lika med barnsängsförhållandet?

För värdet 45°, brun 45°= spjälsäng 45° = 1.

Vad är formeln för sin3x?

Formel för sin3x är 3sin x – 4 sin³x.