de Cosinus funktion eller den cos funktion i korthet är en av de sex Trigonometriska funktioner grundläggande för trigonometri. Cosinus i trigonometri ges som förhållandet mellan basen och hypotenusan i en rätvinklig triangel. Cosinusfunktion representeras som Cos x där x är vinkeln för vilken cosinusförhållandet beräknas. När det gäller funktion kan vi säga att x är ingången eller domänen för cosinusfunktionen.

Det används flitigt i ett brett spektrum av ämnen som fysik, geometri och teknik bland annat genom att utnyttja dess periodiska karaktär. Det används till exempel för att definiera ljudvågornas vågnatur, beräkningar av elektriskt flöde genom en plan yta, etc. I den här artikeln lär vi oss i detalj om vad som är cosinusfunktion, domän och intervall av cosinusfunktionen, perioden och grafen för cosinusfunktionen.

Innehållsförteckning

• Vad är cosinusfunktionen?
• Cos i enhetscirkel
• Cosinus funktionsdiagram
• Invers av cosinusfunktion
• Cosinusfunktion i kalkyl
• Cos Funktionsidentiteter

Vad är cosinusfunktionen?

Cosinusfunktion är en trigonometrisk funktion som i grunden är periodisk till sin natur. Cosinusfunktion uttrycks som cos x där x är en av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel. Cosinusfunktionen hittar förhållandet mellan bas och hypotenusa för ett givet värde på x. Cosinusfunktionen förkortas som cos(x) eller cos(θ) där x är vinkeln i radianer och theta θ är vinkeln i grader allmänt. Cosinusfunktionen kan definieras med hjälp av en enhetscirkel, det vill säga en cirkel med enhetsradie som vi kommer att se längre fram i denna artikel. Det är periodiskt till sin natur och upprepar sina värden efter varje fullständig rotation av vinklar. På ett kartesiskt plan kan det hänvisas till som vektorkomponenten av hypotenusan parallellt med x-axeln.

Cosinus Funktion Definition

Cosinusfunktionen definieras i en rätvinklig triangel som förhållandet mellan längden på sidan som gränsar till den berörda vinkeln och längden på hypotenusan. Matematiskt ges Cosinus Funktionen som

Cos x = Cos θ = Basens längd/Hypotenusens längd = b/h = OB/OA

var x är vinkeln i radianer och θ är den ekvivalenta vinkeln i grader.

Domän och Range of Cos Funktion

Vi vet att för en funktion är domän de tillåtna indatavärdena och range är utdatavärdet för just det ingångs- eller domänvärdet. Därför kan vi anta att funktionen fungerar som en processor som tar input, bearbetar den och ger speciell utdata. Cos-funktionens domän och omfång diskuteras nedan:

• Domän för cosinusfunktion: R d.v.s. uppsättning av alla reella tal.
• Omfång för cosinusfunktion: [-1, 1], d.v.s. utdata varierar mellan alla reella tal mellan -1 och 1.

Period för en cosinusfunktion

De fungera är periodisk till sin natur, d.v.s. den upprepar sig efter 2π eller 360°. Med andra ord, det upprepar sig efter varje fullständig rotation. Därför är perioden för cosinusfunktionen en fullständig rotation eller en vinkel på 360° (eller 2π).

Reciprok av en cosinusfunktion

Den reciproka av en cosinusfunktion kallas sekant funktion eller sek för korta. Matematiskt ges den reciproka av cosinusfunktionen som

python tuppel sorterad

sek(θ) = 1/cos(θ)

Enligt reglerna för Ömsesidiga , om vi multiplicerar Cos x med Sec x blir produkten alltid 1.

Cosinus funktionsdiagram

Grafen för cosinusfunktionen liknar grafen för sinusfunktionen med en grundläggande skillnad att för x = 0 går sin funktionsgraf från origo medan vid x = 0, går cosinusfunktionsgrafen från (0, 1) vid y-aixs. Följande är grafen över värdet av cosinusfunktionen, dvs y = cos x

De egenskaper som diskuterats ovan kan ses i grafen som funktionens periodiska karaktär.

Variation av cosinusfunktion i graf

Eftersom området för cosinusfunktionen är [-1, 1], varierar det från -1 till 1 i grafen. Den uppvisar sin periodiska karaktär när grafen upprepas efter varje längd 2π på x-axeln. Detta återspeglar att cosinusfunktionen har en period på 2π (eller 360°).

Cos i enhetscirkel

Cosinusfunktion kan definieras med enhetscirkel. Låt oss förstå hur vi kan definiera cosinusfunktion i termer av enhetscirkel.

Betrakta ett linjesegment OA som roterar kring punkten O där O är origo för det kartesiska planet. Således beskriver rotationen av OA en enhetscirkel (cirkel med enhetsradie) centrerad vid origo O och punkten A ligger alltid på denna cirkel. Om vi ​​släpper en vinkelrät från A på x-axeln och kallar skärningspunkten som B, och θ är vinkeln som OA gör med x-axelns positiva riktning, så är cos(θ) = projektion av hypotenusan på x -axel = OB/|OA| = OB (eftersom |OA| = 1 enhet).

Observera att riktningen OB är viktig enligt följande figurer. Det gröna segmentet anger längden/storleken och pilen anger riktningen (+ve eller -ve) för cos(θ)

Observera att värdet på cos(θ) är positivt för θ som hör till första och fjärde kvadranten medan negativt för θ som tillhör andra och tredje kvadranten.

Invers av cosinusfunktion

Inversen av en cosinusfunktion känd som båg-kosinus funktion och förkortas som arccos(x) eller cos ^-1 (x) definieras enligt följande

cos(x) = y

⇒ för ^-1 (y) = x

Domän och intervall för invers cosinusfunktion

Domänen och intervallet för invers cosinusfunktion nämns nedan:

• Domän för invers cosinusfunktion: Alla reella tal i intervallet [-1, 1]
• Omfång för invers cosinusfunktion: Alla reella tal inom området [0, π]

Hyperbolisk cosinusfunktion

Hyperboliska funktioner är analoga motsvarigheter till trigonometrisk funktion vars algebraiska uttryck är i termer av exponentiell funktion. Den hyperboliska cosinusfunktionen förkortas som cosh(x) var x är en hyperbolisk vinkel är ett koncept för hyperbolisk geometri. Liksom (cos(x), sin(x)) representerar en punkt på en enhetscirkel, (cosh(x), sinh(x)) representerar en punkt på en enhetshyperbol, dvs. xy = 1 där sinh(x) representerar hyperbolisk sinusfunktion. Den algebraiska expansionen av hyperbolisk cos-funktion ges som

cosh(x) = (e ^x + och ^-x )/2

Mer information om hyperboliska funktioner ligger utanför ramen för denna artikel, men du kan referera till Denna artikel .

Cosinusfunktion i kalkyl

Grenen för kalkyl i matematik handlar om differentiering och integration av en given funktion. Funktionsdifferentiering är förändringshastigheten i funktionen med avseende på den oberoende variabeln medan integration är den omvända differentieringsprocessen som handlar om att hitta integralen för en funktion vars derivata existerar.

Derivat av cosinusfunktion

De derivat av cosinusfunktion är lika med minus av sinusfunktion. Matematiskt

d(cos(x))/dx = -sin(x)

Integration av cosinusfunktion

De obestämd integral av cosinusfunktionen är lika med sinusfunktionen. Matematiskt –

∫cos(x)dx = sin(x) + C, där C är integrationskonstanten.

Sinus- och cosinusfunktioner

Följande graf representerar nyckelskillnaden mellan både sinus- och cosinusfunktion:

Skillnaden mellan sinus- och cosinusfunktioner

Följande tabell listar skillnaderna mellan sinus- och cosinusfunktion –

Cos värdetabell

Följande tabell ger värdena för cosinusfunktionen för några vanliga vinklar i den första kvadranten av kartesiska planet -

Vi kan enkelt beräkna värdena för andra vanliga vinklar som 15°, 75°, 195°, -15°, etc. med hjälp av dessa värden genom att använda formlerna cos (x + y) och cos (x – y) som beskrivs längre fram i detta artikel.

Kolla upp, Trigonometrisk tabell

Cos Funktionsidentiteter

De grundläggande trigonometriska identiteterna relaterade till cosinusfunktion nämns nedan:

• utan²(x) + cos²(x) = 1
• cos(x + y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
• cos(-x) = cos(x)
• cos(x) = 1/sek(x)
• cos 2x = cos²x – synd²x = 1 – 2sin²x = 2cos²x – 1 = (1 – brun²x/1 + brun²x)
• cos 3x = 4cos³x – 3cos x

relaterade artiklar

• Differentiering av trigonometriska funktioner
• Omvända trigonometriska funktioner
• Inversa trigderivat

Lösta exempel på cosinusfunktion

Här är några lösta exempel som hjälper dig att bättre förstå konceptet med cosinusfunktion.

Exempel 1: Vilka är de högsta och lägsta värdena för cosinusfunktionen?

Lösning:

Maxvärdet för cosinusfunktionen är 1 vid 0° och 180° medan funktionens lägsta värde är -1 vid 180°.

Exempel 2: Vid vilken(a) vinklar i området [0, 360] är värdet på cosinusfunktionen 0?

Lösning:

Värdet på cosinusfunktionen är 0 vid vinklarna 90° och 270°.

Exempel 3: För vilka kvadranter är värdet på cosinusfunktionen negativt?

Lösning:

Cosinusfunktionen är negativ i II^ndoch III^rdkvadranter.

Exempel 4: Beräkna värdet av cos (45°).

Lösning:

vad är min skärmstorlek

Enligt identitet 4 ovan, cos(-x) = cos(x).

Därför är cos(-45°) = cos(45°) = 1/√2

Exempel 5: Beräkna värdet av cos(15°).

Lösning:

Använda identitet 3 ovan –

cos(15degree) = cos(45degree – 30degree) ewline = cos(45degree)cos(30degree) + sin(45degree)sin(45degree) ewline = frac{1}{sqrt2} imesfrac{sqrt3}{2} + frac{1}{sqrt2} imes frac{1}{2} ewline = frac{sqrt3 + 1}{2sqrt2}

Exempel 6: Vad är cos ^-1 (1/2) i intervallet [0,π]?

Lösning:

Låt cos^-1(1/2) = y.

Därför är cos(y) = 1/2 ⇒ y = π/3 i det ovan angivna området.

Därför är svaret π/3.

Exempel 7: Vad är värdet på cos(-15°)?

Lösning:

Använda identiteten 3 som anges ovan –

cos(-15degree) ewline = cos(30degree – 45degree) ewline = cos(30degree)cos(45degree) + sin(30degree)sin(45degree) ewline = frac{sqrt3}{2} imesfrac{1}{sqrt{2}} + frac{1}{2} imesfrac{1}{sqrt2} ewline = frac{sqrt3 + 1}{2sqrt2} .

Alternativt kan vi också använda identiteten cos(-x) = cos(x) och använda värdet av cos(15°) beräknat i exempel 5.

Exempel 8: Beräkna arean under grafen för cosinusfunktionen för x = 0 till x = π/2.

Lösning:

Den givna arean kan beräknas genom att lösa följande bestämda integral –

int_0^{frac{pi}{2}}cos(x)dx ewline = sin(frac{pi}{2}) – sin(0) ewline = 1 – 0 ewline = 1

Därför är svaret 1 enhetskvadrat.

Exempel 9: Om cos(x) = π/3, hitta värdet av cos(3x) (i decimalform med två decimalsiffror).

Lösning:

Använda identiteten – cos(3x) = 4cos³(x) – 3cos(x) –

cos(3x) = 4⨉(π/3)³-3⨉(π/3) ≅ 4,59 – π = 1,45

Exempel 10: Hitta värdet på cos(120°).

Lösning:

Använda identiteten för cos(2x)

cos(120°) = cos(2⨉60°) = 1 – 2 sin²(60°) = 1- 2⨉(√3/2)²= 1 – 3/2 = -1/2

Övningsfrågor: Cos Functions

Q1. Vilken är formeln för att beräkna cos för en vinkel i en rätvinklig triangel?

Q2. Vad är den geometriska tolkningen av cos på kartesiskt plan?

Q3. Beräkna värdet av cos(120°).

Q4. Hitta värdet av cos ^-1 (√3/2) i området [π, 2π].

F5. Om en stolpe kastar en skugga av samma längd på marken, hitta solens vinkel i förhållande till marken om solen är i östlig riktning.

Sammanfattning – Cosinusfunktion

Cosinusfunktionen, betecknad som cos(x), är en grundläggande trigonometrisk funktion definierad som förhållandet mellan basen och hypotenusan i en rätvinklig triangel och är väsentlig inom olika områden som fysik, teknik och geometri på grund av dess periodiska natur , som är avgörande för att modellera vågbeteenden. Den har en domän med alla reella tal och ett intervall från -1 till 1, som upprepar sin cykel varannan Pi radianer eller 360 grader, tydligt från dess vågliknande graf som börjar på (0,1). När det gäller kalkyl är derivatan av cos(x) − sin( x ), och dess integral ger sin( x )+ C med C som integrationskonstant. Denna funktion sträcker sig även till hyperboliska former, såsom cosh(x), vilket förbättrar dess tillämpning i olika matematiska sammanhang och lösningar, inklusive vågberäkningar och oscillationer i fysiska system.

Cosinusfunktion: Vanliga frågor

1. Vad är cosinusfunktion?

Cosinusfunktionen är en av de grundläggande trigonometriska funktionerna. Den definieras i en rätvinklig triangel som förhållandet mellan längden på sidan som gränsar till den berörda vinkeln och längden på hypotenusan.

2. Är Cos och Cosinus samma i trigonometri?

Ja. cos är en förkortning/kortform av cosinusfunktionen.

3. Vad är Range of Cos-funktionen?

Intervallet för cos eller cosinusfunktionen är alla reella tal som sträcker sig från -1 till 1, dvs [-1,1].

4. Vad är Domain of Cos-funktionen?

Domänen för cos eller cosinusfunktionen är ser av alla reella tal, dvs. R .

5. Vad är det maximala värdet för Cosinus-funktionen?

Det maximala värdet för cosinusfunktionen är 1 för alla vinklar som motsvarar 0° eller 360°.

6. Vad är minimivärdet för cosinusfunktionen?

Minsta värdet för cosinusfunktionen är -1 för alla vinklar som motsvarar 180°.

7. Hur hittar man värdet på Cos(-x)?

Värdet på cos(-x) kan beräknas genom att beräkna värdet på cos(x) på grund av förekomsten av följande identitet: cos(-x) = cos(x).

8. Hur ritar man Cosinus-funktion?

För att rita grafen för cosinusfunktionen på ett kartesiskt plan, se x-axeln som representerar vinklar i radianer (eller grader) och y-axeln som representerar värdena för cosinusfunktionen för motsvarande vinkel på x-axeln. Nu,

• Steg 1: Ta en delmängd av x-axeln som du vill rita grafen för.
• Steg 2: Dela upp x-axeln i detta område i ekvidistanta punkter (dvs det finns lika stort utrymme mellan alla underpunkter). Notera att ju fler delningar, desto större precision har den resulterande grafen.
• Steg 3: För var och en av dessa underpunkter x, markera punkten (x, cos(x)) på grafen.
• Steg 4: Förena alla markerade punkter för att få grafen för cosinusfunktionen (för den delmängd av x-axeln du valde).

9. Hur hittar man perioden för en cosinusfunktion?

Perioden för en cosinusfunktion hänvisar till det minsta värdeintervallet efter vilket funktionen börjar upprepa sig. Vi vet att cosinusfunktionen upprepar sig efter varje fullständig rotation vilket betyder 2π radianer. Därför är perioden för cosinusfunktionen 2π radianer eller 360°.

10. Vad är amplituden för en cosinusfunktion?

Amplituden för en cosinusfunktion hänvisar till den maximala förskjutningen av värdet för funktionen från medelpositionen, dvs x-axeln. Amplituden för cosinusfunktionen är 1 eftersom den maximala förskjutningen är 1 (för värdena -1 och 1 vid 180 respektive 0 grader. Observera att området för cosinusfunktionen är [-amplitud, amplitud].