Derivat av bågtangensfunktionen betecknas som brun^-1(x) eller arctan(x). Det är lika med 1/(1+x ² ) . Derivata av bågtangensfunktion hittas genom att bestämma förändringshastigheten för arc tan-funktionen med avseende på den oberoende variabeln. Tekniken för att hitta derivator av trigonometriska funktioner kallas trigonometrisk differentiering.

Derivat av Arctan

I den här artikeln kommer vi att lära oss om derivatan av arc tan x och dess formel inklusive beviset för formeln. Förutom det har vi också gett några lösta exempel för bättre förståelse.

Derivat av Arctan x

Derivata av bågtangensfunktion eller arctan(x) är 1/(1+x ² ). Arktan x representerar vinkeln vars tangent är x. Med andra ord, om y = arctan(x), då tan(y) = x.

Derivatan av en funktion kan hittas med hjälp av kedjeregeln. Om du har en sammansatt funktion som arctan(x), differentierar du den yttre funktionen med avseende på den inre funktionen och multiplicerar sedan med derivatan av den inre funktionen.

Derivat av Arctan x Formula

Formeln för derivatan av invers av tan x ges av:

d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x ² )

Kolla också :

• Arctan – Formel, graf, identiteter, domän, räckvidd och vanliga frågor
• Kalkyl i matematik
• Omvänd Trigonometrisk funktion

Bevis på derivat av Arctan x

Derivaten av invers av tan x kan bevisas på följande sätt:

• Använder sig av Kedjeregel
• Använder sig av Implicit differentieringsmetod
• Använda de första principerna för derivat

Derivat av Arctan x av Chain Rule

För att bevisa derivatan av Arctan x genom kedjeregel, kommer vi att använda grundläggande trigonometrisk och invers trigonometrisk formel:

• sek²y = 1 + brun²och
• tan(arctan x) = x

Här är beviset för derivatan av arctan x:

Låt oss anta att y = arctan(x)

regex i java

När vi blir bruna på båda sidor får vi:

tan y = tan(arctan x)

tan y = x [som tan (arctan x) = x]

Särskilj nu båda sidor med avseende på x

d/dx (tan y) = d/dx(x)

d/dx(tan y) = 1 [som d/dx(x) = 1]

Genom att tillämpa kedjeregeln för att skilja tan y med avseende på x får vi

d/dx(tan y) = sek²y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/sek²och

dy/dx = 1/1 + tan²y [som sek²y = 1 + brun²och]

Nu vet vi tan y = x, genom att ersätta värdet i ekvationen ovan får vi

dy/dx = 1/1 + x²

Derivat av Arctan x genom implicit differentieringsmetod

Derivatet av arctan x kan bevisas med den implicita differentieringsmetoden. Vi kommer att använda grundläggande trigonometriska formler som listas nedan:

• sek²x = (1 + brun²x)

• Om y = arktan x ⇒ x = tan y och x²= så²och

Låt oss börja beviset för derivatan av arctan x , antag att f(x) = y = arktan x

java sträng charat

Genom implicit differentieringsmetod

f(x) = y = arktan x

⇒ x = brun y

Att ta derivata på båda sidor med avseende på x

⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]

⇒ 1 = d/dx[tan y]

Multiplicera och dividera den högra sidan med dy

⇒ 1 = d/dx[tan y] × dy/dy

⇒ 1 = d/dy[tan y] × dy/dx

⇒ 1 = sek²y × dy/dx

⇒ dx/dy = ( 1+tan²y) [Som sek²x = (1 + brun²x )]

⇒ dy/dx = 1/( 1+tan²och )

⇒ dy/dx = 1/( 1 + x²) = f'(x)

Därför f'(x) = 1/ ( 1+x²)

Derivat av Arctan x enligt första principen

För att bevisa derivatan av arctan x med hjälp av första principen för derivatan kommer vi att använda grundläggande gränser och trigonometriska formler som listas nedan:

• lim_h→0arktan x/x = 1

• arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]

Låt oss börja beviset för derivatan av arctan x

vi har arctan(x) = y

Tillämpa definitionen av derivata vi får

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}

iterera karta i java

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1

frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}

Kolla också

• Derivat av inversa trigonometriska funktioner
• Differentieringsformler
• Omvända trigonometriska identiteter

Exempel på derivata av Arctan x

Exempel 1: Hitta derivatan av funktionen f(x) = arctan(3x).

Lösning:

Vi kommer att använda kedjeregeln, som säger att om g(x) är differentierbar vid x och f(x) = arktan (g(x)), då ges derivatan f'(x) av:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

I det här fallet är g(x) = 3x, så g'(X) = 3. Tillämpa kedjeregelformeln:

f'(x) = 3/(1+(3x)²)

f'(x) = 3/(1+9x²)

Exempel 2: Hitta derivatan av funktionen h(x) = tan ^-1 (x/2)

Lösning:

Vi kommer att använda kedjeregeln, enligt vilken f(x) = tan^-1(g(x)), då ges derivatan f'(x) av:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

pd.fusion

I det här fallet är g(x) = x/2, så g'(X) = 1/2. Tillämpa kedjeregelformeln:

f'(x) = (1/2)/(1+(x/2)²)

f'(x) = (1/2)/(1+x²/4)

Förenklat får vi,

f'(x) = 2/(4+x²)

Exempel 3: Hitta derivatan av f(x) = arctan (2x ² )

Lösning:

Vi kommer att använda kedjeregeln, som säger att om g(x) är differentierbar vid x och f(x) = arktan (g(x)), då ges derivatan f'(x) av:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

I detta fall är g(x) = 2x², så g'(X) = 4x.

Tillämpa kedjeregelformeln:

f'(x) = 4x/(1+(2x²)²)

f'(x) = 4x/(1+4x⁴)

f'(x) = d/dx(arctan (2x²)) = 4x/(1+4x⁴)

Övningsfrågor om derivatan av Arctan x

F.1: Hitta derivatan av funktionen f(x) = x ² arcan (2x)

F.2: Hitta derivatan av funktionen k(x) = arktan (x ³ +2x)

F.3: Hitta derivatan av funktionen p(x) = x arctan(x ² +1)

F.4: Hitta derivatan av funktionen f(x) = arctan (x)/1+x

F.5: Hitta derivatan av funktionen r(x) = arktan (4x)

Läs mer,

• Derivat i matte
• Derivat av tan invers x
• Arctan

Derivat av Arctan x – Vanliga frågor

Vad är derivat i matematik?

I matematik mäter derivatorna hur en funktion ändras när dess indata (oberoende variabel) ändras. Derivatan av en funktion f(x) betecknas som f'(x) eller (d /dx)[f(x)].

Vad är derivat av solbränna ^-1 (x)?

Derivat av solbrännan^-1(x) med avseende på x är 1/1+x²

Vad är invers av tan x?

Arctan är inversen av tan-funktionen och det är en av de inversa trigonometriska funktionerna. Den är också känd som arktanfunktionen.

Vad är Chain Rule i Arctan (x)?

Kedjeregel är en differentieringsregel. För arctan (u), kedjeregeln säger att om f(x) = arctan(u), då f'(x) = (1/1+u)²)× du/dx. Att tillämpa detta på arctan(x), där u=x, ger 1/1+x²

grep kommando i linux

Vad är derivata av f(x) = x tan ^-1 (x)?

Derivat av f(x) = xtan^-1(x) kan hittas med hjälp av produktregeln. Resultatet är så ^-1 (x) + {x/(1 + x ² )} .

Vad är antiderivat av Arctan x?

Antiderivata av arctan x ges av ∫tan^-1x dx = x tan^-1x – ½ ln |1+x²| + C.

Vad är derivat?

Funktionsderivata definieras som funktionens förändringshastighet med avseende på en oberoende variabel.