På den nyligen omarbetade SAT 2016 är innehållet i matematiksektionen uppdelat i fyra kategorier av College Board: Heart of Algebra, Problemlösning och dataanalys, Passport to Advanced Math och Ytterligare ämnen i matematik. Heart of Algebra står för den största delen av SAT-mattedelen (33 % av testet) , så du måste vara väl förberedd på det. I det här inlägget kommer jag att diskutera den här kategorins innehåll och frågetyper, arbeta mig igenom övningsproblem och ge tips om hur man svarar på dessa frågor.

Algebras hjärta: Översikt

Innehåll som omfattas

Precis som namnet antyder täcker Heart of Algebra algebrainnehåll, men vilket algebrainnehåll specifikt? Dessa frågor omfattar:

• Linjära ekvationer
• Ekvationssystem
• Absolutvärde
• Plotta linjära ekvationer
• Linjära ojämlikheter och system av ojämlikheter

Jag kommer att fördjupa mig i vart och ett av dessa innehållsområden nedan. Jag kommer att förklara exakt vad du behöver veta inom varje område, och jag kommer att gå igenom några övningsproblem.

NOTERA: Alla övningsproblem i den här artikeln kommer från en Real College Board SAT-övningstest (Övningsprov #1).

Jag skulle rekommendera att du inte läser den här artikeln förrän du har tagit övningsprov #1 (så jag förstör det inte för dig!). Om du inte har gjort övningsprov #1, bokmärk den här artikeln och återkom efter att du har slutfört den. Om du redan har tagit övningsprov #1, läs då vidare!

Hjärtat i Algebra-frågan

Som jag nämnde i början av artikeln, utgör Heart of Algebra 33% av matematikavsnittet, vilket fungerar till 19 frågor. Det kommer att finnas åtta i sektion 3 (matteprovet utan kalkylator) och 11 i sektion 4 (kalkylatorns matematikprov).

Heart of Algebra-frågor varierar i presentation. Eftersom det finns så många behövde College Board blanda ihop hur de ställer dessa frågor till dig. Du kommer se flervalsfrågor och rutnätsfrågor i Heart of Algebra. Du kan helt enkelt presenteras för en eller flera ekvationer och behöver lösa eller du kanske ges ett verklighetsscenario som ett ordproblem och behöver skapa en eller flera ekvationer för att hitta svaret.

SAT-matematiksektionen presenterar frågor i svårighetsordning (definieras av hur lång tid det tar en genomsnittlig elev att lösa ett problem och andelen elever som svarar rätt på frågan). Du kommer att se Heart of Algebra-frågor i hela avsnittet : de enkla, 'enkla' kommer att dyka upp i början av flervals- och rutnätet medan de mer utmanande som kräver att du skapar en ekvation eller ekvationer att lösa kommer att dyka upp mot slutet.

Jag kommer att ge exempel på varje typ av frågor (enkla och svåra) när vi lär oss om varje innehållsområde i nästa avsnitt.

Vi är på väg att erövra algebra!

Uppdelningar av innehållsområde

Linjära ekvationer

Linjära ekvationsfrågor kan presenteras på ett par sätt. De enklare linjära ekvationsfrågorna kommer att be dig lösa en linjär ekvation som ges till dig. De svårare frågorna med linjära ekvationer kommer att be dig skriva en linjär ekvation för att representera den givna situationen.

Inga övningsproblem med räknaren

Den här frågan är en av de enklaste, lättaste och mest direkta Heart of Algebra-frågorna som du kommer att se. Frågan ber dig bara att lösa en linjär ekvation utan att placera den i en verklig världssituation som skulle kräva att du förstår både sammanhanget och ekvationen.

Svar Förklaring:

Eftersom $k=3$ kan man ersätta 3 med k i ekvationen, vilket ger ${x-1}/{3}=3$. Att multiplicera båda sidorna av ${x-1}/{3}=3$ med 3 ger $x-1=9$, och om du lägger till 1 på varje sida blir resultatet $x=10$. D är det rätta svaret.

Dricks:

Om du kämpade med den här frågan kunde du också lösa den genom att koppla in svarsalternativen för x och se vilken som fungerade. Att plugga in kommer att fungera men det tar mer tid än att bara lösa ekvationen.

Om du löser ekvationen för att hitta x, kan du dubbelkolla ditt svar genom att sedan koppla in det. Om du kopplar in ditt svarsval för x, och båda sidor av ekvationen är lika, vet du att du har rätt svar!

Följande fråga är lite mer utmanande eftersom den ber dig att skapa en linjär ekvation för att representera det verkliga scenariot den presenterar.

Svar Förklaring:

Det finns två sätt att närma sig detta problem.

Tillvägagångssätt 1: Det totala antalet meddelanden som skickats av Armand är lika med hans hastighet av sms (m texter/timme) multiplicerat med de 5 timmar han tillbringade med att sms: m sms/timme × 5 timmar = $5m$ sms. På samma sätt är det totala antalet meddelanden som skickats av Tyrone lika med hans hastighet av sms (p texter/timme) multiplicerat med de 4 timmar han tillbringade med att sms: p sms/timme × 4 timmar = $4p$ sms. Det totala antalet meddelanden som skickas av Armand och Tyrone är lika med summan av det totala antalet meddelanden som skickats av Armand och det totala antalet meddelanden som skickats av Tyrone: $5m+4p$. C är det rätta svaret.

Tillvägagångssätt 2: Välj nummer och koppla in dem. Till exempel ska jag välja nummer och säga att Armand skickar 3 sms per timme och Tyrone skickar 10 sms per timme. Baserat på den givna informationen, om Armand sms:ar i 5 timmar, skickade Armand (3 sms per timme)(5 timmar) sms eller 15 sms; om Tyrone sms:ar i 4 timmar, skickade Tyrone (10 sms per timme)(4 timmar) sms eller 40 sms. Därför är det totala antalet sms som skickas av Armand och Tyrone $15+40=55$ sms. Nu kopplar jag in siffrorna jag valde till svarsalternativen och ser om antalet texter matchar 55 texter, så för svar C, $5(3) +4(10)=15+40=55$ texter. Därför är C det rätta svaret. OBS: för denna fråga var denna strategi långsammare, men för mer komplicerade frågor kan detta vara ett snabbare och enklare tillvägagångssätt.

Dricks:

Ta dessa problem ett steg i taget. Ta reda på Armands totala antal textmeddelanden, räkna sedan ut Tyrones totala antal textmeddelanden och kombinera dem sedan till ett uttryck. Skynda dig inte att hoppa till det slutliga svaret. Du kan göra ett misstag på vägen.

Ekvationssystem

Ekvationssystemfrågor kommer att presenteras på liknande sätt som linjära ekvationsfrågor; dock, de är svårare eftersom du nu måste göra fler steg och/eller skapa en andra ekvation.

De enklare system av ekvationsfrågor kommer att be dig lösa för en variabel när du får två ekvationer med två variabler.

De svårare system av ekvationsfrågor kommer att kräva att du skriver ett ekvationssystem för att representera den givna situationen och sedan löser för en variabel med hjälp av ekvationerna du skapade.

Inga övningsproblem med räknaren

Denna fråga är utan tvekan enklaste, enklaste och mest okomplicerade system av ekvationsfrågor som du kommer att se. Den ställer upp ekvationerna åt dig och ber dig helt enkelt lösa för x.

Svar Förklaring:

Att subtrahera vänster och höger sida av $x+y=−9$ från motsvarande sidor av $x+2y =−25$ ger $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , vilket motsvarar $y=−16$. Att ersätta $y$ med $−16$ i $x+y=−9$ ger $x+(−16)=−9$, vilket motsvarar $x=−9−(−16) =7$. Rätt svar är 7.

Dricks:

Att ansluta kan vara ett bra alternativ om du får den här frågan i flervalsfrågan (vilket inte är fallet här). Men du kunde också ha kopplat in ditt svar för att dubbelkolla ditt arbete!

Här är en annan ganska enkel fråga om ekvationssystem, men det är det lite svårare eftersom du måste ge svaret för både x och y (vilket skapar större risk för fel).

Svar Förklaring:

Att lägga till x och 19 på båda sidor av $2y−x=−19$ ger $x=2y+19$. Att sedan ersätta x med $2y+19$ i $3x+4y=−23$ ger $3(2y + 19)+4y=−23$. Denna sista ekvation motsvarar $10y+57=−23$. Att lösa $10y+57=−23$ ger $y=−8$. Om du slutligen ersätter y-8 i $2y−x=−19$ får du $2(−8)−x=−19$, eller $x=3$. Därför är lösningen $(x, y)$ till det givna ekvationssystemet $(3, −8)$.

Dricks:

Att plugga in hade också varit ett snabbt sätt att lösa detta! När du blir ombedd att lösa båda variablerna i en ekvationssystemfråga, försök alltid att koppla in!

Följande är en lite svårare. Även om du får ekvationerna måste du fortfarande bestämma vad frågan ställer dig (vilken variabel du behöver lösa för) vilket är lite mer utmanande eftersom det ställer frågan med ett verkligt scenario. Du måste också lösa det med hjälp av mental matematik (eftersom det finns i avsnittet utan kalkylator).

Svar Förklaring:

För att bestämma priset per pund nötkött när det var lika med priset per pund kyckling, bestäm värdet på x (antalet veckor efter 1 juli) när de två priserna var lika. Priserna var lika när $b=c$; det vill säga när $2,35+0,25x=1,75+0,40x$. Den sista ekvationen motsvarar $0,60=0,15x$, så $x={0,6}/{0,15}=4$. För att sedan bestämma $b$, priset per pund nötkött, ersätt 4 med $x$ i $b=2,35+0,25x$, vilket ger $b=2,35+0,25(4)=3,35$ dollar per pund. Därför är D det rätta svaret.

Dricks:

Ta dig tid att arbeta igenom varje steg. Det är lätt att göra ett litet misstag och få fel svar.

Kalkylatorövningsproblem

Följande är en av de svåraste Heart of Algebra-frågorna. Baserat på det verkliga scenariot som du får i frågan, måste du skapa två ekvationer och sedan lösa dem.

Svar Förklaring:

För att bestämma antalet sålda sallader, skriv och lös ett system med två ekvationer. Låt $x$ vara lika med antalet sålda sallader och låt $y$ vara lika med antalet sålda drycker. Eftersom antalet sallader plus antalet sålda drycker är lika med 209, måste ekvationen $x+y=209$ hålla. Eftersom varje sallad kostade 6,50, varje läsk kostade 2,00 och den totala inkomsten var 836,50, måste ekvationen $6,50x+2,00y=836,50$ också hålla. Ekvationen $x+y=209$ motsvarar $2x+2y=418$, och subtrahera varje sida av $2x+2y=418$ från respektive sida av $6,50x+2,00y=836,50$ ger 4,5x=418,50$ $. Därför var antalet sålda sallader x $x={418,50}/{4,50}=93$. Därför är B det rätta svaret.

Dricks:

Ta dessa problem ett steg i taget. Skriv ut ekvationen för det totala antalet sallader och drycker som sålts, räkna ut ekvationen för intäkter och lös sedan. Skynda dig inte, annars kan du göra ett misstag.

Absolutvärde

Det kommer vanligtvis bara att finnas en absolut värdefråga i SAT-mattedelen. Frågan är vanligtvis ganska enkel och okomplicerad, men den kräver att du känner till reglerna för det absoluta värdet för att svara på den korrekt. Allt som är ett absolut värde kommer att vara inom parentes med absoluta värdetecken som ser ut så här: || Till exempel $|-4|$ eller $|x-1|$

Ett absolutvärde är en representation av avstånd längs en tallinje, framåt eller bakåt.

Detta innebär att vad som än står i absolutvärdetecknet blir positivt eftersom det representerar avstånd längs en tallinje och det är omöjligt att ha ett negativt avstånd. Till exempel, på ovanstående tallinje är -2 2 från 0. Allt inom det absoluta värdet blir positivt.

Detta innebär också att en absolutvärdesekvation alltid kommer att ha två lösningar . Till exempel kommer $|x-1|=2$ att ha två lösningar $x-1=2$ och $x-1=-2$. Sedan löser du varje separat ekvation för att hitta de två lösningarna, $x=3,-1$.

När man arbetar med absoluta värdeproblem, kom ihåg att du måste skapa två separata lösningar, den positiva och den negativa som vi gjorde ovan.

Kalkylatorövningsproblem

Svar Förklaring:

Om värdet på $|n−1|+1$ är lika med 0, då $|n−1|+1=0$. Att subtrahera 1 från båda sidor av denna ekvation ger $|n−1|=−1$. Uttrycket $|n−1|$ på vänster sida av ekvationen är det absoluta värdet av $n−1$, och, som jag nyss nämnde, kan det absoluta värdet aldrig vara ett negativt tal eftersom det representerar avstånd. Således har $|n−1|=−1$ ingen lösning. Därför finns det inga värden för n där värdet på $|n−1|+1$ är lika med 0. D är det korrekta svaret.

Dricks:

Kom ihåg reglerna för absolut värde (det är alltid positivt!). Om du kommer ihåg reglerna bör du få rätt på frågan!

Plotta linjära ekvationer

Dessa frågor testar din förmåga att läsa en graf och tolka den till $y=mx+b$ form. En snabb uppdatering, $y=mx+b$ är lutningsskärningsekvationen för en linje, där m representerar lutningen och b representerar y-skärningspunkten.

I dessa frågor kommer du vanligtvis att presenteras med grafen för en linje, och du måste bestämma vad lutningen och y-skärningen är för att skriva linjens ekvation.

Kalkylatorövningsproblem

Svar Förklaring:

Relationen mellan h och C representeras av valfri ekvation för den givna linjen. Linjens C-avsnitt är 5. Eftersom punkterna $(0, 5)$ och $(1, 8)$ ligger på linjen, är linjens lutning ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Därför kan förhållandet mellan h och C representeras av $C=3h+5$, linjens lutningsskärningsekvation. C är det rätta svaret.

Dricks:

Ha lutningsskärningsformen ($y=mx+b$) och lutningsekvationen $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$ memorerade. Vet vad varje variabel i ekvationerna betyder. Om du vet allt detta bör du kunna klara alla grafiska linjära ekvationsproblem som du får.

Linjära ojämlikheter och system av linjära ojämlikheter

Dessa är utan tvekan den mest utmanande Heart of Algebra-frågorna eftersom många elever kämpar när variabler kombineras med ojämlikheter. Om du behöver en snabb men djupgående uppfräschning om ojämlikheter, kolla in vår guide för ojämlikheter.

Dessa frågor visas vanligtvis mot slutet av flervals- och rutnätet i varje avsnitt. Dessa frågor kommer att presenteras som ojämlika redan uppsatta ojämlikheter (du kommer inte att bli ombedd att skapa ojämlikheter och inte heller kommer du att presenteras för ett verkligt scenario som använder ojämlikheter). Även om de presenteras på ett enkelt sätt är dessa frågor utmanande, och det är lätt att göra fel, så ta dig tid!

Räknare övningsproblem

Svar Förklaring:

Att subtrahera $3x$ och lägga till 3 på båda sidor av $3x−5≥4x−3$ ger $−2≥x$. Därför är x en lösning till $3x−5≥4x−3$ om och endast om x är mindre än eller lika med −2 och x INTE är en lösning till $3x−5≥4x−3$ om och endast om x är större än −2. Av de givna valen är endast −1 större än −2 och kan därför inte vara ett värde på x. A är det rätta svaret.

Du kan också försöka svara på detta genom att koppla in svarsalternativen och se vilket som inte fungerade. Om du kopplar in A i ojämlikheten, skulle du få $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Om du förenklar ojämlikheten, skulle du få -8≥-7, vilket inte är sant, så A är det korrekta svaret.

Dricks

Kom ihåg reglerna för ojämlikhet! Ta dig tid att arbeta dig igenom varje steg så att du inte gör några misstag. Kom också ihåg att testa att koppla in svarsalternativen för att hitta rätt svar!

Låt oss ta en titt på ett annat exempel.

Svar Förklaring:

Eftersom (0, 0) är en lösning på systemet av ojämlikheter, måste ersättning av 0 för x och 0 för y i det givna systemet resultera i två sanna olikheter. Efter detta byte, y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b. Därför är a positivt och b negativt. Därför a > b. Val A är korrekt.

Dricks:

Behandla detta system av ojämlikheter med fyra variabler på samma sätt som du skulle behandla ett system av ojämlikheter med två variabler. Kom ihåg att om (0,0) är en lösning betyder det att när x=0, y=0.

4 nyckelstrategier för Heart of Algebra

Jag har varvat strategierna för att angripa dessa frågor i den här artikeln i 'tips'-avsnitten, men jag ska sammanfatta dem här nu.

Strategi #1: Memorera reglerna och formeln

Du behöver känna till reglerna för ojämlikheter , reglerna för absolut värde och formeln för intercept-lutningsversionen av en linje ($y=mx+b$) för att svara på dessa typer av algebrafrågor korrekt. Utan reglerna och formeln är dessa frågor i stort sett omöjliga.

Om du behöver mer hjälp med något av begreppen, kolla in våra djupgående guider till linjära ekvationer, ekvationssystem , absolutvärde , intercept-lutningsform och linjära ojämlikheter och ojämlikhetssystem.

Strategi #2: Plugga in svar

På flervalsfrågorna bör du kontrollera alltid om du kan koppla in svarsvalen till de givna ekvationerna eller olikheten för att hitta rätt svar . Ibland är detta tillvägagångssätt mycket enklare än att försöka lösa ekvationen.

Även om du upptäcker att inkoppling av svar saktar ner dig bör du åtminstone överväga att använda det för att kontrollera ditt arbete. Koppla in det svarsval du hittar och se om det resulterar i en balanserad ekvation eller korrigerar ojämlikheter. Om det gör det vet du att du har rätt svar!

Anslut den! Anslut den!

Strategi #3: Plugga in Numbers

Om det inte är möjligt att koppla in svar, är det ofta en möjlighet att koppla in siffror som i fråga 2 ovan. När du väljer siffror att koppla in, rekommenderar jag i allmänhet inte att du använder -1, 0 eller 1 (eftersom de kan resultera i felaktiga svar), och se till att läsa frågan för att se vilka siffror du ska välja. Till exempel i fråga 2 representerade siffrorna antalet skickade textmeddelanden, så du bör inte använda ett negativt tal för att representera antalet textmeddelanden eftersom det är omöjligt att skicka ett negativt antal textmeddelanden.

För ojämlikheter är detta särskilt viktigt, ofta kommer frågan att säga 'följande är sant för alla $x>0$.' Om så är fallet kan du inte koppla in 0 eller -5; du kan bara koppla in siffror större än 0 eftersom det är parametern som ställs in av frågan.

Strategi #4: Arbeta ett steg i taget

För Heart of Algebra-frågor måste du ta dig tid att arbeta igenom varje steg. Dessa frågor kan involvera 5, 10, 15 steg, och du måste ta dig tid att se till att du inte gör ett litet misstag i steg 3 som kommer att resultera i ett felaktigt svar. Du kan din sak, så låt inte små misstag kosta dig poäng!

Vad kommer härnäst?

Nu när du vet vad du kan förvänta dig i frågor om Heart of Algebra, se till att du är förberedd på alla andra matematikämnen du ser på SAT. Alla våra matematikguider tar dig igenom strategier och övningsproblem för alla ämnen som tas upp i matematikavsnittet, från heltal till förhållanden, cirklar till polygoner (och mer!).

Känner du dig orolig inför testdagen? Se till att du vet exakt vad du ska göra och ta med dig för att lugna ditt sinne och lugna dina nerver innan det är dags att ta din SAT.

Får du ont om tid på SAT-mattedelen? Leta inte längre än vår guide för att hjälpa dig slå klockan och maximera din SAT-mattepoäng.

Mete för att få ett perfekt resultat? Kolla in vår guide för att få en perfekt 800 , skriven av en perfekt målskytt.