Mängdsymboler är en samlingsterm som används för alla symboler som används inom mängdlära som är den gren av matematiken som handlar om insamling av föremål och deras olika egenskaper. En uppsättning är en väldefinierad samling av objekt där varje objekt i samlingen kallas ett element och varje element i uppsättningen följer en mycket specifik regel. Generellt används stor bokstav i engelska alfabet för att beteckna mängder och vissa bokstäver betecknar några specifika mängder i mängdteorin.
Det finns många symboler som används under studiet av denna gren av matematik, några av de vanliga symbolerna är {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø, etc. Vi kommer att diskutera alla dessa symboler i detalj i artikeln inklusive historien om dessa symboler också. Så låt oss börja vår resa med att lära oss om olika mängdsymboler som används i mängdteorin.
Innehållsförteckning
- Vad är uppsättningssymboler?
- Historia om uppsättningssymboler
- Grundläggande begrepp för inställda symboler
- Ställ in symboler i matematik
- Set Theory Symboler
- Lösta exempel på Set Symboler
- Övningsfråga för Set Symboler
- Vanliga frågor
Vad är uppsättningssymboler?
Uppsättningssymboler är grundläggande byggstenar i matematik som används för att representera och beskriva grupper av objekt, tal eller objekt som har liknande egenskaper. Dessa symboler erbjuder ett tydligt och konsekvent sätt att kommunicera svåra idéer om uppsättningar och deras interaktioner. Den mest typiska setsymbolen är ∈, som står för medlemskap och uttalas som tillhör. ∈ indikerar att ett element är en del av en specifik mängd.
Däremot betyder ∉ att ett element inte ingår i en mängd. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅, etc. är några av de vanligaste exemplen på symboler i mängdteorin. Dessa och andra symboler gör det möjligt för matematiker att definiera operationer, specificera operationer och formulera exakta matematiska påståenden, vilket lägger grunden för en mängd olika matematiska specialiteter och praktiska användningsområden.
Läs mer om Mängdteori .
Exempel på uppsättningssymboler
Låt oss använda symbolen, som står för skärningspunkten mellan uppsättningar, som en illustration. Låt E och F vara två mängder så att Set E = {1, 3, 5, 7} och Set F = {3, 6, 9}. Då representerar symbolen ∩ skärningspunkten mellan båda uppsättningarna, dvs E ∩ F.
Här innehåller E ∩ F alla element som är gemensamma i båda mängderna E och F, dvs. {3}.
Sammanfattningsvis används symbolen ∩ för att identifiera de element som delas av två eller flera uppsättningar. Skärningen producerar bara uppsättningar som har element som delas av alla uppsättningar som skärs.
Lära sig mer om Skärning av uppsättningar .
Historia om uppsättningssymboler
Mellan 1874 och 1897 ringde en tysk matematiker Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor utvecklat en abstrakt teori som heter Mängdteori. Han föreslog det samtidigt som han undersökte några faktaproblem som involverade specifika former av oändliga uppsättningar av reella tal. En uppsättning är enligt begreppet en gruppering av vissa definierade och distinkta observationsobjekt. Alla dessa saker kallas medlemmar eller komponenter i uppsättningen. Egenskapen för reella algebraiska talkombinationer är grunden för Cantors teori.
Grundläggande begrepp för inställda symboler
Olika idéer behandlas på olika nivåer i skolan i mängdlära. Uppsättningsrepresentation, mängdtyper, mängdoperationer (såsom union och korsning), uppsättningskardinalitet och relationer och så vidare är bland de väsentliga begreppen. Några av de väsentliga begreppen i mängdteorin är följande:
Universal set
Den stora bokstaven 'U' används vanligtvis för att representera en universell uppsättning. Det symboliseras också ibland med ε(epsilon). Det är en uppsättning som innehåller alla delar av andra uppsättningar såväl som sina egna.
Komplettering av Set
Komplementet av en uppsättning omfattar alla den universella uppsättningens beståndsdelar utom elementen i uppsättningen som granskas. Om A är en uppsättning, kommer dess komplement att innehålla alla medlemmar i den angivna universella uppsättningen (U) som inte ingår i A. En uppsättnings komplement indikeras eller uttrycks som A’ eller Acoch definieras som:
A’= {x ∈ U: x ≠ A}
Läs mer om Komplettering av Set .
Ställ in Builder Notation
Set Builder-notation är metoden för att representera mängder på ett sådant sätt att där vi inte behöver lista alla element i mängden, vi behöver bara specificera regeln som följs av alla element i mängden. Några exempel på dessa notationer är:
Om A är en samling reella tal.
A = {x : x ∈ R}
Om A är en samling naturliga tal.
A = {x : x> 0 och x ∈ Z]
Var MED är en uppsättning av heltal.
Läs mer, Representation av uppsättningar .
Ställ in symboler i matematik
För att hänvisa till olika saker och mängder använder den inställda symbolen ofta en fördefinierad lista med variabelsymboler. För att läsa och skapa uppsättningsbeteckningar måste du först förstå hur man använder symboler i olika situationer. Låt oss titta på alla mängdteoretiska notationer och symboler som hänför sig till operationer, relationer och så vidare, tillsammans med deras betydelser och exempel, under denna kategori.
Symboler som används i nummersystem
Symbolerna som används i nummersystem finns med i tabellen nedan:
| Symbol | namn | Betydelse/Definition | Exempel |
|---|---|---|---|
| W eller 𝕎 | Heltal | Dessa är de naturliga talen. | Vi vet att N = {1, 2, 3, . . . } 1 ∈ N |
| N eller ℕ | Naturliga tal | Naturliga tal kallas ibland för räknetal som börjar med 1. | Vi vet att W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } 0 ∈ W |
| Z eller ℤ | Heltal | Heltal är jämförbara med heltal, förutom att de även inkluderar negativa värden. | Vi vet att Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . .} -6 ∈ Z |
| Q eller ℚ | Rationella nummer | Rationella tal är de som anges som a/b. I det här fallet är a och b heltal med b ≠ 0. | Q= x=a/b, a, b ∈ Z och b ≠ 0 2/6 ∈ Q |
| P eller ℙ | Irrationella siffror | De tal som inte kan representeras i form av a/b kallas irrationella tal, det vill säga alla reella tal som inte är rationella. namn på städer usa | P = x π och ∈ P |
| R eller ℝ | Riktiga nummer | Hela tal, rationella tal och irrationella tal utgör reella tal. | R= x 6,343434 ∈ R |
| C eller ℂ | Komplexa tal | Ett komplext tal är en kombination av ett reellt tal och ett imaginärt tal. | C= z = a + bi, a, b ∈ R 6 + 2 i ∈ C |
Set Theory Symboler
Avgränsare är specialtecken eller teckensekvenser som indikerar början eller slutet av en viss sats eller funktionskropp i en angiven uppsättning. Följande är symboler och betydelser för avgränsningsuppsättningsteori:
| Symbol | namn | Betydelse/Definition | Exempel |
|---|---|---|---|
| {} | Uppsättning | Inom dessa parenteser finns ett gäng element/siffror/alfabet i en uppsättning. | {15, 22, c, d} |
| | | Så att | Dessa används för att konstruera en uppsättning genom att specificera vad som finns i den. | q> 6 Uttalandet specificerar samlingen av alla q så att q är större än 6. |
| : | Så att | Symbolen : används ibland istället för | symbol. | Ovanstående mening kan alternativt skrivas som q . |
Mängder och relationssymboler i mängdteori
Mängdteorisymboler används för att identifiera en specifik mängd samt för att bestämma/visa ett samband mellan distinkta mängder eller relationer inuti en mängd, såsom förhållandet mellan en mängd och dess beståndsdel. Tabellen nedan visar sådana relationssymboler, tillsammans med deras betydelser och exempel:
| Symbol | namn | Betydelse/Definition | Exempel |
|---|---|---|---|
| a ∈ A | Är en komponent av | Detta anger att ett element är en medlem av en specifik uppsättning. | Om en mängd A={12, 17, 18, 27} kan vi säga att 27 ∈ a. |
| b ∉ B | Är inte en komponent av | Detta indikerar att ett element inte tillhör en viss uppsättning. | Om en mängd B={c, d, g, h, 32, 54, 59} så hör inte något annat element än det i mängden till denna mängd. Som ett exempel, 18 ∉ B. |
| A = B | Jämställdhetsrelation | De medföljande seten är likvärdiga i den meningen att de har samma komponenter. | Om du sätter P={16, 22, a} och Q={16, 22, a} så P=Q. |
| A ⊆ B | Delmängd | När alla objekt i A finns i B är A en delmängd av B. | A= {31, b} och B={a, b, 31, 54} {31, b} ⊆ {a, b, 31, 54} |
| A ⊂ B | Korrekt delmängd | P sägs vara en riktig delmängd av B när det är en delmängd av B och inte lika med B. | A= {24, c} och B={a, c, 24, 50} A ⊂ B |
| A ⊄ B | Inte en delmängd | Som ett resultat är uppsättning A inte en delmängd av uppsättning B. | A = {67,52} och B = {42,34,12} A ⊄ B |
| A ⊇ B | Superset | A är en supermängd av B om mängd B är en delmängd av A. Mängd A kan vara samma som eller större än uppsättning B. | A = {14, 18, 26} och B={14, 18, 26} {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| A ⊃ B | Rätt Superset | Uppsättning A har fler element än mängd B eftersom den är en supermängd av B. | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| A ⊅ B | Inte en Superset | När alla element i B inte finns i A, är A inte en sann supermängd av B. | A = {11, 12, 16} och B ={11, 19} {11, 12, 16} ⊅ {11, 19} |
| O | Tom Set | En tom eller noll uppsättning är en som inte innehåller några element. | {22, y} ∩ {33, a} = Ø |
| I | Universal set | En uppsättning som innehåller element från alla relevanta uppsättningar, inklusive sina egna. | Om A = {a,b,c} och B = {1,2,3,b,c}, då U = {1,2,3,a,b,c} |
| |A| eller n{A} | Kardinalitet av en uppsättning | Kardinalitet avser antalet föremål i en viss samling. | Om A= {17, 31, 45, 59, 62} så är |A|=5. |
| P(X) | Power Set | En effektmängd är mängden av alla delmängder av mängd X, inklusive själva mängden och nollmängden. | Om, X = {12, 16, 19} P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}} |
Operatörsbaserade symboler i mängdteori
Med exempel kommer vi att studera mängdteoretiska symboler och betydelser för många operationer som förening, komplement, skärningspunkt, skillnad och andra.
instans av i java
| Symbol | namn | Betydelse/Definition | Exempel |
|---|---|---|---|
| A ∪ B | Union of Sets | Unionen av set skapar en helt ny uppsättning genom att kombinera alla komponenter i de medföljande uppsättningarna. | A = {p, q, u, v, w} B = {r, s, x, y} A ∪ B (A förening B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| A ∩ B | Skärning av uppsättningar | Den gemensamma komponenten för båda uppsättningarna ingår i korsningen. | A = { 4, 8, a, b} och B = {3, 8, c, b}, sedan A ∩ B = {8, b} |
| XcELLERX' | Komplettering av en uppsättning | Ett sets komplement omfattar alla saker som inte hör till den tillhandahållna uppsättningen. | Om A är universell mängd och A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} och B = {13, 15, 17, 18, 19} X′ = A – B ⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24} |
| A - B | Ställ in skillnad | Skillnadsuppsättningen är en uppsättning som innehåller objekt från en uppsättning som inte finns i en annan. | A = {12, 13, 15, 19} och B = {13, 14, 15, 16, 17} A – B = {12, 19} |
| A × B | Kartesisk produkt av set | En kartesisk produkt är produkten av de beställda komponenterna i seten. | A = {4, 5, 6} och B = {r} Nu, A × B ={(4, r), (2, r), (6, r)} |
| A ∆ B | Symmetrisk skillnad mellan set | A Δ B = (A – B) U (B – A) anger den symmetriska skillnaden. | A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31} A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
Läs mer
- Typer av set
- Drift på set
Lösta exempel på Set Symboler
Exempel 1: Givet två uppsättningar med P={21, 32, 43, 54, 65, 75} och Q={21, 43, 65, 75, 87, 98} vad är värdet på P∪Q?
Svar:
P={21, 32, 43, 54, 65, 75} och Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
Exempel 2: Vad är värdet på |Y| om Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?
Svar:
|Y| = Mängdens kardinalitet = antalet element i mängden är lösningen.
|Y| = n(Y)=6, eftersom mängden Y har 6 element.
Exempel 3: Givet två uppsättningar med värden P={a,c,e} och Q={4,3}, bestäm deras kartesiska produkt.
Svar:
Kartesisk produkt = P × Q
Om P={b, d, f} och Q={5, 6}
Då P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}
Exempel 4: Antag att P = {x: x är ett naturligt heltal och en multipel av 24, och Q = {x: x är ett naturligt tal mindre än 8}. Bestäm P ∪ Q.
Svar:
Givet att
P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
snabb sortering javaQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Som ett resultat är P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
Exempel 5: Antag att P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Hitta (P ∩ Q)’.
Svar:
Givet, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
Därför,
(P ∩ Q)' = {3, 5, 6, 7, 8}
Exempel 6: Om P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} och Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, bestäm
(i) P-Q och (ii) P-Q.
Svar:
Given,
P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} och Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}
(i) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
Övningsfrågor för uppsättningssymboler
Fråga 1: Med tanke på uppsättningarna:
- A = {2, 4, 6, 8}
- B = {4, 8, 12, 16}
Bestäm elementen i föreningen av mängderna A och B.
Fråga 2: Låt oss överväga uppsättningarna:
- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- Y = {3, 4, 5, 6, 7}
Hitta skärningspunkten mellan mängderna X och Y.
Fråga 3: Anta att du har uppsättningarna:
- P = {a, b, c, d}
- Q = {c, d, e, f}
Beräkna elementen i mängden P – Q samt Q – P.
Fråga 4: Låt oss säga att du har seten:
- U = {1, 2, 3, 4, 5}
- V = {4, 5, 6, 7}
Ta reda på om mängd V är en delmängd av mängd U.
Fråga 5: Tänk på uppsättningarna:
- S = {äpple, banan, apelsin, päron}
- T = {päron, mango, körsbär}
Hitta den kartesiska produkten av uppsättningarna S och T.
Fråga 6: Anta att du har den universella uppsättningen:
- U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
Och uppsättningarna:
- E = {b, d, f, h, j}
- F = {a, c, e, g, i}
Beräkna komplementet av mängden E och F med avseende på den universella mängden U.
Vanliga frågor om Set Symbols
1. Definiera Set Symbol.
Uppsättningssymbolen är en gren som studerar grupperingar av entiteter/nummer/objekt, deras relationer med andra uppsättningar, olika operationer (union, skärningspunkt, komplement och skillnad) och tillhörande egenskaper.
2. Vad representerar denna symbol ⊆?
Symbolen ⊆ betyder är en delmängd av. En delmängd är en uppsättning vars objekt har lagts till som om de alla vore element i en annan uppsättning.
3. Vad betyder ∪ i mängder?
’∪’ är tecknet för den inställda föreningen. A ∪ B är en mängd som innehåller alla elementen i mängderna A och B.
4. Vad representerar P = Q?
Om mängden P är lika med mängden Q, är medlemmarna av P och Q desamma. Till exempel:
P = {4,5,6} och Q = {6,5,4}
Som ett resultat är P = Q.
5. Vad betyder ∩ i matematik?
'∩' betyder föreningen av två uppsättningar. A ∩ B är en uppsättning som innehåller objekt som delas av både A och B.
6. Vad är ∈ i mängder?
∈ är ett tecken som betyder 'tillhör'. Om b ∈ B indikerar det att b är ett element av B.
7. Vad är mängden N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} känd som?
Mängden naturliga tal definieras som N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Den innehåller alla positiva tal, från 1 till ett oändligt tal. Denna samling är avgörande för matematiken och ger ett ramverk för både ordning och räkning.
8. Vad är A × B i mängder?
Den kartesiska produkten av uppsättningarna A och B visas som A x B i uppsättningssymbolen. Det är uppsättningen som inkluderar alla möjliga ordnade parningar där det första elementet dras från set A och det andra från set B.
9. Hur kommer du att läsa A ∩ B?
A∩B uttalas A skärningspunkt B. Det står för mängden som innehåller element som är gemensamma i båda mängderna.
10. Vad betyder Ø i mängdteori?
I mängdteorin betecknas idén om en tom mängd, som inte har några objekt, med symbolen Ø (uttalas tom mängd).
11. Vad är AUB?
AUB i matematik står för föreningen av mängderna A och B. Det hänvisar till mängden som inkluderar varje element från både mängderna A och B.
12. Är ∅ detsamma som {}?
Ja, ∅ och {} representerar båda den tomma mängden i matematik. Således är båda de olika notationerna av samma sak.