Trigonometri är en viktig gren av matematiken som handlar om förhållandet mellan vinklar och längder på sidorna i en rätvinklig triangel. De sex trigonometriska förhållandena eller funktionerna är sinus, cosinus, tangent, cosecant och sekant, och ett trigonometriskt förhållande är ett förhållande mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Sinus-, cosinus- och tangensfunktioner är tre viktiga trigonometriska funktioner eftersom de andra tre, dvs. cosecant-, sekant- och cotangensfunktioner är de reciproka funktionerna för sinus-, cosinus- och tangentfunktioner.

• sin θ = Motsatt sida/hypotenusa
• cos θ = Intilliggande sida/Hypotenus
• tan θ = Motsatt sida/Angränsande sida
• cosec θ = Hypotenus/Motsatt sida
• sek θ = Hypotenus/Angränsande sida
• barnsäng θ = Intilliggande sida/Motsatt sida

Tangentfunktion är en av de 6 trigonometriska funktioner som används i trigonometriformler .

Innehållsförteckning

• Tangent formel
• Några grundläggande Tangent-formler
• Tangentfunktion i termer av sinusfunktion
• Tangentfunktion i termer av cosinusfunktion
• Tangent-funktion i termer av Cotangent-funktion
• Tangentfunktion i termer av Cosecant-funktion
• Tangentfunktion i termer av sekantfunktion

Tangent formel

Tangent av en vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan längden på den motsatta sidan och längden på den intilliggande sidan till den givna vinkeln. Vi skriver en tangentfunktion som tan. Låt oss betrakta en rätvinklig triangel XYZ och en av dess spetsiga vinklar är θ. En motsatt sida är den sida som är motsatt vinkeln θ och den intilliggande sidan är den sida som ligger intill vinkeln θ.

Nu är tangentformeln för den givna vinkeln θ,

tan θ = Motsatt sida/Angränsande sida

Några grundläggande Tangent-formler

Tangentfunktion i kvadranter

Tangentfunktionen är positiv i den första och tredje kvadranten och negativ i den andra och fjärde kvadranten.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^stkvadrant)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^ndkvadrant)
• tan (π + θ) = tan θ (3^rdkvadrant)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^thkvadrant)

Tangentfunktion som en negativ funktion

Tangentfunktionen är en negativ funktion eftersom tangenten för en negativ vinkel är den negativa till en positiv tangentvinkel.

tan (-θ) = – tan θ

Tangentfunktion i termer av sinus- och cosinusfunktion

Tangentfunktion i termer av sinus- och cosinusfunktioner kan skrivas som,

tan θ = sin θ/cos θ

Vi vet att tan θ = Motsatt sida/Angränsande sida

Dela nu både täljaren och nämnaren med hypotenusan

tan θ = (Motsatt sida/Hypotenus)/(Angränsande sida/Hypotenus)

Vi vet att sin θ = motsatt sida/hypotenusa

cos θ = intilliggande sida/hypotenusa

Därför är tan θ = sin θ/cos θ

Tangentfunktion i termer av sinusfunktion

Tangentfunktion i termer av sinusfunktionen kan skrivas som,

tan θ = sin θ/(√1 – sin ² i)

Vi vet det,

tan θ = sin θ/cos θ

exempel på operativsystem

Från de pytagoreiska identiteterna har vi,

utan²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²i

cos θ = √(1 – sin²i)

Därför är tan θ = sin θ/(√1 – sin²i)

Tangentfunktion i termer av cosinusfunktion

Tangentfunktion i termer av cosinusfunktionen kan skrivas som,

tan θ = (√1 -cos ² i)/cos i

Vi vet det,

tan θ = sin θ/cos θ

Från de pytagoreiska identiteterna har vi,

utan²θ + cos²θ = 1

utan²θ = 1 – cos²i

sin θ = √(1 – cos²i)

Därför är tan θ = (√1 – cos²i)/cos i

Tangent-funktion i termer av Cotangent-funktion

Tangentfunktion i termer av cotangensfunktion kan skrivas som,

tan θ = 1/barnsäng θ

eller

tan θ = spjälsäng (90° – θ) (eller) spjälsäng (π/2 – θ)

Tangentfunktion i termer av Cosecant-funktion

Tangentfunktion i termer av cosecant-funktionen kan skrivas som,

tan θ = 1/√(cosec ² jag – 1)

Från de pytagoreiska identiteterna har vi,

cosec²θ – spjälsäng²θ = 1

spjälsäng²θ = cosec²jag – 1

cot θ = √(cosec²jag – 1)

Vi vet det,

tan θ = 1/barnsäng θ

Därför är tan θ = 1/√(cosec²jag – 1)

Tangentfunktion i termer av sekantfunktion

Tangentfunktion i termer av sekantfunktionen kan skrivas som,

tan θ = √sek ² jag – 1

Från de pytagoreiska identiteterna har vi,

sek²θ – alltså²θ = 1

tan θ = sek²jag – 1

Därför är tan θ = √(sek²jag – 1)

Tangentfunktion i termer av dubbelvinkel

Tangentfunktion för en dubbel vinkel är,

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² i)

Tangentfunktion i termer av trippelvinkel

Tangentfunktion för en trippel vinkel är,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² i)

Tangentfunktion i termer av halvvinkel

Tangentfunktion för en halvvinkel är,

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Tangentfunktion i termer av addition och subtraktion av två vinklar

Summa- och differensformler för en tangentfunktion är,

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)

tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Trigonometrisk kvottabell

Löst exempel på Tangentformler

Exempel 1: Hitta värdet på tan θ om sin θ = 2/5 och θ är den första kvadrantvinkeln.

Lösning:

Given,

• sin θ = 2/5

Från de pythagoras identiteter vi har,

utan²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Eftersom θ är den första kvadrantvinkeln är cos θ positiv.

c# lista

cos θ = √21/5

Vi vet det,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

tan θ = 2√21/21

Så, värdet på tan θ när sin θ = 2/5 och θ är i första kvadranten är (2√21) /(21)

Exempel 2: Hitta värdet på tan x om sek x = 13/12 och x är den fjärde kvadrantvinkeln.

Lösning:

Givet, sek x = 13/12

Från de pytagoreiska identiteterna har vi,

sek²x – alltså²x = 1

så²x = sek²x – 1= (13/12)²- 1

så²x = (169/144) – 1= 25/144

tan x = ± 5/12

Eftersom x är den fjärde kvadrantvinkeln är tan x negativ.

tan x = – 5/12

Därav, tan x = – 5/12

Exempel 3: Om tan X = 2/3 och tan Y = 1/2, vad är då värdet på tan (X + Y)?

Lösning:

Given,

tan X = 2/3 och tan Y = 1/2

Vi vet det,

tan (X + Y) = (tan X + tan Y)/(1 – tan X tan Y)

brun (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Därav, tan(X + Y) = 7/4

Exempel 4: Beräkna tangentfunktionen om de intilliggande och motsatta sidorna av en rätvinklig triangel är 4 cm respektive 7 cm.

Lösning:

Given,

Intilliggande sida = 4 cm

Motsatt sida = 7 cm

Vi vet det,

tan θ = Motsatt sida/Angränsande sida

tan 6 = 7/4 = 1,75

Därav, tan 6 = 1,75

Exempel 5: En man tittar på ett klocktorn i 60° vinkel mot toppen av tornet, vars höjd är 100 m. Vad är avståndet mellan mannen och foten av tornet?

Lösning:

Given,

Tornets höjd = 100 m och θ = 60°

Låt avståndet mellan människan och foten av tornet = d

Vi har,

tan θ = Motsatt sida/Angränsande sida

brun 60° = 100/d

√3 = 100/d [Sedan, alltså 60° = √3]

d = 100/√3

Därför är avståndet mellan mannen och foten av tornet 100/√3

Exempel 6: Hitta värdet på tan θ om sin θ = 7/25 och sek θ = 25/24.

Lösning:

Given,

sin θ = 7/25

sek θ = 25/24

Vi vet det,

sek θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Vi har,

tan θ = sin θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 24/7

Därav, tan 6 = 7/24

Exempel 7: Hitta värdet på tan θ om cosec θ = 5/3 och θ är den första kvadrantvinkeln.

Lösning:

Givet, cosec θ = 5/3

Från de pytagoreiska identiteterna har vi,

string.format java

cosec²θ – spjälsäng²θ = 1

spjälsäng²θ = cosec²jag – 1

barnsäng θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

barnsäng θ = ±√16/9 = ± 4/3

Eftersom θ är den första kvadrantvinkeln är både cotangens- och tangentfunktionerna positiva.

barnsäng θ = 4/3

Vi vet det,

barnsäng θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tanö

tan θ = 3/4

Därav, tan θ = 3/4

Exempel 8: Hitta tan 3θ om sin θ = 3/7 och θ är den första kvadrantvinkeln.

Lösning:

Givet, sin θ = 12/13

Från de pytagoreiska identiteter vi har,

utan²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Eftersom θ är den första kvadrantvinkeln är cos θ positiv.

cos θ = 5/13

Vi vet det,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Därför är tan θ = 12/5

Nu vet vi att

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

tan 3θ = 3 × (12/5)