TechCodeview

När du väl har den kvadratiska formeln och grunderna för andragradsekvationer kallt, är det dags för nästa nivå av ditt förhållande till paraboler: lära dig om deras vertex form .

Läs vidare för att lära dig mer om parabolens vertexform och hur man konverterar en andragradsekvation från standardform till vertexform.

feature image credit: SBA73 /Flickr

Varför är Vertex Form användbar? En översikt

De vertex form av en ekvation är ett alternativt sätt att skriva ut ekvationen för en parabel.

Normalt kommer du att se en andragradsekvation skriven som $ax^2+bx+c$, som, när den ritas, kommer att vara en parabel. Från denna form är det lätt nog att hitta rötterna till ekvationen (där parabeln träffar $x$-axeln) genom att sätta ekvationen lika med noll (eller använda kvadratformeln).

Om du behöver hitta spetsen på en parabel är den vanliga kvadratiska formen mycket mindre användbar. Istället vill du konvertera din andragradsekvation till vertexform.

Vad är Vertex Form?

Medan standardkvadratformen är $ax^2+bx+c=y$, vertexformen för en andragradsekvation är $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

I båda formerna är $y$ $y$-koordinaten, $x$ är $x$-koordinaten och $a$ är konstanten som talar om för dig om parabeln är vänd uppåt ($+a$) eller nedåt ($-a$). (Jag tänker på det som om parabeln var en skål med äppelmos; om det finns en $+a$ kan jag lägga till äppelmos i skålen; om det finns en $-a$ kan jag skaka äppelmosen ur skålen.)

Skillnaden mellan en parabels standardform och vertexform är att ekvationens vertexform också ger dig parabelns vertex: $(h,k)$.

Ta till exempel en titt på denna fina parabel, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Baserat på grafen ser parabelns vertex ut att vara ungefär (-1,5,-2), men det är svårt att avgöra exakt var vertexet är från bara grafen. Lyckligtvis, baserat på ekvationen $y=3(x+4/3)^2-2$, vet vi att spetsen på denna parabel är $(-4/3,-2)$.

Varför är toppunkten $(-4/3,-2)$ och inte $(4/3,-2)$ (annat än grafen, vilket gör det tydligt både $x$- och $y$-koordinaterna för vertexen är negativa)?

Kom ihåg: i vertexformens ekvation subtraheras $h$ och $k$ läggs till . Om du har en negativ $h$ eller en negativ $k$, måste du se till att du subtraherar den negativa $h$ och lägger till den negativa $k$.

I det här fallet betyder detta:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

och så vertex är $(-4/3,-2)$.

Du bör alltid dubbelkolla dina positiva och negativa tecken när du skriver ut en parabel i vertexform , särskilt om vertexet inte har positiva $x$- och $y$-värden (eller för er kvadranthuvuden där ute, om det inte är i kvadrant I ). Detta liknar den kontroll du skulle göra om du löste den kvadratiska formeln ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) och behövde för att se till att du behöll din positiva och negativa direkt för dina $a$s, $b$s och $c$s.

Nedan är en tabell med ytterligare exempel på några andra ekvationer av parabelhörn från formen, tillsammans med deras hörn. Notera särskilt skillnaden i $(x-h)^2$-delen av parabelns vertexform från ekvationen när $x$-koordinaten för vertexet är negativ.

Hur man konverterar från Standard Quadratic Form till Vertex Form

För det mesta när du blir ombedd att konvertera andragradsekvationer mellan olika former, kommer du att gå från standardform ($ax^2+bx+c$) till vertexform ($a(x-h)^2+k$ ).

Processen att konvertera din ekvation från standardkvadratform till vertexform innebär att du gör en uppsättning steg som kallas att fylla i kvadraten. (För mer om att fylla i torget, se till att läsa den här artikeln.)

Låt oss gå igenom ett exempel på att konvertera en ekvation från standardform till vertexform. Vi börjar med ekvationen $y=7x^2+42x-3/14$.

Det första du vill göra är att flytta konstanten, eller termen utan en $x$ eller $x^2$ bredvid. I det här fallet är vår konstant $-3/14$. (Vi vet att det är negativ $3/14$ eftersom standard andragradsekvationen är $ax^2+bx+c$, inte $ax^2+bx-c$.)

Först tar vi $-3/14$ och flyttar över den till vänster sida av ekvationen:

$y+3/14=7x^2+42x$

Nästa steg är att faktorisera ut 7 ($a$-värdet i ekvationen) från höger sida, så här:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Bra! Den här ekvationen ser mycket mer ut som vertexform, $y=a(x-h)^2+k$.

Vid det här laget kanske du tänker, 'Allt jag behöver göra nu är att flytta tillbaka $3/14$ till höger sida av ekvationen, eller hur?' Ack, inte så snabbt.

Om du tittar på en del av ekvationen inom parentesen kommer du att märka ett problem: det är inte i form av $(x-h)^2$. Det finns för många $x$s! Så vi är inte riktigt klara än.

Det vi behöver göra nu är det svåraste – att fullborda torget.

Låt oss ta en närmare titt på $x^2+6x$-delen av ekvationen. För att faktorisera $(x^2+6x)$ till något som liknar $(x-h)^2$, kommer vi att behöva lägga till en konstant på insidan av parenteserna – och vi kommer att behöva komma ihåg att lägga till den konstanten på andra sidan av ekvationen också (eftersom ekvationen måste vara balanserad).

För att ställa in detta (och se till att vi inte glömmer att lägga till konstanten på andra sidan av ekvationen), kommer vi att skapa ett tomt utrymme där konstanten kommer att gå på vardera sidan av ekvationen:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Observera att på vänster sida av ekvationen såg vi till att inkludera vårt $a$-värde, 7, framför utrymmet där vår konstant kommer att gå; detta beror på att vi inte bara adderar konstanten till höger sida av ekvationen, utan vi multiplicerar konstanten med vad som än står på utsidan av parentesen. (Om ditt $a$-värde är 1 behöver du inte oroa dig för detta.)

Nästa steg är att slutföra torget. I det här fallet är kvadraten du fyller i ekvationen inom parentesen – genom att lägga till en konstant förvandlar du den till en ekvation som kan skrivas som en kvadrat.

För att beräkna den nya konstanten, ta värdet bredvid $x$ (6, i det här fallet), dividera det med 2 och kvadrera det.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Konstanten är 9.

Anledningen till att vi halverar 6:an och kvadraten är att vi vet att i en ekvation i formen $(x+p)(x+p)$ (vilket är vad vi försöker komma till), $px+px= 6x$, alltså $p=6/2$; för att få konstanten $p^2$ måste vi alltså ta $6/2$ (vår $p$) och kvadrera den.

Ersätt nu det tomma utrymmet på vardera sidan av vår ekvation med konstanten 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Faktorera sedan ekvationen inom parentesen. Eftersom vi slutförde kvadraten kommer du att kunna faktorisera den som $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Sista steget: flytta icke-$y$-värdet från vänster sida av ekvationen tillbaka till höger sida:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Grattis! Du har framgångsrikt konverterat din ekvation från standardkvadratform till vertexform.

Nu kommer de flesta problem inte bara att be dig omvandla dina ekvationer från standardform till vertexform; de vill att du faktiskt ger koordinaterna för parabelns vertex.

För att undvika att bli lurad av teckenförändringar, låt oss skriva ut den allmänna ekvationen för vertexformen direkt ovanför den ekvation som vi just beräknade:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Och då kan vi lätt hitta $h$ och $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Spetsen för denna parabel är vid koordinater $(-3,-{885/14})$.

Oj, det var många blandade siffror! Lyckligtvis är det mycket enklare att konvertera ekvationer åt andra hållet (från vertex till standardform).

Hur man konverterar från Vertex Form till Standard Form

Att konvertera ekvationer från sin vertexform till den vanliga kvadratiska formen är en mycket enklare process: allt du behöver göra är att multiplicera ut vertexformen.

Låt oss ta vår exempelekvation från tidigare, $y=3(x+4/3)^2-2$. För att förvandla detta till standardform expanderar vi bara till höger sida av ekvationen:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Du har framgångsrikt konverterat $y=3(x+4/3)^2-2$ till dess $ax^2+bx+c$-form.

Parabol Vertex Form Practice: Exempel på frågor

För att avsluta denna utforskning av vertexform har vi fyra exempelproblem och förklaringar. Se om du kan lösa problemen själv innan du läser igenom förklaringarna!

#1: Vilken är vertexformen för andragradsekvationen $x^2+ 2,6x+1,2$?

#2: Konvertera ekvationen $7y=91x^2-112$ till vertexform. Vad är spetsen?

#3: Med tanke på ekvationen $y=2(x-3/2)^2-9$, vilka är $x$-koordinaterna för där denna ekvation skär $x$-axeln?

#4: Hitta spetsen på parabeln $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Parabola Vertex Form Practice: Lösningar

#1: Vilken är vertexformen för andragradsekvationen ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$?

Börja med att separera ut variabeln som inte är $x$ på andra sidan av ekvationen:

$y-1.2=x^2+2.6x$

Eftersom vår $a$ (som i $ax^2+bx+c$) i den ursprungliga ekvationen är lika med 1, behöver vi inte faktorisera den från höger sida här (även om du vill kan du skriva $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Dela sedan $x$-koefficienten (2.6) med 2 och kvadrat den, lägg sedan till det resulterande talet på båda sidor av ekvationen:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Faktorera höger sida av ekvationen inom parentesen:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Kombinera slutligen konstanterna på vänster sida av ekvationen och flytta dem sedan över till höger sida.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Vårt svar är $y=(x+1.3)^2-0.49$.

#2: Konvertera ekvationen $7i y=91i x^2-112$ till vertexform. Vad är spetsen?

När du konverterar en ekvation till vertexform vill du att $y$ har en koefficient på 1, så det första vi ska göra är att dividera båda sidor av denna ekvation med 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

För sedan konstanten över till vänster sida av ekvationen:

$y+16=13x^2$

Faktorera ut koefficienten för $x^2$-talet ($a$) från höger sida av ekvationen

$y+16=13(x^2)$

Nu, normalt skulle du behöva fylla i kvadraten på höger sida av ekvationen innanför parentesen. Men $x^2$ är redan en kvadrat, så du behöver inte göra något förutom att flytta konstanten från vänster sida av ekvationen tillbaka till höger sida:

$y=13(x^2)-16$.

Nu för att hitta vertex:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, alltså $h=0$

$+k=-16$, alltså $k=-16$

Spetsen på parabeln är $(0, -16)$.

#3: Med tanke på ekvationen $i y=2(i x-3/2)^2-9$, vad är $i x$-koordinaten/koordinaten där denna ekvation skär $i x$-axel?

Eftersom frågan ber dig att hitta ekvationens $x$-avsnitt(ar) är det första steget att ställa in $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Nu finns det ett par sätt att gå härifrån. Det lömska sättet är att använda det faktum att det redan finns en kvadrat inskriven i ekvationen i vertexformen till vår fördel.

Först flyttar vi konstanten till vänster sida av ekvationen:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

Därefter delar vi båda sidor av ekvationen med 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Nu den lömska delen. Ta kvadratroten från båda sidor av ekvationen:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±