Derivat av Cot x är -cosec 2 x. Det hänvisar till processen att hitta förändringen i sinusfunktionen med avseende på den oberoende variabeln. Derivat av cot x är också känt som differentiering av cot x vilket är processen för att hitta förändringshastigheten i den trigonometriska funktionen för cot.
I den här artikeln kommer vi att lära oss om derivatan av cot x och dess formel inklusive beviset för formeln med den första principen för derivator, kvotregel och kedjeregel också.
Vad är derivat av Cot x?
Derivatan av cot x är -cosec2x. Derivatan av cot x är en av de sex trigonometriska derivator som vi måste studera. Det är differentieringen av trigonometrisk funktion cotangens med avseende på variabeln x i detta fall. Om vi har cot y eller cot θ så differentierar vi cotangensen med avseende på y respektive θ.
Lära sig,
- Kalkyl i matematik
- Derivat i matte
Derivat av Cot x Formula
Formeln för derivatan av cot x ges av:
(d/dx)[säng x] = -kossek 2 x
eller
(säng x)’ = -cosec 2 x
Bevis på derivat av Cot x
Derivaten av cot x kan bevisas på följande sätt:
- Genom att använda första principen för derivata
- Genom att använda Quotientregel
- Genom att använda Kedjeregel
Derivat av Cot x enligt första principen för derivat
Låt oss börja beviset för derivatan av Cot x:
parallell bearbetning
Låt f(x) = Cot x
Genom den första derivatprincipen
f'(x)= lim h→0 f(x+h)-f(x)/h
= lim h→0 barnsäng(x+h)- barnsäng x/h
= lim h→0 [cos(x+h)/sin(x+h)- cos x/ sin x]/h
= lim h→0 sin x cos(x+h)-cos x sin (x+h) / sin(x+h) sin x. h
=lim h→0 sin [x-(x+h) / sin(x+h).sin x .h
= lim h→0 – sin h/h lim h→0 1/sin (x+h)sin x
= -1 × 1/sinx. sinx
= -1/ utan2x
= -cosec2x
Derivat av Cot x enligt Quotient Rule
För att hitta derivatan av cot x med hjälp av kvotregeln för derivatan måste vi använda följande formler
- (d/dx) [u/v] = [u’v – uv’]/v2
- utan2(x)+ cos2(x)= 1
- barnsäng x = cos x / sin x
- cosec x = 1 / sin x
Låt oss börja beviset på derivatan av cot x
f(x) = barnsäng x = cos(x)/sin(x)
u(x) = cos(x) och v(x)=sin(x)
u'(x) = -sin(x) och v'(x)=cos(x)
i2(x) = synd2(x)
f'(x) = {-sin(x).sin(x) – cos(x).cos(x)}/sin2(x)
f'(x) = -sin2(x)-cos2(x)/synd2(x)
f'(x) = -sin2(x)+cos2(x)/synd2(x)
Genom en av de trigonometriska identiteterna, cos 2 x + sin 2 x = 1.
f'(x) = – 1/ sin2(x)
d/dx cot(x) = -1 /sin2(x) = -cosec 2 (x)
Därför är differentieringen av cot x -cosec 2 x.
Derivat av Cot x enligt Chain Rule
Antag att y = cot x så kan vi skriva y = 1 / (tan x) = (tan x)-1. Eftersom vi har makt här kan vi tillämpa maktregeln här. Genom maktregel och kedjeregel,
y' = (-1) (tan x)-2·d/dx (tan x)
Derivatan av tan x är d/dx (tan x) = sek²x
y= spjälsäng x
y' = -1/tan2x·(sek2x)
y’ = – spjälsäng2x·sek2x
Nu, cot x = (cos x)/(sin x) och sek x = 1/(cos x). Så
y’ = -(cos2x)/(utan2x) · (1/cos2x)
y’ = -1/sin2x
Eftersom ömsesidig synd är cosec. d.v.s. 1/sin x = cosec x. Så
y' = -cosec2x
Därmed bevisat.
Läs också,
- Differentiering av trigonometrisk funktion
- Differentieringsformler
- Derivat av rot x
Lösta exempel på derivat av Cot x
Några exempel relaterade till derivat av Cot x är,
Exempel 1: Hitta derivatet av cot 2 x.
Lösning:
Låt f(x) = barnsäng2x = (säng x)2
Genom att använda maktregel och kedjeregel,
f'(x) = 2 barnsäng x · d/dx(säng x)
Vi vet att derivatan av cot x är -cosec2x. Så
f'(x) = -2 barnsäng x ·cosec2x
Exempel 2: Differentiera tan x med avseende på spjälsäng x.
Lösning:
Låt v = tan x och u = cot x. Då dv/dx = sek2x och du/dx = -cosec2x.
Vi måste hitta dv/du. Vi kan skriva detta som
dv/du = (dv/dx) / (du/dx)
dv/du = (sec2x) / (-cosec2x)
dv/du = (1/cos2x) / (-1/sin2x)
dv/du = (-sin2x) / (cos2x)
dv/du = -tan2x
Exempel 3: Hitta derivatan av cot x · csc2x
Lösning:
Låt f(x) = barnsäng x · cosec2x
Enligt produktregel,
f'(x) = barnsäng x·d/dx (cosec2x) + cosec2x·d/dx(säng x)
f'(x) = barnsäng x·(2 cosec x) d/dx (cosec x) + cosec2x (-cosec2x) (enligt kedjeregel)
f'(x) = 2 cosec x cot x (-cosec x cot x) – cosec4x
f'(x) = -2 cosec2x barnsäng2x – cosec4x
Övningsfrågor om derivat av Cot x
Olika problem relaterade till derivat av Cot x är,
Q1 . Hitta derivatan av 1/cot(x).
Q2. Beräkna derivatan av cot(3x) + 2cot(x).
Q3. Bestäm derivatan av 1/cot(x)+1.
Q4. Bestäm derivatan av cot(x) – tan(x).
F5. Bestäm derivatet av spjälsäng 2 (x).
Derivat av Cot x – Vanliga frågor
Vad är derivat?
Funktionens derivata definieras som förändringshastigheten för funktionen med avseende på en oberoende variabel.
Vad är formeln för derivat av Cot x?
Formeln för derivatan av cot x är: (d/dx) cot x = -cosec2x
Vad är derivat av Cot (-x)?
Derivat av cot (-x) är cosec2(-x).
Vilka är olika metoder för att bevisa derivat av Cot x?
De olika metoderna för att bevisa derivat av cot x är:
- Genom att använda första principen för derivata
- Enligt Quotient Regel
- Enligt kedjeregel
Vad är derivat av cot t?
Derivatet av cot t är (-cosec2t)