Frustum av en kon är en speciell form som bildas när vi skär konen med ett plan parallellt med dess bas. Konen är en tredimensionell form med en cirkulär bas och en vertex. Så den stympade av en kon är en fast volym som bildas genom att ta bort en del av konen med ett plan parallellt med den cirkulära basen. Frustum definieras inte bara för kottar utan kan också definieras för olika typer av pyramid (fyrkantig pyramid, triangulär pyramid, etc.).

Några av de vanligaste formerna på en stympad kon som vi upptäcker i vårt dagliga liv är hinkar, lampskärm och andra. Låt oss lära oss mer om kottarnas frustum i den här artikeln.

Vad är Frustum of Cone?

Frustum är ett latinskt ord, som betyder bitar, därför är frustum av kon en solid bit av konen. När en höger cirkulär kon skärs av ett plan parallellt med konens bas, den så erhållna formen kallas konens stympad. Bilden nedan visar hur ett plan skär konen parallellt med sin bas för att bilda konens stympad.

Nu kan konens stympa lätt definieras som,

Om en rät cirkulär kon skärs av av ett plan parallellt med dess bas, kallas formen på delen mellan skärplanet och basplanet en stympad kon.

Nät av Piece of Cone

Om en tredimensionell (3D) form skärs upp och görs till en tvådimensionell form kallas den så erhållna formen nätet. Man kan anta att när figurens nät viks ordentligt på ett korrekt sätt bildar det den önskade 3D-formen. Bilden nedan visar nätet av konens stympa.

Egenskaper hos ett stycke kon

Egenskaperna hos en konstumpa påminner mycket om en kon, några av de viktiga egenskaperna hos en konstumpa är,

• Basen av konen den ursprungliga könen finns i en kons stympad, men dess vertex finns inte i stympaden.
• Formler av stympad av en kon är beroende av dess höjd och två radier (motsvarande topp- och bottenbaserna).
• Höjd på konens stympad är det vinkelräta avståndet mellan mitten av dess två baser.

Formler för Piece of Cone

Frustum of Cone är en sådan form som ofta ses i vårt dagliga liv, till exempel bordslampor, hinkar, etc. De viktiga formlerna för frustum av en kon är,

• Volym av Piece of Cone
• Ytarea av Frustum of Cone

Låt oss lära oss om dessa formler i detalj nedan,

Volym av Piece of Cone

Frustum av kon är en skivad del av en kon, där en liten kon tas bort från den större konen. Därför, för att beräkna volymen av konens stympad, behöver man bara beräkna skillnaden mellan volymen på den större och mindre konen.

Låt oss anta,

• Den totala höjden på konen ska vara H + h
• Total lutningshöjd ska vara l’ + L
• Radien för en komplett kon är r
• Radien för den skivade konen är r'

Eftersom konens volym anges som V = 1/3πr²h

Volym av komplett kon V₁= 1/3πr²(H+h)

Volym av mindre kon V₂=1/3πr’²(h)

Nu kan volymen av stympad kon (V) beräknas med formeln,

V=V₁- I₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(h)

slumpmässigt i c

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]...(1)

Med hjälp av likhetsegenskapen för trianglarna △OCD och △OAB kan man skriva,

r / (H + h) = r' / h

r / r' = (H + h) / h

H + h = tim / r'

Ersätt detta värde på (H+h) i ekvation (1) och förenkla,

V = 1/3π[r²(rh / r') - r'²(h)}

= 1/3π[{hr³– hr’³} / r’]...(2)

Genom att använda den liknande triangelns egenskap igen i △OCD och △OAB, kommer vi att ta reda på värdet av h

r / (H + h) = r' / h

r / r' = (H + h) / h

rh = (H + h)r’

string.compareto c#

rh = Hr’ + hr’

(r -r')h = Hr'

h = Hr’ / (r -r’)

Genom att ersätta dessa värden i ekvation (2),

V = 1/3π[{r³h – r³h} / r']

= 1/3π[{r³– r’³}h / r']

= 1/3π[{r³– r’³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3nH(r²+ r'²+rr’)

Således,

Volym av stympad kon = 1/3 πH(r ² + r' ² + rr')

Ytarea av Frustum of Cone

Ytarean av stympad kon kan beräknas genom skillnaden mellan ytan av hela konen och den mindre konen (borttagen från hela konen). Ytarean av den stympade konen kan beräknas med hjälp av diagrammet nedan, där man behöver summera ytareorna på de krökta ytorna och ytareorna på de övre och nedre ytorna av den stympade konen.

På samma sätt som volymen av den stympade konen kommer den krökta ytarean också att vara lika med skillnaden mellan ytareorna på den större konen och den mindre konen.

I figuren ovan är trianglarna OAB och OCD lika. Därför kan man, med hjälp av likhetskriterierna, skriva,

l’/l = r’/r...(1)

Eftersom l’ = l – L, därför, från ekvation (1),

(l – L) / l = r’ / r

Efter korsmultiplikation,

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)...(2)

Den krökta ytan av en hel kon = πrl

Den krökta ytarean av den mindre konen = πr’l’

Skillnaden mellan de böjda ytareorna för komplett kon och mindre kon = π (rl – r’l’)

Således är den krökta ytarean (CSA) av stympad kon = πl (r – r’l’/l)

Använd ekvation (1) för att ersätta värdet av l'/l i ekvationen ovan och förenkla,

CSA för konens stympad = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²– r’²)/r

Ersätt nu värdet på l från ekvation (2) och förenkla,

CSA för konens stympad = πlr/(r – r’)× (r²– r’²)/r = πl (r + r')

Så kan man skriva,

Böjd ytarea av stympad kon = πl (r + r’)

Låt oss nu beräkna ytarean av de övre och nedre baserna av konens stympad, så att,

Ytarean av den övre basen av den stympade konen med en radie r' = πr'²

Ytarean av den nedre basen av den stympade konen som har en radie r = πr²

Så,

Total yta av den stympade konen = Böjd yta av den stympade konen + ytarean av den övre basen + ytan av den nedre basen

Därför,

Den totala ytan av den stympade konen = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r'²)

Sålunda är den totala ytarean av stympad kon = πl (r + r’) + π (r²+ r'²)

Denna formel kan också skrivas som,

Den totala ytarean av stympad kon är = πl (r²– r’²)/r + π (r²+ r'²)

Så man kan skriva,

Total yta av stympad kon = πl(r + r’) + π (r ² + r' ² )

eller

Total yta av stympad kon = πl (r ² – r’ ² )/r + π (r ² + r' ² )

gimp ta bort vattenstämpel

Observera att l är lutningshöjden på den mindre konen som kan anges som

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Läs mer

• Volym av kon
• Volym av cylinder
• Volym av sfär

Lösta exempel på Fragment of Cone

Exempel 1: Ta reda på volymen av en stympad kotte som är 15 cm hög och radierna för båda baserna är 5 cm och 8 cm.

Lösning:

Med hjälp av formeln som studerats ovan kan man skriva,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr')

Given,

H = 15 cm
r'= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm³

Exempel 2: Ta reda på ytan och den totala ytan av en stympad kona som är 10 cm hög och radierna för båda baserna är 4 cm och 8 cm.

Lösning:

Vi känner till formeln för yta och total yta av frustum. Vi måste koppla in de nödvändiga värdena.

Böjd ytarea av stumben = πl(r+r’)

var,
L = √ [H²+ (R – r)²]

Given,
H = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Beräknar värdet på L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Krökt ytarea av Frustum = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Total ytarea = krökt ytarea av Frustum + area för båda baserna

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

det vackraste leendet i världen

Exempel 3: Låt oss säga att vi har en öppen metallhink vars höjd är 50 cm och basernas radier är 10 cm och 20 cm. Hitta området för metallplåt som används för att tillverka hinken.

Lösning:

Hink är i form av stum som stängs från botten. Vi måste beräkna den totala ytan av denna frustum.

Given
H = 50 cm
r = 10 cm
r = 20 cm

Krökt ytarea av Frustum = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Krökt ytarea av Frustum = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Total ytarea = krökt ytarea av Frustum + area för båda baserna

min Max

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

Exempel 4: Ta reda på uttrycket för volymen för en frustum om dess höjd är 6y och dess radier är y respektive 2y.

Lösning:

Med hjälp av formeln som studerats ovan,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr')

Given,

H = 6y
r'= y
r = 2y

V = 1/3 π6[(2y)²+ (och)²+ (y)(2y)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³enhet³

Vanliga frågor om Piece of Cone

Fråga 1: Vad är frustum av en kon?

Svar:

När vi skär en kon på ett sådant sätt att skärplanet är parallellt med konens bas. Den resulterande figuren som så erhålls kallas konens Frustum.

Fråga 2: Vilka är konformlernas frustum?

Svar:

Formlerna för en kons stympa diskuteras nedan. Låt oss ta en stympning av basradien 'R' och toppradien 'r', höjd 'H' och lutningshöjd sedan,

• Volymen av en del av en kon (V) = 1/3πH(r²+rr’ +r’²)
• Total ytarea av stympad av en kon = πl (r + r’) + π (r’²+ r²).

Fråga 3: Vad är CSA för en frustum?

Svar:

Den krökta ytan av en kons stympad yta beräknas med formeln,

CSA = πl (r + r')

var,
r' är radien för den övre cirkeln av frustum
r är radiebasen
l är lutningshöjden

Fråga 4: Vad är ytarean för konens frustum?

Svar:

Ytan på en kons stympad yta beräknas med formeln,

• CSA för konbit = πl [ (r²– r’²) / r’ ]
• TSA för stympad kon = π (r²+ r'²) + πl [ (r²– r’²) / r']

Fråga 5: Vad är volymen på konens frustum?

Svar:

Volymen av en kons stympa beräknas med formeln,

• V = 1/3πh[ (r³– r’³) / r']
• V = 1/3 πH(r²+rr’ +r’²)