logo

TechCodeview

Trapetsformad regel

Den trapetsformade regeln är en av de grundläggande reglerna för integration som används för att definiera den grundläggande definitionen av integration. Det är en allmänt använd regel och den trapetsformade regeln heter så eftersom den ger arean under kurvan genom att dela upp kurvan i små trapetser istället för rektanglar.

Generellt finner vi arean under kurvan genom att dela arean i mindre rektanglar och sedan hitta summan av alla rektanglar, men i trapetsregeln delas arean under kurvan in i trapetser, och sedan beräknas deras summa. Trapetsregeln används för att hitta värdet av de bestämda integralerna i numerisk analys. Denna regel kallas också trapetsregeln eller trapetsregeln. Låt oss lära oss mer om trapetsregeln, dess formel och bevis, exempel och andra i detalj i den här artikeln.

Vad är trapetsregeln?

Trapetsregeln är en regel som används för att hitta värdet på formens bestämda integralb∫af(x) dx. Vi vet att värdet av den bestämda integralenb∫af(x) dx är arean innesluten under kurvan y = f(x) och x-axeln i intervallet a och b på x-axeln. Vi beräknar denna area genom att dela upp hela arean i flera små rektanglar och sedan hitta deras summa.



I den trapetsformade regeln som namnet antyder är arean under kurvan uppdelad i flera trapetser och sedan hittas deras summa för att få arean av kurvan. Den trapetsformade regeln ger inte den bästa approximationen av arean under kurvan än Simpsons regel men ändå är dess resultat tillräckligt exakt och denna regel är en allmänt använd regel i kalkyl.

Trapetsformel

Den trapetsformade regelformeln är formeln som används för att hitta arean under kurvan. För att nu hitta området under kurvan med hjälp av trapetsregeln,

Låt y = f(x) vara en kontinuerlig kurva definierad på det slutna intervallet [a, b]. Nu delar vi upp det slutna intervallet [a, b] i n lika stora delintervall, där var och en har bredden av,

Δx = (b – a)/n

Så att,

hitta i strängen c++

a = x0 1 2<⋯ < xn= b

Genom att använda formeln för trapetsregeln kan vi hitta arean under kurvan som,

∫baf(x) dx = Area Under the Curve = (Δx/2) [y0+ 2 (och1+ och2+ och3+ ….. + ochn-1) + yn]

var, y0, och1, och2,…. ochnär funktionsvärdena vid x = 1, 2, 3, ….., n respektive.

Härledning av trapetsformeln

Formeln för trapetsregeln för att beräkna arean under kurvan härleds genom att dela upp arean under kurvan i flera trapetser och sedan hitta deras summa.

Påstående:

Låt f(x) vara en kontinuerlig funktion definierad på intervallet (a, b). Nu delar vi in ​​intervallen (a, b) i n lika stora delintervall där bredden på varje intervall är,

Δx = (b – a)/n

så att a = x0 1 2 3<…..< xn= b

Då är formeln för trapetsregeln,

∫baf(x) dx ≈ △x/2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) +….2f(xn-1) + f(xn)]

var, xi= a + i△x

Om n → ∞ ger uttryckets R.H.S den bestämda integralen int_{a}^{b}f(x) dx

Bevis:

Denna formel bevisas genom att dela upp arean under den givna kurvan som visas i figuren ovan i olika trapetser. Den första trapetsen har en höjd Δx och längden på parallella baser är f(x0) och f(x1)

Arean av den första trapetsen = (1/2) Δx [f(x0) + f(x1)]

På liknande sätt är arean för de återstående trapetserna (1/2)Δx [f(x1) + f(x2)], (1/2)Δx [f(x2) + f(x3)], och så vidare.

Nu kan vi säga att

∫baf(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x0)+f(x1) ) + (1/2)Δx (f(x1)+f(x2) ) + (1/2)Δx (f(x2)+f(x3) ) + … + (1/2)Δx (f(xn-1) + f(xn))

Efter att ha förenklat får vi,

∫baf(x) dx≈ (Δx/2) (f(x0)+2 f(x1)+2 f(x2)+2 f(x3)+ … +2f(xn-1) + f(xn))

Därmed är trapetsregeln bevisad.

Hur tillämpar man trapetsregeln?

Trapetsregeln hittar arean under kurvan genom att dela upp arean under kurvan i olika trapetser och sedan hitta summan av alla trapetser. Den trapetsformade regeln är inte den perfekta approximationen av värdet av den bestämda integralen eftersom den använder den kvadratiska approximationen.

Vi måste hitta värdet på den bestämda integralen, ∫baf(x) dx. Värdet på den bestämda integralen kan beräknas med hjälp av trapetsregeln genom att följa stegen nedan,

Steg 1: Markera värdet av delintervall, n och intervall a och b.

Steg 2: Hitta bredden på delintervallet (△x) med formeln △x = (b – a)/n

Steg 3: Sätt alla värden i trapetsformeln och hitta den ungefärliga arean av den givna kurvan som representerar den bestämda integralen ∫baf(x) dx

∫ b a f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x 0 )+2 f(x 1 )+2 f(x 2 )+2 f(x 3 )+ … +2f(x n-1 ) + f(x n ))

var, x i = a + i△x

Summationsnotation av trapetsregel

Vi vet att arean av en trapets i grunden är genomsnittet av längderna på de parallella sidorna multiplicerat med höjden. Så, i det här fallet, överväg en trapets för i:etthintervall,

A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x

Eftersom den totala arean är summan av alla områden,

A = A1+ A2+ ….+ An

⇒ A = sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}

⇒ A = sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x

Detta kallas sigmanotation eller summeringsnotation av trapetsummorna.

Riemann Summor

Riemann sammanfattar arbetet med idén att dyka upp området under kurvan i olika rektangulära delar. När antalet rektanglar ökar, blir området närmare och närmare det aktuella området. I figuren nedan finns en funktion f(x). Arean under denna funktion är uppdelad i många rektanglar. Den totala arean under kurvan är summan av arean av alla rektanglar.

Riemann Sums (höger)

Lägg märke till att i ovanstående figur rör den högra änden av rektanglarna kurvan. Detta kallas höger-Riemann summor.

I ett annat fall, när den vänstra änden av rektanglarna vidrör kurvan som visas i bilden nedan, kallas de vänster Riemann-summor.

Riemann Sums (vänster)

Låt oss säga att Δx är bredden på intervallbredden n är antalet intervall enligt ovan. Då ges arean av kurvan som representeras av summan av,

old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}

Mittpunktssummor

I Riemann-summorna rör antingen den vänstra änden eller den högra änden av rektangeln kurvan. I det här fallet vidrör rektangelns mittpunkt kurvan. Allt annat är detsamma som Riemann summerar. Figuren nedan visar funktionen f(x) och olika rektanglar i mittpunktssummorna.

Mittpunktssummor

Låt oss säga Aibetecknar området för ithrektangel. Arean av denna rektangel i detta fall kommer att vara,

syraegenskaper i dbms

A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x

Nu kommer den totala arean i summeringsnotationen att ges av,

old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}

Läs mer,

Löst exempel på trapetsregel

Exempel 1: Hitta arean som omges av funktionen f(x) mellan x = 0 till x = 4 med 4 intervall.

f(x) = 4

Lösning:

Här är a = 0, b = 4 och n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Den trapetsformade regeln för n = 4 är,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Genom att ersätta värdena i denna ekvation,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16

Exempel 2: Hitta arean som omges av funktionen f(x) mellan x = 0 till x = 3 med 3 intervall.

f(x) = x

Lösning:

Här är a = 0, b = 3 och n = 3.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Den trapetsformade regeln för n = 3 är,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))

Genom att ersätta värdena i denna ekvation,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Högerpil T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6

Exempel 3: Hitta arean som omges av funktionen f(x) mellan x = 0 till x = 2 med 2 intervall.

f(x) = 2x

Lösning:

Här är a = 0, b = 2 och n = 2.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Den trapetsformade regeln för n = 2 är,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))

Genom att ersätta värdena i denna ekvation,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4

Exempel 4: Hitta arean som omges av funktionen f(x) mellan x = 0 till x = 3 med 3 intervaller.

f(x) = x 2

Lösning:

Här är a = 0, b = 3 och n = 3.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Den trapetsformade regeln för n = 3 är,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))

Genom att ersätta värdena i denna ekvation,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14

Exempel 5: Hitta arean som omges av funktionen f(x) mellan x = 0 till x = 4 med 4 intervall.

f(x) = x 3 + 1

Lösning:

Här är a = 0, b = 4 och n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Den trapetsformade regeln för n = 4 är,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Genom att ersätta värdena i denna ekvation,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Högerpil T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Rightarrow T_n= 72

Exempel 6: Hitta arean som omges av funktionen f(x) mellan x = 0 till x = 4 med 4 intervall.

f(x) = e x

Lösning:

Här är a = 0, b = 4 och n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Den trapetsformade regeln för n = 4 är,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Genom att ersätta värdena i denna ekvation,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}

Tillämpningar av trapetsregeln

Numerisk integration:

Den primära tillämpningen av den trapetsformade regeln är att approximera bestämda integraler. Det används när integrationen av en funktion är utmanande och en numerisk metod är mer genomförbar. Trapetsregeln är ofta en del av mer avancerade numeriska integrationstekniker.

jframe

Fysik och teknik:

Inom fysik och teknik kan trapetsregeln tillämpas för att beräkna storheter som förskjutning, hastighet och acceleration. Till exempel, när experimentella data samlas in med diskreta tidsintervall, kan trapetsregeln användas för att uppskatta arean under kurvan, vilket ger en approximation av integralen.

Ekonomi och finans:

Trapetsregeln kan tillämpas i finansiell modellering för att uppskatta nuvärdet av framtida kassaflöden. Detta är särskilt användbart vid analys av diskonterade kassaflöden (DCF), där målet är att beräkna nuvärdet av en investering.

Statistik:

I statistik kan den trapetsformade regeln användas för att uppskatta arean under sannolikhetstäthetsfunktioner eller kumulativa fördelningsfunktioner. Detta är särskilt användbart i fall där den exakta formen av distributionen är okänd eller komplex.

Vanliga frågor om trapetsregeln

F1: Vad är trapetsregeln?

Svar:

Trapetsregeln är regeln som används för att hitta den bestämda integralen den delar upp arean under kurvan i flera trapetser och sedan hittas deras individuella area och sedan beräknas summan för att få värdet på den bestämda integralen.

F2: Vad är formeln för trapetsregeln?

Svar:

Den trapetsformade regelformeln är,

∫ b a f(x) dx = (Δx/2) (f(x 0 )+2 f(x 1 )+2 f(x 2 )+2 f(x 3 )+ … +2f(x n-1 ) + f(x n ))

F3: Varför kallas det för trapetsformel?

Svar:

Trapetsregelformeln kallas trapetsregeln eftersom den delar upp arean under kurvan i flera trapetser och sedan beräknas deras area genom att hitta summan av trapetserna.

F4: Vad är skillnaden mellan trapetsregel och Riemanns summaregel?

Svar:

Den största skillnaden mellan trapetsregeln och Riemann Sums-regeln är att den trapetsformade regeln delar arean under kurvan som trapetserna och sedan hittar arean genom att ta deras summa medan Riemann Sums delar arean under kurvan som trapets och hittar sedan området genom att ta deras summa.