Kovariansmatris är en typ av matris som används för att beskriva kovariansvärdena mellan två objekt i en slumpmässig vektor. Den är också känd som varians-kovariansmatrisen eftersom variansen för varje element är representerad längs matrisens huvuddiagonal och kovariansen representeras bland de icke-diagonala elementen. En kovariansmatris är vanligtvis en kvadratisk matris. Den är också positiv semidefinitiv och symmetrisk. Denna matris kommer väl till pass när det gäller stokastisk modellering och Principal komponentanalys.

Vad är kovariansmatris?

De variation -kovariansmatris är en kvadratisk matris med diagonala element som representerar variansen och de icke-diagonala komponenterna som uttrycker kovarians. Kovariansen för en variabel kan ta vilket verkligt värde som helst - positivt, negativt eller noll. En positiv kovarians tyder på att de två variablerna har ett positivt samband, medan en negativ kovarians indikerar att de inte har det. Om två element inte varierar tillsammans har de noll kovarians.

Lär dig mer, Diagonal matris

Exempel på kovariansmatris

Låt oss säga att det finns 2 datamängder X = [10, 5] och Y = [3, 9]. Variansen för uppsättning X = 12,5 och variansen för uppsättning Y = 18. Kovariansen mellan båda variablerna är -15. Kovariansmatrisen är som följer:

egin{bmatrix} Variance~of~Set~X & Coorelation~of~Both~Sets Coorelation~of~Both~Sets& Variance~of~Set~Y end{bmatrix}=egin{bmatrix} 12.5 & -15 -15& 18 end{bmatrix}

Kovariansmatrisformel

Den allmänna formen av en kovariansmatris ges enligt följande:

var,

• Exempelvarians: var(x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}
• Exempel på samvariation: den (x₁, och₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Befolkningsvariation: var(x_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Befolkningskovarians: den (x_n, och_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

Här, m är medel för befolkningen

overline x är medelvärdet för provet

n är antal observationer

alfabet till siffror

x _i är observationen i Dataset x

Låt oss se formatet för kovariansmatrisen på 2 ⨯ 2 och 3 ⨯ 3

2 ⨯ 2 Kovariansmatris

Vi vet att i en 2 ⨯ 2 matris det finns två rader och två kolumner. Därför kan 2 ⨯ 2 kovariansmatrisen uttryckas somegin{bmatrix}mathrm{var(x)}& mathrm{cov(x,y)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)}end{bmatrix}

3 ⨯ 3 Kovariansmatris

I en 3⨯3-matris finns det 3 rader och 3 kolumner. Vi vet att i en kovariansmatris är de diagonala elementen varians och icke-diagonala element är kovarians. Därför kan en 3⨯3 kovariansmatris ges somegin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

Hur hittar man kovariansmatris?

Dimensionerna för en kovariansmatris bestäms av antalet variabler i en given datamängd. Om det bara finns två variabler i en uppsättning, skulle kovariansmatrisen ha två rader och två kolumner. På liknande sätt, om en datamängd har tre variabler, skulle dess kovariansmatris ha tre rader och tre kolumner.

Uppgifterna avser poäng av Anna, Caroline och Laura i psykologi och historia. Gör en kovariansmatris.

Följande steg måste följas:

Steg 1: Hitta medelvärdet av variabel X. Summera alla observationer i variabel X och dividera summan som erhålls med antalet termer. Alltså (80 + 63 + 100)/3 = 81.

Steg 2: Subtrahera medelvärdet från alla observationer. (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

Steg 3: Ta kvadraterna av skillnaderna som erhållits ovan och addera dem sedan. Alltså (80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)².

Steg 4: Hitta variansen för X genom att dividera värdet som erhålls i steg 3 med 1 mindre än det totala antalet observationer. var(X) = [(80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)²] / (3 – 1) = 343.

Steg 5: På samma sätt upprepar du steg 1 till 4 för att beräkna variansen för Y. Var(Y) = 633.

Steg 6: Välj ett par av variabler.

Steg 7: Subtrahera medelvärdet av den första variabeln (X) från alla observationer; (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

hur många veckor är det på en månad

Steg 8: Upprepa samma sak för variabel Y; (70 – 47), (20 – 47), (50 – 47).

Steg 9: Multiplicera motsvarande termer: (80 – 81)(70 – 47), (63 – 81)(20 – 47), (100 – 81)(50 – 47).

Steg 10: Hitta kovariansen genom att addera dessa värden och dividera dem med (n – 1). Cov(X, Y) = (80 – 81)(70 – 47) + (63 – 81)(20 – 47) + (100 – 81)(50 – 47)/3-1 = 481.

Steg 11: Använd den allmänna formeln för kovariansmatrisen för att ordna termerna. Matrisen blir:egin{bmatrix} 343 & 481 481& 633 end{bmatrix}

Egenskaper för kovariansmatris

Egenskaperna för kovariansmatrisen nämns nedan:

• En kovariansmatris är alltid kvadratisk, vilket innebär att antalet rader i en kovariansmatris alltid är lika med antalet kolumner i den.
• En kovariansmatris är alltid symmetrisk, vilket antyder att införliva av en kovariansmatris är alltid lika med den ursprungliga matrisen.
• En kovariansmatris är alltid positiv och semidefinitiv.
• De egenvärden av en kovariansmatris är alltid reella och icke-negativa.

Läs mer,

• Typer av matriser
• Matrismultiplikation
• Varians och standardavvikelse

Lösta exempel på kovariansmatris

Exempel 1: Betygen av 3 studenter i fysik och biologi ges nedan:

Beräkna kovariansmatris från ovanstående data.

Lösning:

Prov kovariansmatris ges avfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

Här, μ_x= 84, n = 3

var(x) = [(92 – 84)²+ (60 – 84)²+ (100 – 84)²] / (3 – 1) = 448

Alltså, μ_och= 60, n = 3

mata in sträng i java

var(y) = [(80 – 60)²+ (30 – 60)²+ (70 – 60)²] / (3 – 1) = 700

Nu är cov(x, y) = cov(y, x) = [(92 – 84)(80 – 60) + (60 – 84)(30 – 60) + (100 – 84)(70 – 60)] / (3 – 1) = 520.

Populationskovariansmatrisen ges som:egin{bmatrix} 448 & 520 520& 700 end{bmatrix}

Exempel 2. Förbered populationskovariansmatrisen från följande tabell:

Lösning:

Populationsvarians ges avfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} .

Här, μ_x= 56,5, n = 4

var(x) = [(68 – 56.5)²+ (60 – 56,5)²+ (58 – 56,5)²+ (40 – 56,5)²]/4 = 104,75

Alltså, μ_och= 30, n = 4

var(y) = [(29 – 30)²+ (26 – 30)²+ (30 – 30)²+ (35 – 30)²] / 4 = 10,5

Nu, cov(x, y) =frac{sum_{1}^{4}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{4}

cov(x, y) = -27

Populationskovariansmatrisen ges som: egin{bmatrix} 104.7 &-27 -27& 10.5 end{bmatrix}

mylivecricket

Exempel 3. Tolka följande kovariansmatris:

egin{bmatrix} & X & Y & Z X & 60 & 32 & -4 Y & 32 & 30 & 0 Z & -4 & 0 & 80 end{bmatrix}

Lösning:

1. De diagonala elementen 60, 30 och 80 indikerar variansen i datamängderna X, Y respektive Z. Y visar den lägsta variansen medan Z visar den högsta variansen.
2. Kovariansen för X och Y är 32. Eftersom detta är ett positivt tal betyder det att när X ökar (eller minskar) ökar (eller minskar) Y också.
3. Kovariansen för X och Z är -4. Eftersom det är ett negativt tal innebär det att när X ökar minskar Z och vice versa.
4. Kovariansen för Y och Z är 0. Detta betyder att det inte finns något förutsägbart samband mellan de två datamängderna.

Exempel 4. Hitta provets kovariansmatris för följande data:

Lösning:

Prov kovariansmatris ges avfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

n = 5, m_x= 22.4, var(X) = 321.2 / (5 – 1) = 80.3

m_och= 12,58, var(Y) = 132,148 / 4 = 33,037

m_Med= 64, var(Z) = 570/4 = 142,5

cov(X, Y) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( y_{i}-12.58 ight ) }{5-1} = -11.76

cov(X, Z) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = 34.97

cov(Y, Z) = frac{sum_{1}^{5}left ( y_{i} -12.58 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = -40.87

Kovariansmatrisen ges som:

egin{bmatrix} 80.3 & -13.865 &14.25 -13.865 & 33.037 & -39.5250 14.25 & -39.5250 & 142.5 end{bmatrix}

java sorteringssträngar

Vanliga frågor om kovariansmatris

1. Definiera kovariansmatris

En kovariansmatris är en typ av matris som används för att beskriva kovariansvärdena mellan två objekt i en slumpmässig vektor.

2. Vad är formeln för kovariansmatris?

Formeln för kovariansmatris ges som

left[egin{array}{ccc} operatorname{Var}left(x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) vdots & ldots & vdots vdots & ldots & vdots operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Var}left(x_n ight) end{array} ight]

Var, Exempelvarians: var(x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}

• Exempel på samvariation: den (x₁, och₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Befolkningsvariation: var(x_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Befolkningskovarians: den (x_n, och_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

3. Vad är den allmänna formen för en 3 ⨯ 3 kovariansmatris?

Den allmänna formen av en 3 ⨯ 3 kovariansmatris ges enligt följande:

egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

4. Vilka egenskaper har kovariansmatrisen?

Kovariansmatris är en kvadratisk matris och är också symmetrisk till sin natur, dvs transponeringen av den ursprungliga matrisen ger själva originalmatrisen

5. Vilka är de sektorer där Covariance Matrix kan användas?

Covariance Matrix används inom områdena matematik, maskininlärning, finans och ekonomi. Covariance Matrix används i Cholskey Decomposition för att utföra Monte Carlo-simulering som används för att skapa matematiska modeller.